15.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, тои

Таким образом, дифференциал функции можно применять для приближенных вычислений.

Рассмотрим пример.

Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию

,

примем

применим формулу

для нашего случая получим

Тогда

Производная функцииявляется некоторой функцией от аргументаСледовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Пусть производная первого порядка функции

15.5. Производные и дифференциалы высших порядков

Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка и т.д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Например, если функция описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производнаяесть мгновенная скорость точки в момент времениа вторая производная равна скорости изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Рассмотрим дифференциалы высших порядков. Пусть функция дифференцируема в каждой точкенекоторого промежутка. Тогда ее дифференциал

называют дифференциалом первого порядка. Пусть функция дифференцируема в некоторой точкеТогда ее дифференциал

называют дифференциал второго порядка. Для -го дифференциала функции справедлива формула

Рассмотрим пример. Вычислим дифференциал функции

.

Последовательно дифференцируя, получим

Контрольные вопросы

1. Сформулировать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

2. В чем состоит основная идея правила Лопиталя?

3. Дать определение дифференциала функции.

4. Как находятся производные высших порядков?

Лекция №16. Применение производной к исследованию функций

16.1.Экстремум функции. Возрастание и убывание функции.

16.2.Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости функции.

16.3.Асимптоты графика функции.

16.4.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

16.1. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции

Функция называется возрастающей в точке если при любом достаточно малом выполняется условие

Функция называется убывающей в точке если при любом достаточно малом выполняется условие

Функция называется возрастающей в интервале если для любых двух точек из указанного интервала, удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство

Функция называется убывающей в интервале если для любых двух точекиз указанного интервала, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Признаки возрастания и убывания функции:

1. Если то функциявозрастает в точке

2. Если то функцияубывает в точке

Значение называетсямаксимумом функции , если при любом достаточно маломвыполняется условие

Точка называется в этом случаеточкой максимума функции

Значение называетсяминимумом функции если при любом достаточно маломвыполняются условия

Точка называется в этом случаеточкой минимума функции

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой ее экстремума.

Необходимое условие экстремума: если функция в точкеимеет экстремум, то производнаяобращается в нуль или не существует.

Точка в которойназывается стационарной точкой. Точки, в которых

не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума:

1. Если критическая точка функциии при произвольном достаточно малом

выполняются неравенства

то функция в точкеимеет максимум; если же

то функция в точкеимеет минимум. Если знаки

одинаковы, то функция в точкеэкстремума не имеет.

2. Если

то функция в точкеимеет экстремум, а именно максимум, еслии минимум, если

3. Пусть

В этом случае функция имеет в точкеэкстремум, есличетное число, а именно, максимум прии минимум приЕслинечетное число, то функцияв точкеэкстремума не имеет.

Рассмотрим пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции

Найдем производную данной функции, приравняем к нулю, полученное уравнение решим относительно переменной и таким образом определим критические точки, определим знак производной на каждом из участков, разделенных критическими точками

Критические точки делят область определения функциина участки возрастания и убывания. Определим знак производной функции на этих участках:

следовательно, на участке функциявозрастает;

следовательно, на участке функцияубывает;

следовательно, на участке функциявозрастает.

Рассмотрим пример. Исследовать на экстремум функцию

Найдем производную данной функции, приравняем к нулю и решим полученное уравнение относительно переменной таким образом, получим критические точки, определим, какие из них являются точками экстремума.

Критическая точка делит всю область определения функциина участки возрастания и убывания. Определим знак производной на каждом из участков:

следовательно, на участке функцияубывает;

следовательно, на участке функциявозрастает.

Таким образом, слева от точки функцияубывает, а справа от точкифункциявозрастает, согласно первому достаточному условию экстремума можно сделать вывод, что в точкефункция имеет минимум