MI_T2TerekhovSV

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

9. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/6. Какова вероятность не выиграть по двум билетам из пяти?

10. На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 1,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется два бракованных изделия.

11.Прядильщица обслуживает 200 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0.02. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдёт в 3 веретенах.

12.Составить закон распределения вероятностей числа появлений события А в трёх независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

13.Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью f (x) ,

интегральную функцию распределения F(x) ; в) найти вероятность попадания

чайной величины X. Требуется: а) найти плотность вероятности f (x) ; б) найти математическое ожидание и дисперсию; в) построить графики функций

F(x) и f (x) .

15. Случайная величина X подчинена нормальному закону с M [X ]= 0 . Вероятность попадания её на участок (− 2; 2 ) равна 0,5. Найти дисперсию этой случайной величины и записать её дифференциальную функцию распределения.

260

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 10

1. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырёх однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен, или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен только один из четырёх объектов; В – обнаружен хотя бы один объект; С – обнаружено не менее двух объектов; Д – обнаружено ровно два объекта; Е – обнаружено ровно три объекта; F – обнаружены все 4 объекта. Указать, в чём состоят события А+В, АВ, Д+Е+F. Совпадают ли события ВС и Д?

2.В пруду находится 800 осетров и 500 стерлядей. Какова вероятность того, что две подряд выловленные рыбы окажутся разных видов?

3.Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Вычислить вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.

4.Бросается две монеты. Рассматриваются события: А – выпадение герба на первой монете; В – выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события С=А+В. В чём состоит событие С?

5.Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно

11.Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми?

6.Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности равны, соответственно, 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадёт в цель; б) хотя бы один снаряд попадёт в цель.

7.На сборочный конвейер поступают детали с трёх станков. Производительность станков неодинаковая. Первый станок дает 50% деталей, второй – 30%, третий – 20%. Если в сборку попадёт деталь, сделанная на первом станке, то вероятность получения годного узла – 0,98. Для продукции 2 и 3 станков соответствующие вероятности равны 0,98 и 0,8. Определить вероятность того, что узел, сошедший с конвейера годный.

8.В группе спортсменов 10 лыжников, 12 велосипедистов и 13 бегунов. Вероятность выполнения квалификационной нормы такова: для лыжника p1 =

= 0,9 ; для велосипедиста p2 = 0,8 ; для бегуна p3 = 0,75. Выбранный наудачу

спортсмен выполнил норму. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

261

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

9.Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность трёх попаданий при четырёх выстрелах.

10.На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 1%. Чему равна вероятность того, что в партии, состоящей из 300 изделий, окажется 4 бракованных изделия?

11.Вероятность того, что покупатели необходим костюм 56-го размера, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 покупателей 30 потребуют костюмы этого размера.

12.Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, …, n с равной вероятностью, а все прочие значения – с вероятностью, равной нулю. Найти: а) функцию распределения этой случайной величины; б) построить её график; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию.

13.О случайной величине X говорят, что она распределена по закону Рэлея,

станту a ; б) найти функцию распределения, в) построить её график и найти точку, в которой плотность достигает максимума.

Требуется найти: а) P(1≤ x ≤7); б) дифференциальную функцию f (x) ; в) математическое ожидание и дисперсию; г) построить графики функций F(x), f (x) .

15. Известно, что в некоторой местности средний рост взрослых мужчин распределен по нормальному закону и равен а = 170 см, а σ = 10 см. Какова вероятность того, что рост наудачу выбранного мужчины этой местности попадёт в промежуток между 165 см и 180 см?

262

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 11

1. Игральная кость бросается один раз. Рассматриваются события: A – появление на верхней грани не менее трёх очков; B – появление на верхней грани не более четырёх очков. Равновозможны ли эти события? Совместны ли они? Описать события, равные А+В и АВ.

2. В мастерскую для ремонта поступило 10 часов марки "Заря". Известно, что шесть штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берёт первые попавшиеся 5 часов. Определить вероятность того, что двое из них нуждаются в общей чистке механизма.

3.В колоде 36 карт четырёх мастей. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается одна карта. Определить вероятность того, что обе извлечённые карты одной масти.

