Індивідуальне завдання №2 Логіко-математичні моделі

Мета: оволодіти логічною структурою математичних речень, алгоритмом та правилом побудови їхніх логіко-математичних моделей.

Завдання

1. Запишіть висловлення звичайною математичною мовою. Визначіть їх істинність. Запишіть їхнє заперечення.

1) ( x  R) ( y  R) (y = x² + 3x – 1); 2) ( y  R) ( x  R) (y = x² + 3x – 1);

3) ( x  R) ( y  R) (y = |x|); 4) ( y  R) ( x  R) (y = |x|);

5) ( y  R) ( x  R) ; 6) ( x  R) ( y  R)

7) ( y  R) ( x  R) ; 8) ( x  R) ( y  R) ;

9) ( y  N) ( x  N) (y > x); 10) ( y  N) ( x  N) (y > x);

11) ( x  N) ( y  N) (y > x); 12) ( x  N) ( y  N) (y > x).

2. Розкрийте зміст означень понять, записаних логіко-математичною мовою:

1) ( )(a  a  b  a)  ;

2) ( T > 0)( x  D(f))(x + T  D(f))  (f(x + T) = f(x));

3) (  > 0)( n₀  N)( n > N)(n > n₀()  (|x_n – x₀| < ));

4) (x₀  D(f))  (  > 0)(  > 0)( x)(|x – x₀| < )  (|f(x) – f(x₀)| < );

5) ( k  N)(a_k < b_k)  (( i  N)(i < k)  (a_i <b_i)).

3. Розкрийте зміст тверджень, записаних логіко-математичною мовою:  ( x) ((a < x < x₀)  (f (x) > 0))  (( x) (x₀ < x < b)   (f (x) < 0))  (x₀ — точка максимума)

4. Для даного твердження:

1. виділить роз’яснювальну частину, умову, заключення і запишіть його у вигляді ( x  X)(A(x)  B(x)) або ( x  X)(A(x)  B(x));

2. визначіть чи є твердження простим чи складним;

3. сформулюйте заперечення твердження, обернене до нього, протилежні, протилежні до обернених.

Перелік тверджень

1. Вертикальні кути.

2. Функція y = x³ визначена та зростає на R.

3. Число є ірраціональним числом.

4. Якщо точка x₀ є точкою екстремуму для функції y = f(x) та в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулеві.

5. Функція y = f(x) є парною тоді і тільки тоді, коли її графік симетричний відносно вісі y.

6. Диференційована функція y = f(x) зростає в точці x₀ тоді і тільки тоді, коли f (x) > 0.

7. Якщо три сторони одного трикутника рівні відповідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

8. Сума кутів трикутника дорівнює 180.

9. (a + b)² = a² + 2ab + b².

10. Властивості показникової функції:

а) область визначення складається з усіх дійсних чисел;

б) монотонність: при a > 1 функція зростає, а при 0 < a <1 вона спадає.

11. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину.

12. Через дві прямі, що не перетинаються можна провести тільки одну площину.

13. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то їхнім перетином є пряма.

Література до розділу 2

1. Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. — М.: Наука, 1972.

2. Калужнин Л. А. Что такое математическая логика? — М.: Наука, 1964.

3. Кужель О. В. Елементи теорії множини і математичної логіки. — К.: Рад. Шк., 1997.

4. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М., Просвещение, 1968.

5. Столяр А. Л. Как математика ум в порядок приводит. — Минск, Вышэйшая школа, 1991.

20