Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций по высшей математике. 1 часть

.pdf

Скачиваний:

189

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Рис. 51

Уравнение х 2 2рz определяет параболический цилиндр. Его на-

правляющая – парабола, лежащая в плоскости Охz, образующие параллельны оси Оу (рис. 52).

Рис. 52

Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, – ее образующей (рис. 53).

Рис. 53

В частности, если направляющей конической поверхности является эллипс с полуосями а и в, лежащий в плоскости z = с, а вершина находится в начале координат О (рис. 54), то уравнение такой поверхности

имеет вид	х 2	у2	z 2	0.
	а 2	в2	с2

Рис. 54

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением

х 2	у 2	z 2	1. Это замкнутая овальная поверхность, симметричная
а 2	в 2	с 2	1. Это замкнутая овальная поверхность, симметричная
а 2	в 2	с 2

каждой из координатных плоскостей (рис. 55).

Рис. 55

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется

уравнением	х 2	у 2	z 2	1. Она имеет форму трубки, бесконечно
	а 2	в 2	с2

расширяющейся в обе стороны от плоскости Оху и симметричной относительно трех координатных плоскостей (рис. 56).

Рис. 56

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется

уравнением	х 2	у2	z 2	1. Эта поверхность состоит из двух от-
	а 2	в2	с2

дельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши, и симметричная относительно трех координатных плоскостей

(рис. 57).

Рис. 57

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется

	х 2	у 2
уравнением 2z			, где р 0 , g 0. Эллиптический параболо-
	р	g

ид имеет вид выпуклой чаши, симметричной относительно координатных плоскостей Охz и Оуz (рис. 58).

Рис. 58

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется

	х 2	у 2
уравнением 2z			, где р 0 , g 0. Она имеет форму седла
уравнением 2z	р	g	, где р 0 , g 0. Она имеет форму седла
(рис. 59).

Рис. 59

ГЛАВА III.

ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§ 1. Предел функции

Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому множеству, будем обозначать символом (принадлежит): х Х,у

Y. Кроме того, мы будем использовать символы (любой) и (существует).

Если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

Этот факт записывают так: у=f(х). Х называют множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.

Можно сказать, что функция f осуществляет отображение множества Х в Y.

Eсли любой элемент у Y является значением функции f, тo гово-

рят, что функция f отображает множество Х на множество Y : X Y.

Пример 1. Функция f(х) = sin х отображает интервал Х = (0,2 ) на отрезок [-1,1].

Действительно, изобразим у = sin х в интервале (0,2 ). Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1] оси ОY является значением функции

у = sin х.

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавли-

вает взаимно однозначное соответствие, то есть	x X соответствует один
и только один его образ y =f(x) Y и обратно, для	y Y найдется един-

ственный прообраз x X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где y Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

Иначе: обратная функция f -1 является отображением множества Y

на множество X.
Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал	x	,

окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Под окрестностью О( ) символа бесконечность понимается

внешность любого отрезка , , то есть О (	) = (- , ) ( ,+ ).
б-окрестностью точки а называется интервал (а–б, а+б), не со-
держащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а)	(а, а + б).

Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много то-

чек x X, то есть О (а) X		для О(а).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при
x а), если для любого		0 cуществует число б ( )		0 такое, что для
любого x X, удовлетворяющего условию 0			x – а	б,следует нера-
венство f (x) – A	.
Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0				x- а б, на-

ходятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x

а, ес-

ли для

0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = x

б ,где б =б ( ), такая, что для

x O (а, б) выполняется неравенст-

во

f(x) – A

При этом пишут:

lim

f x

Утверждение lim

A. эквивалентно следующему:

f(x) – A

при

∆, где ∆ = ∆( ) зависит от и по смыслу оп-

ределения является достаточно большим положительным числом.

Множество всех точек x, для которых

∆, очевидно является

симметричной окрестностью символа .

Пример 2. Доказать, что lim

(2х +1) = 7.

x 3

Решение. Возьмем произвольное число

> 0. Покажем, что можно

найти такую

– окрестность точки х = 3, что для всех точек х

0 (3,

)

будет выполняться соотношение |(2х+1)-7| < .

Преобразуем неравенство |(2х+1)-7| <

так, чтобы из него полу-

чить

x 3

. Имеем

	2x	1 7		< <=> \|2х – 6\| < <=> 2\|х – 3\| < <=> \|х – 3\| <		. Ясно,
					2

что, взяв			,	мы получим требуемое соотношение:
		3

х – 3 < => (2х + 1) – 7 < .

Сформулируем некоторые свойства пределов.

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности

точки а, то lim f x c .

x a

Теорема. Если f(х) имеет предел при х а, то этот предел единст-

вен.

Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х,

если существует такое положительное число М, что |f(х)| М при всех х

Х.

