А. Акунова, А.В. Ушаков

Основной результат

Рассматривается непрерывная система

(1)

x(t)= Fx(t) +Gg(t); x(0), y(t) = Cx(t);

&

где x Rn , g Rm , G Rn×m , F Rn×n , матрица состояния F

гурвицева и простой

ограниченной нормы формируется с помощью автономной системы

(2)

z(t)= Γz(t); z(0) = z0 , g(t) = Pz(t) ,

&

в котором z Rl , Γ Rl×l , P Rm×l .

Утверждение 1. Общее решение системы (1)

x(t) = x[x(0), g(t),t]

(3)

может быть записано в виде

x(t) = Π(t)χ(0) ,

(4)

где матрица Π(t) имеет представление

Π(t) = [exp(Ft) T exp(Γt)−exp(Ft)T ],

(5)

а вектор χ(0) задается в форме

χ(0)= [xT (0), zT (0)]T .

(6)

Матрица T в (5) является решение матричного уравнения Сильвестра

TΓ− FT = GP .

(7)

Π(t)= [exp(Ft) (exp(Ft)− I )F −1GP].

(8)

Γ = 0 .

(9)

Подстановка нулевой матрицы (9) в уравнение Сильвестра (7) позволяет найти явное

решение для матрицы T = −F −1GP , а подстановка

в (5) дает

exp(Γt)= I , что в

совокупности приводит к (8).

Сконструируем скалярные экспоненциальные

системы

сравнения (СЭСС)

минимальной достаточности [3] в функциональном базисе фундаментальной матрицы

Φ(t)= exp(Ft)

системы

(1) для

решений

x(t) = x[x(0), g(t) ≡ 0,t]

однородной

(автономной)

версии

системы

(1)

и

для ее неоднородной версии

x(t) = x[x(0) ≡ 0, g(t) = g0 ,t].

Утверждение 3. Решение однородной скалярной системы

ζ&(t)+ηζ (t) = 0; ζ (0) ≥ β

x(0)

(10)

мажорирует решение x(t) = x[x(0), g(t) ≡ 0,t]

однородной версии системы (1) в смысле

выполнения неравенства

x(t)

≤ζ (t)= βe−ηt

x(0)

,

(11)

при этом

η = min{Re λi = λi

; i =

}; β = C{M },

(12)

1, n

i

Доказательство утверждения 3 строится на непосредственном вычислении

нормы

x(t)

решения x(t) = x[x(0), g(t) ≡ 0,t], задаваемого выражением (4), в котором

следует

подставить χ(0) = [x(0)T 0T ]T

и матрицу Π(t) в форме (5). Это вычисление

дает цепочку неравенств

x(t)

=

exp(Ft)x(0)

≤

M

exp(Λt)

M −1

x(0)

=

(13)

= C{M }

diag{eλit ; i =

}

= C{M }e−ηt

1, n

x(0)

x(0)

.

Нетрудно видеть, что η - представляет собой степень устойчивости системы (1) с

матрицей F

простой структуры. Система

(10) именуется системой сравнения

для

решений x(t) = x[x(0), g(t) ≡ 0,t] системы (1).

равных по норме начальных состояний.

Экспоненциальное покрытие (11) с параметрами (12) является критериальным в

смысле обнаружения колебательности процессов

x(t)

=

x[x(0), g(t) ≡ 0,t]

. Так, если

C{M }=1, то матрица F связана с диагональной с

помощью ортогональной матрицы

этом

мажорирующая

их

оценка

xˆ(t)

минимальной

достаточности

в

силу

(4)

определяется максимальным сингулярным числом αM {Π(t)} на сфере

x(0)

= x0

так,

что

xˆ(t)

=αM {exp(Ft)}

x(0)

. Подобное обнаруживается и на траекториях

системы (1)

x(t)

=

x

[x(0) ≡ 0, g(t) = g0 ,t]

.

Утверждение 5. Решение неоднородной скалярной системы

ξ&(t)+νξ(t)=γν

g0

;

ξ(0)≡ 0 ,

(14)

именуемой неоднородной СЭСС мажорирует решение

x(t)

=

x[x(0) ≡ 0, g(t) = g0 ,t]

неоднородной версии системы в смысле выполнения неравенства

x(t)

≤ξ

(t)=γ

g0

(1−e−νt ),

(15)

при этом

ν = max{Re λi

= λi

; i =

}

(16)

1, n

1

i

γ =

C{M }

G

.

(17)

η

Доказательство утверждения, как и в случае утверждения 3, строится на

непосредственном

вычислении

нормы

x(t) = x[x(0) ≡ 0, g(t) = g0

= Pz(0),t]

,

задаваемого выражением (4), в котором следует положить x(0)= [0T zT (0)]T

и матрицу

Π(t) в форме (8). Это вычисление дает цепочку неравенств

)M −1Gg0

x(t)

=

(I − exp(Ft))F −1GPz(0)

=

Mdiag(λ−i

1 (1 − eλit ), i =

≤

1, n

.

(18)

≤

M

diag(λ−i1 (1 − eλit

), i =

)

M −1

G

g0

≤ C{M }1 (1 − eνt )

G

g0

1, n

η

Как и в случае однородной версии системы (1), ее неоднородная версия для

процессов

x(t)

=

x[x(0) ≡ 0, g(t) = g0 ,t]

в случае плохо

обусловленной

структуры

собственных

векторов,

характеризующейся

выполнением

условия

C{M }>1,

xˆ(t)

минимальной

достаточности в силу (4) определяется

максимальным

=

[0T

zT (0)]T

,

сингулярным числом αM {Π(t)} матрицы Π(t) вида (8) на сфере

χ(0)

порождающую в силу Pz(0) = g0 сферу скачкообразного воздействия

g(t)

=

g0

так,

что

M {(I

exp(Ft))F

ˆ

=α

−

−1

g0

.

(19)