«Расчет статически неопределимой системы»

1. Вычертим заданную схему элемента (рис. 20) с приложенными нагрузками, соблюдая масштаб длин, проставим значения размеров и нагрузок.

Рис. 20 Заданная схема

Дано:

2. Раскрываем степень статической неопределимости.

Неизвестные реакции : в опоре, а в опоре, т. е. число реакций. Степень статической неопределимости равна

,

где – число уравнений статики для плоской системы.

3. Выбираем основную (рис. 21), эквивалентную (рис. 22) системы.

Рис. 21 Основная система	Рис. 22 Эквивалентная система и ее возможные деформациии

Разбиваем эквивалентную систему на грузовую (рис. 23) и систему, нагруженную силой (рис. 24).

Рис. 23 Грузовая система и ее деформации под действием внешней нагрузки	Рис. 24 Система, нагруженная силой , и деформация под действием этой нагрузки

4. Строим единичную систему и изображаем на расчетных схемах деформацию осей всех систем и перемещения , _, , напишем условие совместности деформаций.

Для нахождения перемещения (рис. 24) необходимо (в соответствии с методами Мора и Верещагина) в т. основной системы приложить силу по направлению неизвестной реакции , получим единичную систему, перемещение (деформация) которой будет равно (рис. 25).

Тогда

.

Рис. 25 Единичная система

Деформацию (рис. 23) обозначим как – перемещение по направлению силы от действия всей внешней нагрузки, затем подсчитываем методами Мора и Верещагина.

Используя принцип независимости действия сил, условие совместности деформаций запишем в виде:

.

5. Напишем каноническое уравнение метода сил – уравнение совместности деформаций.

Для этого, подставив значения и , в условие совместности деформаций, получим каноническое уравнение метода сил для одного неизвестного:

.

6. Определим значения изгибающих моментов грузовой и единичной систем и построим эпюры.

Разбиваем грузовую и единичную системы на одинаковые силовые участки и составляем необходимые уравнения.

Грузовая система:	Единичная система:

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы (рис. 26).

Рис. 26 Эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки

7. Определяем неизвестные канонического уравнения и методами Мора и Верещагина, находим неизвестную реакцию.

Принимаем жесткость всех элементов постоянной, т.е. .

1) Определяем перемещения методом Мора:

,

где – значение изгибающего момента на - том силовом участке от действия единичной силы.

Проверка методом Верещагина:

,

где – площадь эпюры изгибающих моментов от единичной силы;

–ордината, взятая против центра тяжести эпюры изгибающих моментов от единичной силы, из той же эпюры, располагаемой под первой.

2) Определяем перемещения методом Мора:

,

где – значение изгибающего момента на -том силовом участке от действия заданных сил;

– значение изгибающего момента на -том силовом участке от действия единичной силы.

Проверка методом Верещагина:

,

где – площадь эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок;

– ордината эпюры изгибающих моментов от единичной силы, расположенная под центром тяжести эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок.

	Разбиваем эпюру на две:
	Разбиваем эпюру на две:
	Разбиваем эпюру на две:

3) Определяем значение неизвестной реакции :

8. Вычисляем значения внутренних усилий на каждом силовом участке и строим окончательные эпюры.

Дано:

Рис. 27 Расчетная (эквивалентная) система

Строим окончательные (суммарные) эпюры внутренних усилий (рис. 28).

Рис. 28 Окончательные (суммарные) эпюры внутренних усилий

9. Проводим статическую проверку в узлах C и D (рис. 29, 30):

Рис. 29 Узел С
Рис. 30 Узел D

10. Выполняем проверку равенства нулю перемещения по направлению отброшенной связи , подтверждающую правильность определения реакции , используя методы Мора и Верещагина. Она заключается в определении перемещенияв эквивалентной системе по направлению отброшенной связи с учетом найденной опорной реакции, тоeсть следует убедиться, что .

Для этого используем метод Мора. Под интегралами перемножаем уравнения изгибающих моментов от суммарных внешних и единичной нагрузок на соответствующих силовых участках:

,

где – значение изгибающего момента на -том силовом участке от действия заданных внешних нагрузок и найденной реакции ;

–значение изгибающего момента на -том силовом участке от действия единичной силы.

Проверка методом Верещагина:	Разбиваем эпюру на две:
	Разбиваем эпюру на две:
	Разбиваем эпюру на две:

Таким образом, установлено, что реакция определена верно.

11. Подбираем поперечные сечения конструкции, состоящей из двутавровой балки и проверяем конструкцию на прочность по касательным напряжениям.

Подбор сечения осуществляется по условиям прочности при изгибе:

;

.

Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239 –89) выбираем двутавр № 18:

Расчет на прочность проводим по условию прочности при растяжении и изгибе:

.

