1 Визначення середньої чисельності станів системи

1. Модель оцінення середньої чисельності станів системи

У цій задачі студенту необхідно дослідити залізничний об‘єкт відповідно до свого завдання, визначити, у яких станах він може знаходитись, розрахувати середню чисельність станів та побудувати графік, що відображає процес переходу між станами в залежності від часу. Для дослідження характеристик випадкових процесів у складних системах з великою кількістю станів пропонується використовувати метод динаміки середніх.

Для вирішення поставленої задачі уявімо залізничний об’єкт як складну систему S. Нехай складна система S складається з N однотипних елементів, кожен з яких може випадковим чином переходити із одного стану в інший. Припустімо, що потоки подій, які переводять систему з стану в стан, є пуасонівськими з інтенсивностями λ в загальному випадку, що залежать від часу t (тобто λ = λ(t)). Тоді процес в системі буде марковським. Кожен елемент системи може знаходитися в n можливих станах: Е₁, Е₂...Е_n, а стан системи S у момент t характеризується числом елементів, що знаходяться в кожному стані. Позначимо через Х_К(t) – число елементів, що знаходяться в момент часу t в стані Е_К. Величина Х_К(t) називається середньою чисельністю стану Е_К. Вочевидь, що

M1(t)+M2(t)+…+X_n(t) = = N. (1.1)

Х_К(t) є випадковою величиною, для якої треба знайти математичне очікування М_К (t)=M[X_K(t)] та дисперсію D_K(t) = =D[X_K(t)].

Для кожного і-го елемента введемо величину

і [1;N].

Тоді для моменту t

Х_К(t)=M1_К(t)+Х²_К(t)+…+Х^N_К(t) =Xⁱ_K(t). (1.2)

Враховуючи, що величини Х^і_К(t) є незалежними між собою, використовуємо теорему складання математичних очікувань і дисперсій

М_К(t) =M[Xⁱ_K(t)];

D_K(t) =D[Xⁱ_K(t)]. (1.3)

Запишемо розподіл величини

	0	1

.

У верхньому рядку розподілу наведено можливі значення величини Х^і_К(t), а в нижньому - їх імовірності.

Тоді

M[Xⁱ_K(t)] = 0*(1-Р_К(t))+1*Р_К(t)=Р_К(t), (1.4)

де Р_К(t) - імовірність того, що окремий елемент у момент t буде знаходитись в стані Е_К.

Дисперсія величини Х^і_К(t) буде дорівнювати

D[Xⁱ_K(t)] = (0-P_K(t))² * (1-P_K(t)) + (1-P_K(t))² * P_K(t) =

=P_K(t) * (1-P_K(t)). (1.5)

Підставивши вирази (1.4) і (1.5) у (1.3), знайдемо математичне очікування і дисперсію чисельності стану Е_К:

М_К(t) = N*P_K(t); (1.6)

D_K(t) = N*P_K(t) * (1-P_K(t)). (1.7)

Таким чином, задачу визначення середніх чисельностей станів системи S зведено до задачі визначення імовірностей P_K(t) станів окремих елементів. Ці імовірності визначаються на основі сформованого графу станів окремого елемента щодо досліджуваного технологічного процесу. При цьому необхідно знати інтенсивності λ_і, які переводять елемент зі стану S_і в стан S_і+1. Величина —середній час перебування елемента в стані S_і.

Як приклад розглянемо систему, що складається з N вантажних вагонів, кожен з яких може знаходитися в таких станах: Е₁— справний, Е₂ — в технічному огляді, Е₃ — в ремонті. Тоді відповідний граф станів має наступний вигляд, як на рисунку 1.1.

Рисунок 1.1 – Граф станів вантажного вагона

Позначимо через m₁ — чисельність вантажних вагонів у справному стані Е₁; m₂ — чисельність вантажних вагонів у технічному огляді; m₃ — чисельність вантажних вагонів у ремонті.

Складемо систему диференційних рівнянь Колмогорова безпосередньо для середніх чисельностей станів m_K(t):

(1.8)

Для кожного моменту часу t повинна виконуватися умова нормування:

m₁+m₂+m₃=N. (1.9)

Систему диференційних рівнянь (1.8) потрібно розв’язувати при початкових умовах: t=0; m₁=N; m₂=0; m₃=0.

Процес розв’язання доцільно проводити аналітичними або чисельними методами в середовищі MatLab.

В результаті розв’язання будуть отримані залежності m_K = m_K(t), які схематично мають вигляд, наведений на рисунку 1.2.

Рисунок 1.2 – Залежності середніх чисельностей станів системи m_K(t)