4. Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале.*

1) ;	2)
3) ;	4)
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24)

5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиямии начальными условиями

1)	;	;
2)	;	;
3)	;	;
4)	;	;
5)	;	;
6)	;	;
7)	;	;
8)	;	;
9)	;	;
10)	;	;
11)	;	;
12)	;	;

Методом Фурье решить уравнение теплопроводности стержня длины l (найти распределение тепла в любой момент времениt вдоль стержня, имеющего теплопроницаемую боковую поверхность) с граничными условиями .

13)	;	;
14)	;	;
15)	;	;
16)	;	;
17)	;	;
18)	;	;
19)	;	;
20)	;	;
21)	;	;
22)	;	;
23)	;	;
24)	;	;

Раздел 8 криволинейные и поверхностные интегралы элементы теории поля

Вопросы для самопроверки

1. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения.

4. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

5. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.

6. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.

7. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

8. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

9. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.

В гл.XV §1-2 вводятся понятия криволинейного интеграла первого (по длине дуги) (КИ1) и второго (в координатной форме) (КИ2) рассмотрены их свойства и приложения. Вычисление криволинейных интегралов сводится в общем случае к вычислению определенного интеграла (задача 1,2), доказана формула Грина (§3), Связывающая вычисление КИ2 по замкнутой плоской кривой L с вычислением двойного интеграла по области , ограниченной этой кривой

.

Масса дуги материальной кривой при заданной линейной плотности вычисляется с помощью КИ1

.

При вычислении циркуляции векторного поля вдоль плоского контура(задача 3) следует применить формулу Грина.

В §5, 6 гл.XV вводятся понятия поверхностных интегралов первого (ПИ1) и второго (ПИ2) рода, доказываются их свойства и приложения. В §7 доказана формула Остроградского-Гаусса, связывающая вычисления ПИ2 от векторного поля

по замкнутой поверхности с вычислением тройного интеграла по области, ограниченной поверхностью

, где.

При вычислении ПИ2 по замкнутой поверхности (задача 4), как правило применяют формулу Остроградского.

При решении задачи №5 необходимо вспомнить (гл.IX §6), что нормаль к поверхности, заданной уравнением определяется вектором

.

Производная от функции по направлению векторавычисляется (гл.VIII §14) по формуле

.

Положительным считается направление нормали к поверхности, составляющее острый угол с осью OZ.

Указание. При выполнении контрольной работы №8 приходится вычислять неопределенные (определенные) интегралы вида:

, при- нечетном удобно сделать замену; при- четном либо используют тригонометрическую подстановку, либо интегрируют по частям.

Можно найти аналогичный интеграл (для конкретных значений m, a, b) в книге: Двайт «Таблица интегралов и другие математические формулы».