Определяем перегрузку (недогрузку):

.

Перегрузка не должна превышать +.

Проверка конструкции на прочность по касательным напряжениям осуществляется по формуле

.

Для искомой конструкции

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. В чем сущность метода сквозного разреза (сечения)?

2. Какой вид нагружения называется растяжением (сжатием)?

3. Какое правило знаков принято для продольной силы? Как вычисляется значение продольной силы в поперечном сечении бруса?

4. Что называется эпюрой? Правило построения эпюры продольных сил.

5. Как вычисляются нормальные напряжения в поперечном сечении растянутого стержня?

6. Что называется абсолютным и относительным удлинением?

7. Что характеризует модуль упругости? Как он влияет на деформации бруса?

8. Что называется коэффициентом Пуассона и каковы его имеет значения?

9. Сформулируйте закон Гука.

10. Какой вид нагружения называется кручением?

11. Как определяются напряжения при кручении?

12. Что такое момент сопротивления сечения при кручении?

13. В чем состоят условия прочности при кручении?

14. Какая величина называется жесткостью при кручении?

15. Как в общем случае определяются углы закручивания?

16. Что называется чистым изгибом, поперечным изгибом?

17. Какие уравнения используются для определения опорных реакций?

18. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса при изгибе?

19. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?

20. Чему равен изгибающий момент и поперечная силав любом сечении балки?

21. Какая дифференциальная зависимость существует между поперечной силой и интенсивностью распределённой нагрузки?

22. Как определяется экстремальное значение изгибающего момента?

23. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях при изгибе?

24. Как определяются осевые моменты сопротивления прямоугольного и круглого поперечного сечения?

25. Проанализируйте формулу Журавского.

26. Что называется статически неопределимой системой?

27. Какая система называется геометрически неизменяемой?

28. В чем заключается выбор основной системы?

29. Каков физический смысл уравнений деформаций (канонических уравнений метода сил)?

30. Что означают величины ,,и ?

31. Объясните сущность метода Мора.

32. Объясните сущность метода Верещагина.

33. Как проводится статическая проверка окончательных эпюр ,,?

34. На чем основана и как проводится деформационная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пирогов, Е. Н. Сопротивление материалов. С примерами типичных

расчетов [Текст] : конспект лекций / Е. Н. Пирогов.–

М. : Айрис Пресс, 2003. – 176 с.

2. Сопротивление материалов [Текст] : учеб. пособие /

под ред. Н. А. Костенко – 2-е изд., испр. – M. : Высш. шк., 2004. – 430 с.

3. Тимошенко, С. П. Механика материалов [Текст] : учеб./

С. П. Тимошенко.– СПб. : Лань, 2002. – 672 с.

4. Харчевников, В. И. Сопротивление материалов и прикладная механика [Текст] : тексты лекций / В. И. Харчевников, Т. Н. Стородубцева. – Воронеж, ВГЛТА, 2004. – 107 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Площади и координаты центра тяжести простых фигур

Виды эпюр изгибающих моментов	Площадь эпюры	Абсциссы центра тяжести эпюры

Двутавры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239-89)

	h – высота двутавра; b – ширина полки; s – толщина стенки; t– средняя толщина полки; A – площадь поперечного сечения; J – момент инерции; W– момент сопротивления; S –статический момент полусечения; i–радиус инерции.

№	Размеры, мм				, см2	, см4	, см3	, см	, см3	, см4	, см3	, см
	h	b	s	t
10	100	55	4,5	7,2	12	198	39,7	4,06	23	17,9	6,49	1,22
12	120	64	4,8	7,3	14,7	350	58,4	4,88	33,7	27,9	8,72	1,38
14	140	73	4,9	7,5	17,4	572	81,7	5,73	46,8	41,9	11,5	1,55
16	160	81	5	7,8	20,2	873	109	6,57	62,3	58,6	14,5	1,7
18	180	90	5,1	8,1	23,4	1290	143	7,42	81,4	82,6	18,4	1,88
20	200	100	5,2	8,4	26,8	1840	184	8,28	104	115	23,1	2,07
22	220	110	5,4	8,7	30,6	2550	232	9,13	131	157	28,6	2,27
24	240	115	5,6	9,5	34,8	3460	289	9,97	163	198	34,5	2,37
27	270	125	6	9,8	40,2	5010	371	11,2	210	260	41,5	2,54
30	300	135	6,5	10,2	46,5	7080	472	12,3	268	337	49,9	2,69
33	330	140	7	11,2	53,8	9840	597	13,5	339	419	59,9	2,79
36	360	145	7,5	12,3	61,9	13380	743	14,7	423	516	71,1	2,89
40	400	155	8,3	13	72,6	19,62	953	16,2	545	667	86,1	3,03
45	450	160	9	14,2	84,7	27696	1231	18,1	708	8087	101	3,09
50	500	170	10	15,2	100	39727	1589	19,9	919	1043	123	3,23
55	550	180	11	16,5	118	55962	2035	21,8	1181	1356	151	3,39
60	600	190	12	17,8	138	76806	2560	23,6	1491	1725	182	3,54

Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8240-89)

h– высота швеллера; b –ширина полки; s –толщина стенки; t –средняя толщина полки; A –площадь поперечного сечения; J –момент инерции;

W –момент сопротивления;S –статический момент полусечения; i – радиус инерции; z0 – расстояние от осиyдо наружной грани стенки.

№	Размеры, мм				, см2	, см4	, см3	, см	, см3	, см4	, см3	, см	, см
	h	b	s	t
5	50	32	4,4	7	6,16	22,8	9,1	1,92	5,59	5,61	2,75	0,95	1,16
6,5	65	36	4,4	7,2	7,51	48,6	15	2,54	9	8,7	3,68	1,08	1,24
8	80	40	4,5	7,4	8,98	89,4	22,4	3,16	13,3	12,8	4,75	1,19	1,31
10	100	46	4,5	7,6	10,9	174	34,8	3,99	20,4	20,4	6,46	1,37	1,44
12	120	52	4,8	7,8	13,3	304	50,6	4,78	29,6	31,2	8,52	1,53	1,54
14	140	58	4,9	8,1	15,6	491	70,2	5,6	40,8	45,4	11	1,7	1,67
16	160	64	5	8,4	18,1	747	93,4	6,42	54,1	63,3	13,8	1,87	1,8
16а	160	68	5	9	19,5	823	103	6,49	59,4	78,8	16,4	2,01	2
18	180	70	5,1	8,7	20,7	1090	121	7,24	69,8	86	17	2,04	1,94
18а	180	74	5,1	9,3	22,2	1190	132	7,32	76,1	105	20	2,18	2,13
20	200	76	5,2	9	23,4	1520	152	8,07	87,8	113	20,5	2,2	2,07
22	220	82	5,4	9,5	26,7	2110	192	8,89	110	151	25,1	2,37	2,21
24	240	90	5,6	10	30,6	2900	242	9,73	139	208	31,6	2,6	2,42
27	270	95	6	10,5	35,2	4160	308	10,9	178	262	37,3	2,73	2,47
30	300	100	6,5	11	40,5	5810	387	12	224	327	43,6	2,84	2,52
33	330	105	7	11,7	46,5	7980	484	13,1	281	410	51,8	2,97	2,59
36	360	110	7,5	12,6	53,4	10820	601	14,2	350	513	61,7	3,1	2,68
40	400	115	8	13,5	61,5	15220	761	15,7	444	642	73,4	3,23	2,75

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Используемые обозначения и единицы измерения 4

_{Общие указания по выбору варианта и выполнению}

_{расчетно-графических работ 5}

Основные понятия и зависимости 6

1 Задачи курса “Сопротивление материалов” 6

2 Внутренние усилия. Методсквозного разреза. Типы деформации 7

3 Растяжение-сжатие 9

4 Кручение 11

5 Поперечный изгиб 14

6 Расчет на жесткость при изгибе 20

7 Статически неопределимая система 25

Темы и варианты заданий 29

Расчетно-графическая работа № 1 29

Задание 1 Осевое растяжение (сжатие) стержня 29

Задание 2 Кручение стержня круглого поперечного сечения 31

Задание 3 Расчет на прочность при изгибе 33

Расчетно-графическая работа № 2 35

Примеры решения типовых задач 38

Расчетно-графическая работа № 1 38

Задание 1 Осевое растяжение (сжатие) стержня 38

Задание 2 Кручение стержня круглого поперечного сечения 42

Задание 3 Расчет на прочность при изгибе 46

Расчетно-графическая работа № 2 50

Вопросы для самопроверки 62

Библиографический список 63

Приложения 64

Зобов Сергей Юрьевич

Черников Эдуард Анатольевич

Зеленская Ольга Викторовна

Сопротивление материалов

Расчет элементов конструкций

Учебное пособие к расчетно-графическим работам

по сопротивлению материалов для технических направлений

и специальностей подготовки ВГЛТА.

Редактор С.Ю. Крохотина

Подписано в печать Формат 60х84/16. Заказ №

Объем п.л. Усл. п.л. . Уч. - изд. . Тираж 500 экз.

Воронежская государственная лесотехническая академия

РИО ВГЛТА. 394613, г. Воронеж, ул. Тимирязева, 8

Отпечатано в типографии ООО «Сатурн»