2.5Дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на идеальной (невесомой и нерастяжимой) нити (Рис.1).

Основной закон динамики вращательного движения маятника: . Здесь M – момент сил, действующих на маятник, I – его момент инерции относительно точки подвеса нити, – угловое ускорение,  - угол отклонения нити от вертикального направления – положения равновесия маятника. Маятник совершает колебательные движения благодаря действию силы тяжести, возвращающей его к положению равновесия. Момент этой силы представляет собой векторное произведение радиус-вектора, проведенного из точки подвеса нити до центра масс маятника, и силы тяжести: . Легко показать, что вектор момента возвращающей силы и вектор углового смещения противоположны по направлению (например, на рисунке 1 оба вектора перпендикулярны плоскости рисунка, но вектор углового смещения направлен к зрителю, а вектор момента силы тяжести от него). Следовательно, можем записать скалярное соотношение: . В результате основной закон динамики примет вид . Это выражение описывает движение как математического, так и физического маятника. В последнем случае величина L обозначает расстояние между осью вращения и центром масс маятника.

Рис.1 Изображение рабочего окна программы для изучения свободных колебаний математического маятника.

Будем считать, что угол отклонения маятника мал, а значит (вместо синуса угла будем использовать его угловую меру, выраженную в радианах). Момент инерции математического маятника (момент инерции материальной точки, движущейся по окружности с радиусом L). Сделав указанные подстановки, окончательно получим . Форма данное выражения полностью соответствует уравнению (1), а значит его решение может быть записано в виде, аналогичном выражениям (2):

, где . (5)

Поскольку в момент времени t=0 угол отклонения равен ₀, начальная фаза равна нулю. Период колебаний математического маятника без затухания .

В рассмотренной выше системе отсутствовали диссипативные силы, а значит колебания происходили без затухания. Между тем, при движении тела в любой вязкой среде (в том числе в воздухе) на тело действует сила трения, величина которой при малой скорости движения пропорциональна скорости тела, а направление противоположно ей: . Эта сила направлена по касательной к траектории, а значит для ее момента можно записать скалярное выражение . Учитывая, что , уравнение вращательного движения приобретает следующий вид: . Подставляя сюда и принимая угол отклонения маятника малым ( ), получим окончательно:

. (6)

В соответствии с формулами (3) и (4), решение этого уравнения имеет вид

, где . (7)

Величина представляет собой коэффициент затухания колебаний, аналогичный параметру  в формулах (3) и (4). При b=0 система совершает гармонические колебания с циклической частотой ₀. По мере роста коэффициента трения частота колебаний уменьшается, а значит период колебаний растет, пока при критическом значении период не обратится в бесконечность, то есть колебания в системе полностью прекратятся.