100 → Ошибка в b1,

010→ ошибка в b₂,

001→ ошибка в b₃.

Появление большего числа единиц в синдроме будет связано с ошибками в информационных символах.

Теперь присвоим информационным символам с ошибками оставшиеся синдромы, причем в порядке возрастания их двоичных символов:

011→ ошибка в ,

101→ ошибка в ,

110→ ошибка в ,

111→ ошибка в .

Для определения коэффициентов их надо подобрать таким образом, чтобы при возникновении ошибки в информационном символе а_i появлялся бы соответствующий этой ошибке синдром.

Например, для ошибки в символе необходимо в уравнениях правила формирования проверочных символов коэффициенты при этом ошибочном символе взять соответствующими синдрому этого символа. Тогда

→ =0, = 1, =1,

→=1, =0, =1,

→=1, =1, =0,

→=1, =1, =1.

Тогда по этим коэффициентам строятся уравнения формирования проверочных символов, которые будут иметь вид:

,

,

.

5.3.2. Матричное представление линейных (систематических) кодов.

В матричной форме систематическое кодирование задается некоторой порождающей матрицей G_k×n. Тогда можно записать следующее соотношение:

B_1×n= A_1×k • G_k×n, где B_{1× n}= [] - вектор-строка кодового слова; A_{1× k} = [ ] - вектор-строка информационного слова; G_k×n- порождающая матрица.

Порождающая матрица может быть представлена в следующем виде, если учесть, что для проверочных символов мы выбираем синдром с одной единицей, и использовать правило формирования проверочных символов, тогда:

G_k×n= (I_k×k P_k×r), где I_k×k - единичная матрица по числу информационных символов; P_k×r - правило формирования проверочных символов.

Заметим, что в матрице P_k×r включаются именно коэффициенты , которые и дают правило формирования проверочных символов.

Для рассмотренного ранее примера порождающая матрица будет иметь вид:

1 G4×7 =	0	0	0	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	1	0
0	0	0	1	1	1	1

Тогда можно определить любой вектор кодовой комбинации В по заданному вектору информационных символов А.