Курс лекций по высшей математике. 1 часть

3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

ция в точке х=0 имеет разрыв второго рода.

Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую

мится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.

И в заключение рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах

103

ГЛАВА IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Производная

п. 1. Основные понятия

Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумен-

та: исходное х0 и новое х. Разности х = х-х0 и y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функ-

ции в точке х0. Очевидно, что х = х0+ х, у = у0+ у, у = f(x0+ x)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – перемен-

этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Та-

Пусть Х = {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что y(х) является функцией, определенной на множе-

стве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке

(х0, f(х0)) равен у'(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: V = S'(t).

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение х 0. Ему соответствует некоторое приращение функции у. Вычис-

лим предел:

105

п. 2. Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.С' = 0, где С – константа.

2.(хn) ' = n xn-1, где n – натуральное число

5.(sinx)' = cosx

6.(cosx)' = -sinx

Вкурсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

106

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х.

Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u v, uv . Последнее

при условии, что v(x) 0. Причем

(u+v)' = u'+v' (u v)' = u'v+uv'

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'

Используя правило нахождения производной частного, легко полу-

ются для любого х, при котором существует tgx и cosx 0 или сущест-

вует ctgx и sinx 0.

п. 3. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференцируема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение х 0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение у, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f--1(x) непрерывна, то

y

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных тригонометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной явля-

ется функция x = siny, которая является в интервале 2 ; 2 монотон-

ной и дифференцируемой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в

107

п. 4. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = (x). Тогда функция y = f( (x)) называется сложной функцией от х.

Теорема 1. Если функция u= (x) имеет производную u'x в точке х, а функция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f( (x)) в точке х имеет производную у'x, причем у'x =

у'uu'x.

2. y = cos3(x2)

y' = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2) 3. y arcsin 4ех3

108

п. 6. Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое действительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим об-

разом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = nx enlnx = nx xn = nxn-1. Итак, при любом

действительном n и х>0 верна формула (xn)' = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена.

п. 7. Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы. u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, y = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

109

п. 8. Производные высших порядков

Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой производной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называется первая производная производной (n-1)-го порядка

функции y = f(x) при условии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Примеры.

1. Найти у''' для функции y = cos2x. y' = 2cosx(-sinx) = -sin2x

y'' = -2cos2x y''' = 4sin2x

110

2.Найти y(n) для функции y = e3x, y' = 3e3x, y'' = 32e3x, y''' =

33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t. Таким образом, ускорение w(t) = v'(t) = S''(t) равно второй производной пути по времени.

п. 9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), t ( ; ).

Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на ( ; ) и функция x(t) имеет обратную функцию t = (х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), t = (х), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y'x = y't t'x = y't

Учитывая это, получаем y'x = y't . x't

Если существует у''х, то рассуждая аналогично, получаем

yx ( yxxt )t

п. 10. Дифференцирование функций, заданных неявно

111

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'х.

Пример 1. Вычислить у'х.

У5+ху-х2 = 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у'+у+ху'-2х=0.

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение (x, y) вместо y'.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х2+у2-1=0. Найти у''.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим

2х+2уу' = 0, откуда у' = - xy . Продифференцируем обе части последнего

112