4.Покупатель приобрёл пылесос и полотёр. Вероятность того, что пылесос не выйдет из строя в течение гарантийного срока, равна 0,95; для полотёра такая вероятность равна 0,94. Найти вероятность того, что хотя бы один из приборов выдержит гарантийный срок.

5.Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 6 выстрелов.

6.Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение почты равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.

7.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью p1 ; на втором месте – с вероятностью p2 ;

на третьем – с вероятностью p3 . Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы,

три раза закинул удочку, и рыба клюнула только раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

8. В трёх урнах имеются белые и чёрные шары. В 1-ой урне – 3 белых и 1 чёрный шар, во 2-ой – 6 белых и 4 чёрных, в 3-ей – 9 белых и 1 чёрный. Из наугад выбранной урны выбирается случайным образом шар. Найти вероятность того, что он белый.

263

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

9.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144 испытаниях.

10.Принимая вероятность изготовления нестандартной детали 0,05, найти вероятность того, что из взятых 5 деталей 4 окажутся стандартными.

11.Вероятность того, что пара обуви, взятая наугад из изготовленной партии, окажется высшего сорта, равна 0,4. Чему равна вероятность того, что среди

600пар, поступивших на контроль, окажется от 228 до 252 пары обуви высшего сорта.

12.Случайные величины X и Y заданы таблицами распределения:

Составить закон распределения случайной величины Z = X +Y и проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

Требуется: а) найти плотность распределения вероятности; б) построить графики функций F(x) , f (x) ; в) найти математическое ожидание и дисперсию.

15. Установлено, что диаметр изготовляемых поршней является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним значением, равным 4 дюймам, и дисперсией, равной 0,0009 . Поршни с диаметром более 4,006 и менее 3,994 дюйма являются браком. Каков при этих условиях процент брака в изготовляемых партиях?

264

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 12

1.Рассматриваются события: A i – попадание при i-ом выстреле (i =1, 2, 3). Выразить через Ai и Ai следующие события: A – все три попадания; В – хотя бы один промах; С – не менее двух попаданий.

2.Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

3.Лотерея выпущена на общую сумму n рублей. Цена одного билета z рублей. Ценные выигрыши попадают на m билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.

4.Из колоды в 36 карт наудачу выбираются 3 карты. Какова вероятность того, что среди них не более одного туза?

5.В урне a белых и b чёрных шаров. Из неё в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящееся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку был вынут белый шар.

6.Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один стрелок поразит мишень.

7.В цехе три типа автоматических станков. Известно, что станок первого типа производит 90% деталей отличного качества, станок второго типа – 85%, третьего – 80%. Все произведенные детали сданы на склад. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь со склада окажется отличного качества, если станков первого типа 10 штук, второго – 8, третьего – 2, а производительность всех станков одинакова.

8.Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом № 1, и три коробки таких же деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,9; завода № 2 – 0,7. Из наудачу взятой, коробки наудачу извлечённая сборщиком деталь оказалась стандартной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена заводом № 1 или заводом № 2?

9.Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых для испытания пяти деталей одна бракованная?

265

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

10.По данным ОТК в среднем 2% изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 штук не будут нуждаться в дополнительной регулировке?

11.Вероятность того, что пара обуви, взятая наугад из изготовленной партии, окажется высшего сорта, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что среди

300пар, поступивших на контроль, окажется от 280 до 292 пар обуви высшего сорта.

12.Дан закон распределения случайной величины X:

Составить закон распределения случайной величины Z =X2 и построить график функции распределения случайной величины Z .

Найти коэффициенты A, B; P ( x ≤π / 2 ); дифференциальную функцию распределения.

14. Случайная величина X подчинена закону Симпсона ("закону равнобедренного треугольника") на участке от −a до a (см. рис.).

f (x)

−a 0 a x

Требуется: а) написать выражение плотности распределения; б) найти функцию распределения и построить её график; в) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

15. Результаты измерения расстояния между двумя населёнными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: M [X ]= 16 км. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,65 км и не бо-

лее 16,3 км.

