3.2 Образец выполнения задания 2 в msExcel

В таблице приведены данные о результатах деятельности некоторой торговой сети: выручке – у, (млн. руб.) и количестве покупателей – x, (млн. чел.) за некоторый период.

хi∙10	7,72	35,51	51,24	63,72	78,92	86,04	89,34	92,66	100,5	101,3
уi∙10	78,1	114,1	136,9	156,3	181,8	192,5	200,2	206,3	220,9	215,2

В предположении, что между х и у существует квадратичная зависимость, определить параметры регрессии методом наименьших квадратов.

Ход работы

Выполнение задания 2 аналогично выполнению заданию 1.

1. Ввести исходные данные.

2. Построить график исходных данных. По графику убедиться в возможной квадратичной зависимости между х и у.

3. Произвести необходимые вычисления

4. Составить и записать систему уравнений для нахождения коэффициентов a₂, a₁, a₀.

В данном случае в результате имеем систему:

5. Найти неизвестные коэффициенты a₂, a₁, a₀.

Здесь ,,.

6. Составить и записать уравнение .

В рассматриваемом случае получаем уравнение:

.

7. Изобразить линию регрессию на построенном графике. Для этого Добавить линию тренда, тип линии тренда – полиномиальная степени 2.

8. Построить график найденной линии . Сравнить полученный график с линией тренда на первом графике.

Замечание

Найти коэффициенты a₂, a₁, a₀. можно, используя функцию ЛИНЕЙН. Порядок вычислений в этом случае следующий:

1. На листе с исходными данными выделить область пустых ячеек 1х3 (1 строка, 3 столбца) для получения оценок коэффициентов регрессии.

2. В меню Вставка выбрать Функция. Затем в категории Статистические выбрать функция ЛИНЕЙН. Здесь Известные значения у – столбец ,Известные значения х – столбцы и. Поэтому при решении задачи в этом случае следует занести в таблицу столбец, причем лучше это сделать сразу после внесения данных в столбец, а затем уже столбец.Конст и Статистика можно не указывать.

3. В левой верхней ячейке выделенной области появится значение коэффициента a₂. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажать на клавишу F2, а затем на комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Коэффициенты a₂, a₁, a₀. можно также получить, используя функцию ИНДЕКС. При этом a₂ =ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 1),

a₁=ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 2), a₀= ИНДЕКС(ЛИНЕЙН…; 3).

3.3Образец выполнения задания 1 в MathCad

Для изучения зависимости октанового числа бензина (y_i) от чистоты катализатора (x_i, %) провели 11 измерений, результаты которых даны ниже в таблице:

xi	98,7	98,9	99,0	99,1	99,2	99,3	99,4	99,5	99,6	99,7	99,8
yi	87,1	86,1	86,4	87,3	86,1	86,8	87,2	88,4	87,2	86,4	88,6

а) Найти коэффициенты k, b линейной зависимости октанового числа от чистоты катализатора.

б) Вычислить значение октанового числа для чистоты катализатора 97%.

Ход работы

1) Введем значение n=10 (индексы переменных x_i, y_i меняются от 0 до 10). Далее, создадим матрицу Т размерностью 2х11, введя в нее данные измерений из таблицы. Для этого на панели Матрица выбрать Создать матрицу или вектор, указать количество строк 2, количество столбцов 11.

2) Вычислим суммы ,,,, выбрав на панелиМат.анализ кнопку Суммирование.

3) Далее введем D:=, на панели Матрицы выберем кнопку Вычисление определителя, а затем Создать матрицу или вектор, указав количество строк =2, количество столбцов =2.

В первой строке в появившихся квадратах поочередно введем М_х и n+1. В квадратах второй строки введем М_х2 и М_х. Рядом ввести D=.

Аналогично вычисляем D1, D2. Получим следующие результаты.

4) Для окончательного вычисления коэффициентов линейной зависимости введем формулу k:=D1, знак деления, D. Рядом ввести k=. Ниже ввести b:= D2, знак деления, D. Рядом ввести b=. В итоге получаем следующее:

Искомое уравнение прямой имеет вид

.

Для ответа на вопрос пункта б) достаточно подставить в найденную зависимость х=97, получим у=84,035.

Для прогнозирования по полученной зависимости каких-либо результатов следует брать значения х не сильно различающимися с данными, по которым построили уравнение регрессии.

Замечание

Программа MATHCAD располагает функциями, позволяющими найти коэффициенты k, b без решения нормальной системы.

Функция intercept (x,y) возвращает значение смещения b в уравнении , возвращает значение углового коэффициентаk. Ниже представлено решение сформулированной задачи с помощью функций intercept (x,y), .

Определим линейную регрессию как функцию f(х).

В нашем случае функция примет вид .