MI_T2TerekhovSV

а) 2 x y′+ y 2 =1;

б) y (4 + e x ) dy − e x dx = 0 ;

– однородные

в)

(1− x ) dy − y dx = 0 ,

y(0) =1;

y

а)

x y′

+ y ;

= y ln

x + y

x

б)

y′ =

;

x − y

– линейные

в)

(x2 −3y 2 ) dx + 2x y dy = 0 ,

y(2) = 4 ;

а)

x y′+ y = xsin x ;

б)

y′ctgx − y = 2 cos2 x ctg x ;

в)

d s

1

= 0 ,

s (1) = 0 ;

t

− s − e t

d t

– уравнение Бернулли:

y′+ 4 x3 y = 4 y2 ex 4 (1 − x3 ) .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) x y

′′

− y

′

2

e

x

;

б)

y

′′

y

5

+ 2 = 0

,

′

=1;

= x

y(0) = y (0)

– со специальной правой частью

а) 4 y′′− y = ( x3 − 24x ) + e x ;

б)

y′′−5y′ = 2 ch (5x) (

chα =

eα + e−α

);

2

1

в)

y

′′

′

= x +cos x

;

′

;

−3 y

y(0) = 0, y (0) = −

9

г)

x y

′′

− y

′

= x у

2

e

x

,

′

;

y(0) = y (0) =1

– методом вариации постоянных

а) y′′+ y = cosec x ;

16

π

π

б)

y′′+16y =

,

y

= 3, y′

= 2π .

sin 4x

8

8

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = y − x

;

б)

x& = x + 6 y .

&

&

y = y − 4x

y = x −3y

а)

dx

+

dy

= 0 ;

x

y

б) 2 x dx − 2 y dy = x2 y dy − 2 x y 2 dx ;

– однородные

в) y′ = y cos x ,

y(0) =1;

x + y

а)

y

′

= −

;

x

б)

y

2

y

+3 ;

2 y′ =

+

6

x

в)

x

– линейные

(x2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 , y(1) = 0 ;

а) ( x2 −1) y′− x y = x3 − x ;

б)

y′

2

3

;

+ x y = x

в)

d s

−

2 s

−1 −t = 0 ,

s (0) = 0 ;

d t

1 −t 2

– уравнение Бернулли: 3 y′+ 2 x y = 2 x y −2e−2 x2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y

′′

′

2

; б)

y

′′′

(x −1) − y

′′

= 0 ,

y(2) = 2 ,

′

,

′′

=1;

(1 + y ) = 5( y )

y (2) =1

y (2)

– со специальной правой частью

а) y′′− 4 y′+ 4 y = e3 x + x2 ;

б)

y′′+ 9 y = −36 sin(3x)−18 e x ;

в)

y

′′

+ 4y = 8cos (2x),

′

= 0 ;

y(0) = y (0)

г)

y

′′

− y

′

= x

2

+1,

′

=1;

y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

π 2

а) y′′− 2 y′ = 4 x2 e2 x ; б)

y′′+π 2 y =

π

2

,

1

1

.

y

=1,

y′

=

sin(π x)

2

2

2

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 3x −5y

;

б) x& = x + 2 y .

&

&

y = 2x −3y

y = 2x − y

y −1

а) y′ =

;

x +1

б)(e x + 2) dy − y 2 e x dx = 0 ;

в) x dy − y dx = 0 , y(1) =1;

– однородные

y

а) x y′ = y cos

ln

;

x

б) x y′ = 4 x2 + y2 + y ;

в)( y 2 −3x2 ) dy + 2 x y dx = 0 , y(1) = 2 ;

– линейные

1

а)

y

;

+ y = ex

′

б)

2 x y

=1 + x2 ;

y′−

1 + x2

в)

d s

+ s tg t

=

1

, s (0) =1

;

d t

cos t

а) y

′′

2

(

′

)

2

′′

y′

y′

1

′

+

= 0 ; б)

y

−

1 + ln

= 0 , y(1) =

,

= e ;

y

y (1)

