14. Мощность двухполюсника в синусоидальном режиме

Рис. 14.1.

Рассмотрим двухполюсник в синусоидальном режиме. Будем иметь в виду потребляемую мощность, поэтому стрелки напряжения и тока направим в одну сторону (рис. 14.1)

Пусть .

Вычислим активную мощность, потребляемую двухполюсником (здесь – периодu(t) иi(t)):

так как .

Учитывая, что , гдеUиI– действующие значения напряжения и тока,– сдвиг фаз между напряжением и током, получим:

.

Число называетсякоэффициентом мощности. При использовании мощных электромагнитных устройств стараются увеличить, сделать его как можно ближе к единице, потому что придостигается максимальная активная мощность, возможная при заданных значениях напряжения и тока. Эту мощность называютполной мощностьюи обозначают буквойS:

.

Полная мощность измеряется в вольт-амперах: ВА.

С другой стороны, при заданном напряжении и заданной активной мощности условие соответствует минимальному значению тока в линии электропередач, соединяющей источник электроэнергии с нагрузкой. Это обеспечивает минимум потерь энергии в проводах линии.

Очень важную роль в энергетике играют трансформаторы и асинхронные электродвигатели. Они имеют максимальный при максимальной нагрузке. Поэтомуполная загрузка используемого оборудования представляет один из основных способов повышения коэффициента мощности. Второй способ – применение компенсаторов реактивной мощности (конденсаторов и синхронных электрических машин).

Реактивная мощностьобозначается буквойQ и определяется формулой

.

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных: ВАр. Она может быть измерена приборами. По значениям активной и реактивной мощности можно судить о значении коэффициента мощности и об эффективности использования оборудования. Для стимулирования повышения тарифы на электроэнергию могут зависеть от значения реактивной мощности.

Выражения для полной, активной и реактивной мощности можно получить также из комплексов напряжения и тока двухполюсника. При этом вводится понятие комплексной мощности:,

где – число, комплексно сопряженное к комплексу тока.

Рис. 14.2.

Получим связь:

,

.

Итак, .

Полученные зависимости изображают на комплексной плоскости в виде “треугольника мощностей” (рис. 14.2).

15. Последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Рис. 15.1.

Рассмотрим двухполюсник, состоящий из последовательно включенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 15.1). Он подключен к источнику синусоидального напряжения, амплитуда которого постоянна. Найдем зависимость тока в цепи и напряжений на элементах R, L, Cот частоты. По второму закону Кирхгофа .

Согласно уравнениям элементов

,,,

откуда ,

. (15.1)

Мы нашли комплекс тока. Попутно в знаменателе мы получили комплексное сопротивление двухполюсника , активное сопротивление двухполюсникаи реактивное сопротивления двухполюсника.

Рис. 15.2.

Вычислив модули обеих частей уравнения 15.1, получим связь действующих значений напряжения и тока двухполюсника: . (15.2) В знаменателе формулы 15.2 находится полное сопротивление двухполюсника . График зависимости тока от частоты показан на рис. 15.2.

Фазовым резонансомдвухполюсника называется такой режим, при котором ток и напряжение двухполюсника совпадают по фазе:. При этом реактивное сопротивление и реактивная проводимость двухполюсника также равны нулю.

Резонансом напряженийдвухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются напряжения элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом минимально:z = min.

Резонансом токовдвухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются токи элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом максимально:z = max.

Частотным резонансомдвухполюсника называется режим, при котором частота источника колебаний совпадает с одной из частот собственных колебаний двухполюсника. Собственные колебания происходят при переходных процессах (см. п. 20).

Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора фазовый резонанс совпадает с резонансом напряжений. Резонансная частота определяется по формуле

,

которая выводится из равенства нулю реактивного сопротивления: .

Зависимость действующих значений напряжений от частоты для последовательного соединения R,L,Cпоказана на рис. 15.3. Выражения для вычисления этих напряжений получаются умножением действующего значения тока (формула 15.2) на полные сопротивления элементов:,,(см. п. 12).

Построим векторную диаграмму тока и напряжений (рис. 15.4, здесь показан случай U_L>U_C). Проще всего это сделать, если начальная фаза тока равна нулю:. Тогда вектор, изображающий комплекс тока, будет направлен под угломк действительной оси комплексной плоскости. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на резисторе, будет направлен в ту же сторону, что и вектор, изображающий комплекс тока.

Рис. 15.3.

Рис. 15.4.

Рис. 15.5.

Напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на катушке индуктивности, будет направлен под угломк вектору, изображающему комплекс тока. Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на конденсаторе, будет направлен под углом –к вектору, изображающему комплекс тока. Вектор, изображающий комплекс приложенного напряжения, будет равен сумме векторов, изображающих комплексы напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Длины всех векторов пропорциональны действующим значениям соответствующих величин. То есть, для того чтобы нарисовать векторы, нужно задать масштабы, например: в 1 сантиметре 20 вольт, в 1 сантиметре 5 ампер.

Векторная диаграмма для режима резонанса показана на рис. 15.5.

Вычислим отношение действующих значений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе к действующему значению напряжения источника в режиме резонанса.

Учтем, что при резонансе напряжения на катушке и на конденсаторе полностью компенсируют друг друга (резонанс напряжений), и поэтому напряжение источника равно напряжению на резисторе: (рис. 15.5). Используем связь действующих значений тока и напряжения для резистора, катушки и конденсатора, а также формулу для резонансной частоты. Получим:

,

откуда .

Величину называютволновым сопротивлениемколебательного контура и обозначают буквой. Отношениеобозначают буквойQи называютдобротностьюколебательного контура. Она определяет усилительные свойства контура на резонансной частоте. У хороших контуров добротность может быть порядка нескольких сотен, то есть в режиме резонанса напряжение на катушке и конденсаторе может быть в сотни раз больше приложенного к двухполюснику.

Резонанс часто применяется в электротехнике и электронике для усиления синусоидальных напряжений и токов, а также для выделения колебаний определенных частот из сложных колебаний. Однако, нежелательный резонанс в информационных электрических цепях приводит к возникновению и усилению помех, а в силовых цепях может привести к появлению опасно больших напряжений и токов.