Степенные ряды

Определение. Ряд вида a₀ + a₁x+ a₂x²+…+a_nx ⁿ_+…= – (13) называется степенным.

Числа a₀, a_1,… a_2, …a_n …называются коэффициентами ряда,

─действительная переменная.

Теорема. Степенной ряд (13) сходится при значениях х, содержащихся в некотором интервале (-R, R) и расходится при значениях х вне этого интервала. Этот интервал называется интервалом сходимости, а число R ─ радиусом сходимости.

Формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда

(14)

Пример 33 Определить радиус сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала .

Решение: Найдём коэффициенты

, Найдем ;

R=3, значит ряд сходится на интервале (-3; 3). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При x = 3, получаем ряд , ряд расходится, как гармонический.

При x = -3, получаем знакочередующийся ряд , этот ряд сходится (по признаку Лейбница). Таким образом, ряд сходится для всех.

Пример 34 Найти область сходимости степенного ряда .

Найдём радиус сходимости ,,

,─ интервал сходимости.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим ряд

Для исследования ряда на сходимость воспользуемся интегральным признаком сходимости, в качестве функции f(x) возьмём функцию .

Несобственный интеграл расходится , следовательно и ряд расходится.

При получим ряд, по признаку Лейбница ряд сходится, таким образом, интервал сходимости.

Задания для выполнения контрольной работы

Задание 1. Найти предел.

Таблица 2 ─ Данные задания 1

№		№
1	а) б)	11	а) б)
2	а) б)	12	а) б)
3	а) б)	13	а) б)
4	а) б)	14	а) б)
5	а) б)	15	а) б)
6	а) б)	16	а) б)
7	а) б)	17	а) б)
8	а) б)	18	а) б)
9	а) б)	19	а) б)
10	а) б)	20	а) б)

Задание 2. Найти: а) производную функции

б) полный дифференциал функции

Таблица 3 ─ Данные задания 2

№		№
1	а) б)	11	а) б)
2	a) б)	12	а) б)
3	а) б)	13	а) б)
4	а) б)	14	а) б)
5	а) б)	15	а) б)
6	а) б)	16	а) б)
7	а) б)	17	а) б)
8	а) б)	18	а) б)
9	а) б)	19	а) б)
10	а) б)	20	а) б)

Задание 3. Исследовать функцию и построить график

Таблица 4 ─ Данные задания 3

№		№
1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10		20

Задание 4.

1 ─ 5. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

1. (усл.ед.), р = 4 (ден.ед.).

2.(усл.ед.), р = 8 (ден.ед.).

3. (усл.ед.), р = 4 (ден.ед.).

4. (усл.ед.), р = 3 (ден.ед.).

5. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).

6 ─ 10. Спрос на товар (Д) в зависимости от дохода потребителей (х) определяется функцией Д(х). Рассчитать эластичность функции спроса относительно дохода и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

6. (усл.ед.), х = 2 (ден.ед.).

7. (усл.ед.), х = 4 (ден.ед.).

8. (усл.ед.), х = 2 (ден.ед.).

9. (усл.ед.), х = 3 (ден.ед.).

10. (усл.ед.), х = 8 (ден.ед.).

11─15. Пусть функция полных затрат имеет вид К(х), где х ─ объём производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

11. (ден.ед.), х = 30 (усл.ед.).

12. (ден.ед.), х = 20 (усл.ед.).

13. (ден.ед.), х = 4 (усл.ед.).

14.(ден.ед.), х = 25 (усл.ед.).

15. (ден.ед.), х = 3 (усл.ед.).

16 ─ 20. Спрос на товар (Q) относительно цены (р) определяется функцией Q(p). Рассчитать эластичность функции спроса относительно цены и найти значение показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.

16. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).

17. (усл.ед.), р = 12 (ден.ед.).

18. (усл.ед.), р = 10 (ден.ед.).

19. (усл.ед.), р = 2 (ден.ед.).

20. (усл.ед.), р = 10 (ден.ед.).

Задание 5. Найти интеграл

Таблица 5 ─ Данные задания 5

№		№
1	а) б) в)	11	а) б) в)
2	а) б) в)	12	а) б) в)
3	а) б) в)	13	а) б) в)
4	а) б) в)	14	а) б) в)
5	а) б) в)	15	а) б) в)
6	а) б) в)	16	а) б) в)
7	а) б) в)	17	а) б) в)
8	а) б) в)	18	а) б) в)
9	а) б) в)	19	а) б) в)
10	а) б) в)	20	а) б) в)

Задание 6. Решить дифференциальные уравнения.

Таблица 6 ─ Данные задания 6

№		№
1	а) б)	11	а) б)
2	а) х+xy+(y+2xy)=0 б)	12	а) б)
3	a) 2 б)	13	а) б)
4	a) б)	14	а) б)
5	а) (1+) +(1+)=0 б)	15	а) б)
6	а) б)	16	а) б)
7	а) б)	17	а) б)
8	а) 2(1+e б)	18	а) б)
9	а) б)	19	а) б)
10	а) б)	20	а) б)

Задание 7. Исследовать ряд на сходимость.

Таблица 7 ─ Данные задания 7

№		№
1	а) б)	11	а) ; б)
2	а) ; б)	12	а) ; б)
3	а) ; б)	13	а) ; б)
4	; б)	14	а) ; б)
5	а) ; б)	15	а) ; б)
6	а) ; б)	16	а) ; б)
7	а) ; б)	17	а) ; б)
8	а) ; б)	18	а) ; б)
9	а) ; б)	19	а) ; б)
10	а) ; б)	20	а) ; б)

2