1 − y

x

x

2

– со специальной правой частью

а)

y′′+ 4 y′+ 4 y = 25sin x + e−2 x ;

б)

y′′− 4 y′ =16 sh (4x) (

shα =

eα −e−α

);

в)

,

2

y

′′

− y = 9 x e

2 x

′

y(0) = 0, y (0) = −5 ;

г)

y

′′

+9 y = sin(3x),

′

y(0) = y (0) =1;

– методом вариации постоянных

π

π

а) y′′+ 4 y′+ 4 y = e−2 x ln x ;

б)

=

= 4 .

y′′+ 4 y = 8 ctg (2x), y

5, y′

4

4

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = x + y

;

б)

x& = 2x + 7 y .

&

&

y = y − x

y = x − 2 y

а) ( x y 2 + x ) dx + ( y 2 − x2 y 2 ) dy = 0 ;

б) ( 4 + e2 x ) y y′ = e 2 x ;

– однородные

в)

(1 + y 2 ) dx − x y dy = 0 ,

y(2) =1;

y

y

а)

y′

;

=

+ tg

x

x

б)

′

x2 + 2 x y − y2

y

= 2x2 − 2 x y

;

– линейные

в)

( x2 + y 2 ) dx − 2 x y dy = 0 ,

y(4) = 0 ;

а)

y '−y ctg x = 2 xsin x ;

б)

y′

−

2

y = e

x

( x

+1)

2

;

x +1

в)

t

d s

−t 2 = 2s ,

s (1) = 0 ;

d t

– уравнение Бернулли:

3 x y′+ 5y = ( 4 x −5) y 4 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

а) y′′ = ( y′ )2 ;

y′

1

б)

y′′(1+ ln x ) +

=

2 + ln x ,

y(1) =

2 , y′(1) =1;

x

– со специальной правой частью

а) y′′− 7 y′+10 y = e2 x + x2 ;

б)

y′′+ 2 y′+ 5y = 2sin x + x e x ;

=1;

в)

y

′′

′

+ y = 2sin x −6cos x , y(0) = y (0)

г)

y′′− 2 y′ = e2 x

−1,

y(0) = 81 , y′(0) =1;

– методом вариации постоянных

а) y′′− 2 y′+ y =

e x

;

б) y′′+ y = 4 ctg x ,

π

π

= 4 .

y

=

y′

4 − x2

2

2

III. Решить системы дифференциальных уравнений

а) x& = 2x − y

;

б)

x& = y −3x .

&

&

y = 4 y −5x

y = 9x − y

– однородные

в)

2 x y dx = dy ,

y(1) =1;

y

а)

y′

=

(1+ ln y −ln x ) ;

x

б) x y′ = 3 x2 + y 2 + y ;

в)

y′

=

x

+

y

,

y(1)

= 2 ;

– линейные

y

x

а) y′+ y = x y3 ;

б)

y

′

y

;

= 3x − x

в)

d s

= t + 2s ,

s (0) =1;

d t

– уравнение Бернулли: 2 y′+ 2 y = x y 2 .

II. Решить дифференциальные уравнения II порядка:

– допускающие понижение порядка

′

2

+1 = y y

′′

;

б)

2 y

′

y

′′

+ y

2

′

)

2

= 0 , y(1)

=

′

;

а) ( y )

( y

0 , y (1) =1

– со специальной правой частью

а) y′′−8y′+ 7 y =14 + x e x ;

б)

y′′−5y′ = sin x + x2 ;

в)

y

′′

+ 9 y = −18sin(3x)−18 e

3 x

,

′

=1;

y(0) = y (0)

г)

y

′′

′

+ 4 y = sin(2x)+ 2 ,

′

=1;

+ 4 y

y(0) = y (0)

– методом вариации постоянных

а) y′′− y′ = ch (2x)

eα + e

−α

4e−2 x

(

chα =

);

б)

y′′+ 6 y′

+8 y =

,

y(0) = y′(0) = 0 .