1.1. Уравнение прямой на плоскости,

проходящей через данную точку параллельно заданному вектору

Пусть – фиксированная точка плоскости,– ненулевой вектор. Тогдауравнение прямой на плоскости, проходящей через точку параллельно вектору(рис. 1),в векторной форме запишется так:

(1)

где параметр принадлежит множеству действительных чисел;– произвольная точка этой прямой;– (в данном случае)направляющий вектор полученной прямой.

Рис. 1

1.2. Параметрические уравнения прямой на плоскости

Перепишем уравнение (1) в координатной форме:

(1а)

Выполнив элементарные преобразования, получим параметрические уравнения прямой:

(2)

1.3. Каноническое уравнение прямой на плоскости

Исключив из системы уравнений (2) параметр t, получим каноническое уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку параллельно вектору

(3)

1.4. Уравнение прямой на плоскости,

проходящей через две заданные точки

Предположим, что на плоскости заданы две различные точки: иВ этом случае векторбудет направляющим вектором единственной прямой,проходящей через две заданные точки, каноническое уравнение такой прямой запишем в виде:

(4)

1.5. Общее уравнение прямой на плоскости

Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение (4):

(4а)

Раскроем скобки и перепишем уравнение (4а), введя следующие обозначения: в результате чего получим:

Ax + By + C = 0.

(5)

Утверждение 1. Если в уравнении (5) илито уравнение (5) на плоскости определяет некоторую прямую и называется при этомобщим уравнением прямой на плоскости.

1.6. Уравнение прямой «с угловым коэффициентом»

Из общего уравнения прямой (5) легко получить уравнение вида

(6)

т. е. уравнение прямой на плоскости «с угловым коэффициентом », гдеtg(– угол, образованный данной прямой с положительным направлением оси абсцисс). Величина b в уравнении (6) называется начальной ординатой, так как это число по абсолютной величине равно длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. Если прямая проходит через начало координат то

1.7. Особые случаи расположение прямой на плоскости

Исследуем общее уравнение прямой (5):

1) при прямая проходит через начало координат;

2) при прямая параллельна осиОх;

3) при прямая параллельна осиОу;

4) при получаем уравнение осиОу;

5) при получаем уравнение осиОх.

1.8. Построение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости «в отрезках»

Помимо известных способов построения прямой на плоскости – по двум точкам, по данной точке и «наклону» прямой – удобно пользоваться так называемым уравнением прямой «в отрезках» на координатных осях:

(7)

которое может быть составлено для любой прямой, не проходящей через начало координат.

Пример. Построить прямую, заданную уравнением «в отрезках» на осях: Решение. (рис. 2).

Рис. 2

1.9. Нормальное уравнение прямой

Пусть – фиксированная точка плоскости,– вектор, заданный своими направляющими косинусами, тогда уравнение видазадает прямую на плоскости, проходящую через точкуперпендикулярно вектору, который называетсянормальным вектором этой прямой. Запишем скалярное произведение вектора и векторав координатной форме:

(8)

Теперь, введя обозначение получимнормальное уравнение прямой:

(9)

Рис. 3

где – угол наклона перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, к осиОх; – угол наклона этого перпендикуляра к осиОу (рис. 3). Общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 может быть приведено к нормальному виду при умножении его на нормирующий множитель

взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена.