Сезонные модели

В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Модели первого типа имеют вид:

где динамика величины a_1,t характеризует тенденцию развития процесса;

f_t , f_t-1, f_t-l+1 - коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно l =12, при квартальных данных l = 4 и т. п.);

ε_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Модели второго типа записываются как:

где величина a_1,t описывает тенденцию развития процесса;

g_t , g_t-1, g_t-l+1 - аддитивные коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле;

ε_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем.

Прогнозирование с коэффициентами сезонности

Модель имеет вид:

Как видим, является взвешенной суммой текущей оценки , полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных x_t и предыдущей оценки .

В качестве коэффициента сезонности f_t берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла.

Затем величина , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.

Прогноз следующего значения ряда:

Более общим выражением для прогноза на τ шагов вперед будет:

Величины и могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:

где — начальное значение а₁;

—начальное значение f в соответствующей i фазе (месяце) цикла (года);

J — наибольшая целая часть .

Следовательно, прогноз является функцией всех прошлых значений фактического ряда, параметров и и начальных условий ,,, …,.

Влияние начальных условий на прогноз зависит от величины весов и длины ряда, предшествующего текущему моменту t. Влияние обычно будет уменьшаться быстрее, чем влияние начальных значений , так как пересматривается на каждом шаге, а только один раз за цикл.

Если эта сезонная модель прогнозирования, структура которой не содержит элементов для отражения какой-либо тенденции роста, применяется для прогнозирования ряда, характеризующегося ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты перестают быть простыми коэффициентами сезонности и вскоре вбирают в себя в определенной мере эффект роста.

Полная сезонная модель Уинтерса с линейным ростом имеет вид:

Единственным изменением в выражении для является добавление — наиболее поздней оценки аддитивного фактора роста, характеризующего изменение среднего за полный сезонный цикл уровня процесса за единицу времени (месяц). Выражение для обновления коэффициента сезонности остается тем же, что и раньше. Оценки модифицируются по аналогичной процедуре экспоненциального сглаживания. Прогноз является здесь функцией прошлых и текущих данных, параметров и первоначальных значений ,,.Качество и точность прогнозов зависит от этих факторов.

Оптимальные параметры a3 Уинтерс предлагает находить экспериментальным путем. Критерием сравнения он берет стандартное отклонение ошибки.