§3. Структура школьного учебника под редакцией Колмогорова а.М.

Структура школьного учебника под редакцией Колмогорова А.Н. основывается на трех основных неопределяемых понятиях планиметрии, пяти отношениях и списком аксиом.

S'={M'₁, M'₂, М'₃, Δ'₁‚ Δ'₂ }, где: M'₁ – множество точек, M'₂ – множество прямых, М'₃ - множество некоторых неотрицательных чисел, Δ'₁ –отношение принадлежности (инцидентности), ∆₂ - тернарное отношение, которое определяется отображение δ: Е×Е → G

Система аксиом состоит из пяти групп аксиом: Σ={I,II,II,IV,V}, где:

I группа аксиом – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости.

Аксиома. I .1 Каждая прямая есть множество точек.

А а

a, d, c – прямые,

А∊a; B,C∊b; D,E,K∊c В С b

D Е К c

Аксиома. I.2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая. А В а

А, В∊а

Существует и другая формулировка: « Через любые две точки проходит одна и только одна прямая». Аксиома прямой, на теории множеств формулируется так: для любых двух точек плоскости существует прямая, их содержащая.

Аксиома. I.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

II группа аксиом – аксиомы расстояния.

Расстояния между точками считается числами. С практической точки зрения это значит, что уже выбрана единица измерения расстояния.

Аксиома. II .1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число |АВ|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние |АВ| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

А В |АВ| - расстояние от точки А до точки В

|АВ| =0<=> А=В

Аксиома. II.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А.

|АВ| =|ВА|. Расстояние не меняется от порядка название точек.

Аксиома. II.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С. А В С

|АС| ≤ |АВ| + |ВС|

Отметим точки А, В, и С. Измерим расстояние |АВ| , |АС| и |ВС| и сравним сумму |АВ| +|ВС| с расстоянием |АС|. Как бы мы ни выбрали точки А, В и С обнаружится, что расстояние |АС| меньше или равно сумме |АВ| + |ВС|.

III группа аксиом – аксиомы порядка

Определение. Точка Х лежит между точками А и В, если эти точки различны и |АХ|+|ХВ|=|АВ|.

Рассмотрим рисунок и естественно будет предположить, что:

1. Если три точки принадлежат одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими.

2. Если три точки не принадлежат одной прямой, то ни одна из них не может лежать между двумя другими.

Аксиома. III.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.

Определение. Отрезком АВ называется множество, состоящее из двух точек А и В и точек, лежащих между ними.

АВ – отрезок, А∊АВ, В∊АВ, μ(АМВ), μ(АХВ).

Точки А и В называются концами отрезка АВ, а расстояние |АВ| - длина отрезка АВ. Точки отрезка, лежащие между его концами, называются внутренними точками отрезка. Точки Х и М – внутренние точки отрезка АВ. Следовательно Х∊АВ и М∊АВ. Поэтому отрезок АВ есть подмножество прямой АВ, то есть [АВ]⊂(АВ).

Говорят также, что прямая АВ содержит отрезок АВ, или отрезок АВ лежит на прямой АВ.

Аксиома . III.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам.

На горизонтальной прямой p одни точки лежат правее точки О, а другие – левее. Можно заметить, что если одна из точек прямой p лежит правее, а другая – левее точки О, то точка О лежит между ними. μ(МON), μ(POQ), μ(PON), μ(MOQ).

Объединение каждого из этих множеств с точкой О называется лучом с началом О.

Рассмотрим координаты на прямой. На луче ОА отметим произвольную точку М. при выбранной единице измерения |ОЕ| длина отрезка ОМ выражается определенным числом: |ОМ|=хм. Число хм есть координата точки М на луче ОА. Обратно, по заданному числу х можно найти на луче ОА одну единственную точку М, такую, что расстояние |ОМ| равно числу х.

Аксиома III.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х.

Для пояснения следующей аксиомы нам понадобятся определения.

Определение. Любое множество точек называется областью, если оно обладает следующими свойствами:

1. Любые две точки множества можно соединить содержащейся в нем ломаной или отрезком;

2. Вместе с любой своей точкой множество содержит хотя бы один круг с центром в этой точке.

Множество точек М, для которых |ОМ|<r, является областью. Ее называют внутренней областью окружности (О, r). Множество точек N, для которых |ON|>r, также область. Она называется внешней областью этой окружности.

Определение. Фигура называется выпуклой, если она содержит любой отрезок, концы которого принадлежат этой фигуре.

Произвольная прямая p разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области. Точки А, В и С, например, принадлежат области, точки D, E, K – другой.

Каждая из полученных областей является выпуклой фигурой, так как вместе с любыми двумя точками она содержит и соединяющий их отрезок.

Аксиома III.4. любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две непустые выпуклые области.

Если точки А и В принадлежат одной и той же области, ограниченной прямой р, то существует соединяющий эти точки отрезок или ломанная, которые не пересекают прямую р. Если же точки принадлежат различным областям, то отрезок АЕ пересекает прямую р.