Если такое число М не существует, то функция f(х) называется не-

ограниченной.

Пример 3. Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так

sin

как

sin x

1 . Функция y

не ограничена на множестве,

со-

держащем точку х = 0.

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х

а, то она огра-

ничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство. Выберем

= 1, что возможно, так как

– любое

положительное число. Имеем

1 при x 0 (а, б), что следует

из определения предела функции. Рассмотрим

f x

. Очевидно:

f(x)

f(x) – A + A

. Но для x

O (а, б) имеем f(x) – A

и тогда f(x)

< 1 + A

для x

O(а, б), где М = 1 + A .

Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция

может не иметь предела.

Например, функция f(x) = sin

ограничена при 0

, но не

имеет предела при x

Теорема. Пусть существует

lim f x

A и пусть М < f(x) < N в не-

которой окрестности точки x = a. Тогда М

Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

§ 2. Односторонние пределы

Любой интервал ( ,				а), правым концом которого является точка а,
называется левой окрестностью точки а.
Аналогично любой интервал (a,							), левым концом которого явля-
ется точка а, называется ее правой окрестностью.
Символически запись x					a	0 означает, что х стремится к а спра-
ва, оставаясь большим а, то есть при х > а; x								a	0	означает, что х
стремится к а слева, то естьпри х < а.
lim	f x A будем			называть		левосторонним			пределом функции
x a	0
при x	a слева,	lim	f	x	A -это правосторонний предел функции.
	x	a	0
Теорема. Функция у = f(х) имеет							lim f x	A	в том и только в
							x a
том случае, когда существуют и равны друг другу ее										lim	f x A и
										x a	0
lim f x	A. Tогда		lim	f	x =	lim	f x = lim	f	x	A.
x a 0		x a 0			x a 0		x a

§ 3. Бесконечно малые и бесконечно большие

Функция

(х)

называется

бесконечно

малой

при

а,

если

lim a x

0. Ясно, что тогда

(x)

для x

O (а, б) и

> 0.

x a

Функция f(х) называется бесконечно

большой

при

a, ес-

ли lim f

. Это равносильно тому, что каким бы ни было число М >

x a

0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x

O (а,

б)

Лемма. Если f(х)

при х

а, то

0 при х а. Если

(x)

f (x)

0 при x

a, то

при x

a и (x)

(x)

Действительно, пусть f(x)

, то есть является бесконечно боль-

шой. Тогда

f(x)

М для x

O (а, б).

для x

O (а, б), то

f (x)

есть

для x

O (а, б), это означает, что

lim

, так как

f (x)

x a

f (x)

можно взять в качестве > 0.

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.

Пример 3. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x 0,

g (x) =

бесконечно большой (при x

0).

Рассмотрим основные теоремы о бесконечно малых.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно

малых при x а функций есть функция бесконечно малая при x

а.

Доказательство. Для простоты ограничимся двумя функциями:

(x)

0 при x

Пусть

0 – произвольное число. Тогда число

тоже произволь-

ное положительное число. Из условий: (x)

(x)

0 при x

a сле-

дует, что для числа

существуют б-окрестности точки а O1 (а, б) и О2

(а, б) такие, что

для x

O1 (а, б), а

(x)

для x

O2 (а,

б). В О (а, б) = О1 (а, б) О2 (а, б) будут одновременно выполнены оба последних неравенства.

Таким образом,

(x) + (х)

(x)

для x

O (а, б), что и означает, что

lim (

(x)

(x))

0 ,

то есть (x) +

(x) –

x a

бесконечно малая при x

Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при

x a функций есть бесконечно малая при x

a функция.

Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x

a функции на

функцию, ограниченную при x

a, есть бесконечно малая при x

Следствие. Целая положительная степень

(x) n

бесконечно ма-

лой при x a функции

(x) есть бесконечно малая при x

Две бесконечно малые при х

а функции

(х) и

(х) называются

бесконечно малыми одинакового порядка, если lim

k, где k

0 и

конечно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202535 Кб0кр задачи.docx
#
13.04.2015116 Кб17кречмер.docx
#
15.03.2016122 Кб49КСЕ Тезаурус 2009 г..doc
#
15.03.2016614 Кб145КСЕ. Конспект лекций.Часть_1.doc
#
15.03.2016335 Кб50КСЕ. Конспект лекций.Часть_2.doc
#
13.04.20154 Мб189Курс лекций по высшей математике. 1 часть.pdf
#
13.04.20154 Мб87Курс лекций по высшей математике. 2 часть.pdf
#
01.07.2025627 Кб9курсач 3курс - копия.docx
#
13.09.2019254 Кб51Курсач.rtf
#
17.09.20192 Мб35КУРСОВАЯ ВАСИЛЬЕВА.doc
#
13.04.201577 Кб114курсовая живопись Ямаева.docx