1.3. Математическое моделирование

Математическое моделирование занимает ведущее место среди всех видов моделирования.

Первые математические модели появились на заре развития математики, когда возникла необходимость количественного описания объектов и явлений окружающего мира: теорема Пифагора (VI в. до н. э.), законы Ньютона (XVIII в.), волновые уравнения Максвелла (XIX в.), теория относительности Эйнштейна (XX в.).

В настоящее время математическое моделирование – мощное средство развития науки и познания окружающего мира, а иногда это единственное средство решения проблемы.

ПРИМЕР 1.5. Авиастроение. В предвоенные годы начала развиваться скоростная авиация. Авиаконструкторы столкнулись с серьезной проблемой – явлением «флаттера». Оно заключалось в следующем. Во время экспериментальных полетов на некоторых критических режимах неожиданно возникали резкие вибрации конструкции и самолет в считанные секунды разваливался на части. Причина – резонансные явления, вызванные взаимодействием элементов конструкции самолета и вихревых воздушных потоков на определенных скоростях полета. Проблема была решена академиком М. В. Келдышем. Он разработал математическую модель этого явления, создал на ее основе теорию флаттера и определил средства борьбы с ним.

ПРИМЕР 1.6.  Энергетика. Прогнозирование будущего поведения атомных и термоядерных реакторов.

ПРИМЕР 1.7. Геофизика, астрофизика. Моделирование процессов развития звезд и солнечной активности, долгосрочных прогнозов землетрясений, цунами и т. д.

ПРИМЕР 1.8. Генетика. Моделирование законов наследственности и изменчивости организмов.

ПРИМЕР 1.9. Биотехнология. Создание новых видов горючего, новых лекарств.

ПРИМЕР 1.10. Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекаемости конструкции и т. д.

ПРИМЕР 1.11. Задачи оптимального управления системой, процессом.

ПРИМЕР 1.12.  Разработка новейших современных технологических процессов. Нанотехнологии.

1.3.1. Цели математического моделирования

1)  Интерпретация прошлого поведения объекта и обобщение имеющихся знаний о нем на основе выявления основных причинно-следственных связей.

2)  Предсказание будущего поведения объекта – прогноз:

а) при варьировании условий испытания объекта (влияние внешних электрических и магнитных полей, колебания температуры, давления, наличие источника радиактивного излучения и т. д.);

б) при имитации экстремальных режимов работы объекта.

3)  Обновление и совершенствование старой, ранее построенной модели на основе получения новой информации об оригинале.

4)  Оптимизация параметров системы или ее структуры.

5)  Создание алгоритма оптимального управления системой с точки зрения заданного критерия.

1.3.2. Требования к математической модели

1) Соответствие цели моделирования.

2)  Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА) (рис.1.8), которая задается диапазоном значений параметров модели (ΔВ₁ и ΔВ₂), в пределах которого она должна быть адекватной реальному объекту.