6. Частично рекурсивные функции

С помощью операций суперпозиции и примитивной рекурсии из простейших функций получаются только полностью определенные функции. Введем еще одну операцию – операцию минимизации функции.

Пусть имеется арифметическая функция (возможно частично определенная). Пусть существует какой-то механизм вычисления этой функции, причем значение функции не определено тогда и только тогда, когда этот механизм работает бесконечно, не выдавая никакого определенного результата.

Фиксируем произвольный набор значений для первыхаргументов функциии рассмотрим уравнение относительно:

.

Чтобы найти натуральное решение этого уравнения, будем вычислять при помощи указанного выше "механизма" последовательно значения для и сравнивать с. Наименьшее значение , для которого получится , обозначим . Очевидно, что является-арной частичной функцией, которая полученаоперацией минимизации из функции .

Описанный процесс нахождения будет продолжаться бесконечно в следующих случаях:

• Значение не определено для каждого

• Значения для определены, но отличны от, а значение не определено.

• Значения определены для всех и отличны от.

Во всех этих случаях значение считается неопределенным. В остальных случаях описанный процесс обрывается и дает наименьшее решениедля уравнения .

Предложение (свойство операции минимизации).

Операция минимизации сохраняет интуитивную вычислимость функций.

Доказательство. Пусть необходимо вычислить значение функции на наборедля некоторой интуитивно вычислимой функции. Применим процедуру вычисления функциина наборе. Если через конечное число шагов процедура определяет значение и , то полагаем значение функции равным0. Если же , то переходим к следующему этапу, на котором применяем процедуру вычисления функции на набореи т.д.

Если на -ом этапе вычислено значение функции и , то полагаем значение функции равным. Если на -ом этапе вычислено значение функции и , то переходим к следующему этапу и т.д.

В случаях, когда на каком-то этапе процедура вычисления функции работает бесконечно или работа процедуры завершилась безрезультатно, то считаем функцию неопределённой на наборе . А так как описанная процедура пригодна для любого набора, то, очевидно, она представляет собой алгоритм вычисления значений функции . Предложение доказано.

Процесс вычисления , описанный выше, показывает, что если функция интуитивно вычислима, то значение (если оно существует) может быть вычислено эффективно.

Частичная функция f называется частично рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций конечным числом операций подстановки, примитивной рекурсии и минимизации.

Общерекурсивной функцией называется всюду определённая частично рекурсивная функция.

Далее рассмотрим примеры общерекурсивных функций.

Пример 1. Простейшие функции ,,длявсюду определены, поэтому они являются общерекурсивными функциями.

Пример 2. Все примитивно рекурсивные функции являются общерекурсивными функциями.

Пример 3. Минимизируем примитивно рекурсивную функцию

Составим минимизирующее уравнение

Найдем значения функции при различных значениях.

При нужно найти минимальное значение, которое удовлетворяет условию.

• Полагаем и находим значение. Оно не совпадает со значением.

• Полагаем и находим значение.Таким образом, такоесуществует ии.

При нужно найти минимальное значение, которое удовлетворяет условию.

• Полагаем и находим значение.Таким образом, такоесуществует ии.

При нужно найти минимальное значение, которое удовлетворяет условию.

• Полагаем и находим значение. Оно не совпадает со значением.

• Полагаем и находим значение. Оно не совпадает со значением.

• Полагаем и находим значение. Оно не совпадает со значением.

• Полагаем и находим значение. Таким образом, такоесуществует ии.

Для остальных . Получили, что функциявсюду определена и имеет следующий вид

Далее рассмотрим примеры частично рекурсивных функций

Пример 1. Функция является частично рекурсивной, поскольку может быть получена с помощью операции минимизации из примитивно рекурсивной функции сложения. Действительно,. Прифункция не определена.

Пример 2. Рассмотрим функцию, заданную уравнением:

Результат операции минимизации не определен даже для точки х=0.

Действительно, при нужно найти минимальное значение, которое удовлетворяет условию. Очевидно, что среди неотрицательных целых чисел такоене существует. Таким образом, функцияявляется частично рекурсивной функцией, которая нигде не определена.

Пример 3. Рассмотрим функцию, заданную следующим образом

Найдем значение . При нужно найти минимальное значение, которое удовлетворяет условию. Очевидно, что такоесуществует и. Длярезультат операции минимизации не определен, поскольку подбор нужного значения никогда не будет закончен.

Пример 4. Минимизируем функцию .

Уравнение, определяющее новую функцию выглядит так

Поскольку функция принимает только 3 значения (2,4,3), то функцияопределена только при этих значениях, в остальных точках значение функциине определено. Найдем значение.Решая уравнение последовательной подстановкой, находим, что первое удовлетворяющее уравнению значение равно 5, т.е.. Аналогично определяем, что,. Таким образом,

Обозначим K_ПРФ – множество всех примитивно рекурсивных функций, K_ЧРФ – множество всех частично рекурсивных функций, K_ОРФ – множество всех общерекурсивных функций, а K_ВФ – множество всех интуитивно вычислимых функций.

Связь между этими множествами функций показывает следующее.

Предложение (о иерархии классов рекурсивных функций)

K_ПРФÌК_ОРФÌК_ЧРФÌК_ВФ.

Доказательство. Первое включение следует из определений примитивной рекурсивности и общерекурсивности функций. Существуют примеры общерекурсивных, но не примитивно рекурсивных функций (примеры не приводятся из-за сложности и громоздкости), поэтому включение строгое.

Из определений частичной рекурсивности и общерекурсивности функций следует, что K_ОРФÌК_ЧРФ. Выше был приведен пример нигде не определённой частично рекурсивной функцией, а любая общерекурсивная функция является всюду определённой. Таким образом, имеет место строгое включение K_ОРФÌК_ЧРФ.

Очевидно, что K_ЧРФÌК_ВФ, т.е. любая частично рекурсивная функция интуитивно вычислима.

Сделаем два важных замечания:

• в современной теории рекурсивных функций считают, что верно и обратное включение, т.е. любая вычислимая функция является частично рекурсивной (тезис Чёрча-Клини);

• существуют функции, не являющиеся частично рекурсивными, а следовательно, если принять тезис Чёрча-Клини, то существуют функции, не являющиеся вычислимыми.

Предложение доказано.