266

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 13

1. Пусть A1, A 2 , A 3 некоторые события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из A1, A 2 , A 3 : а) ни одно событие не произошло; б) произошло только событие A3 ; в) произошло только одно событие; г) произошло не менее двух событий.

2.Ребёнок играет с десятью буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово "математика"?

3.Десять друзей садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что два фиксированных лица A и B сядут рядом, причём В слева от А.

4.Чему равна вероятность того, что дни рождения трёх человек придутся на разные месяцы: июнь, июль, август? Вероятности попадания дня рождения на данный месяц считаются равными для всех месяцев года.

5.Для повышения надёжности работы электрической цепи на участке АB параллельно подсоединены два дублирующих узла С и Д, не взаимодействующие друг с другом. Узлы присоединены так, что в цепи работает один из них и, как только он выходит из строя, автоматически включается другой. Определить надёжность (вероятность невыхода из строя) участка АВ, если вероятность выхода из строя узла С равна 0,1; узла Д – 0,2.

6.В телестудии имеются три телекамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена: а) одна камера; в) хотя бы одна камера.

7.Имеется 2 набора деталей. Вероятность того, что деталь 1-го набора стандартна, равна 0,6; 2-го – 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из наудачу выбранного набора стандартна.

8.На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0,92, а на втором – 0,80. Изготовленные на обоих станках нерассортированные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Взятый наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Определить вероятность того, что он произведен на первом станке.

267

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

9.Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока 10%. Вычислить вероятность того, что из 10 наблюдаемых телевизоров 8 выдержат гарантийный срок.

10.Вероятность того, что абонент правильно наберёт телефонный номер, равна 0,999. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных.

11.В хлопке 70% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 20 волокон не более 10 длинных?

12.Случайная величина X имеет следующее распределение вероятности:

Найти функцию распределения этой случайной величины, построить её график, вычислить математическое ожидание, дисперсию и P ( x ≤1 ).

13. О случайной величине X говорят, что она распределена по закону аркси-

константу A , функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

14. Случайная величина задана функцией распределения

Требуется: а) найти дифференциальную функцию распределения; б) построить графики функций F(x) и f (x) ; в) найти вероятность P(1 ≤ x ≤ 2.5) .

15. Процент содержания золы в каменном угле является нормально распределённой случайной величиной с математический ожиданием M[X]=16 % и средним квадратическим отклонением, равным 4 %. Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24 % золы.

268

Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.

Задания для самостоятельного решения

XI. Теория вероятностей

Вариант 14

1. Рабочий изготовил 3 детали. Пусть событие Ai (i =1, 2, 3) заключается в том,

что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что: а) хотя бы одна деталь имеет дефект; б) только одна деталь имеет дефект; в) все детали дефектные.

2.В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются на две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что 4 наиболее сильных шахматиста попадут по два в разные группы.

3.На десяти одинаковых карточках написаны различные цифры от нуля до 9. Определить вероятность того, что наудачу образованное с помощью данных карточек двузначное число делится на 18.

4.При конвейерной сборке точного механизма рабочий должен установить в него определённую деталь. Деталь эту в некоторых случаях приходится подгонять путем дополнительной обработки и пробных установок её в механизм. Всего таких установок производится не более пяти. Вероятность того, что деталь будет установлена без подгонки с первой пробы, равна 0,38, а подгонкой при второй пробе – 0,26; при третьей пробе – 0,20; при четвертой – 0,14; при пятой – 0,02. Какова вероятность того, что для подгонки этой детали потребуется: а) более двух проб; б) нечётное число проб.

5.Многолетними наблюдениями в данном районе установлено, что статистическая вероятность сентябрьскому дню оказаться дождливым, равна 1/3. Совхоз должен в течение трёх дней сентября выполнить определённую работу. Чему равна вероятность того, что ни один из этих дней не будет дождливым?

6.Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определённой последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников равны по 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 1 выстрел; б) 2 выстрела; в) 3 выстрела; г) 4 выстрела.

7.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

8. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находятся по 3 чёрных и 3 белых шара, а в оставшейся – 5 белых и 1 чёрный. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечён из урны, содержащей 5 белых шаров?

269