5.5 Задачі для самостійного розв’язання

1. Перевірте, що множинаутворює циклічну групу відносно операції додавання за модулемm(результат – залишок від діленнянаm). Цю операцію позначають.

2.Знайти всі утворюючи елементи групп: 1), 2), 3), 4), 5).

3.Випишіть всі підгрупи в адитивних групах з операцією додавання за модулем: а); б); в); г).

4.У мультиплікативній групі комплексних чисел випишіть корені: а), б)і в)в алгебраїчній формі. Знайдіть всі утворюючі елементи цих груп. Чи є групи циклічними? Випишіть всі підгрупи.

5.Перевірте, що матриці

E=; A=; B=; C=

утворюють циклічну групу за множенням. Знайдіть всі утворюючі елементи. Випишіть всі підгрупи.

6.Доведіть, що множина всіх симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом, є групою відносно множення симетрій як відображень.

7.З’ясуйте, чи будуть циклічними такі групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група симетрій 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.

8.З’ясуйте, чи будуть циклічними дані групи. У разі позитивної відповіді вкажіть всі утворюючі елементи. Група обертань 1) правильного трикутника, 2) квадрата, 3) ромба, що не є квадратом, 4) прямокутника, що не є квадратом.

9. Наведіть по два приклади циклічних груп скінченого та нескінченого порядків.

10. У циклічній групіпорядкузнайти всі елементи, які задовольняють умові, та всі елементи порядкупри:

1) ; 2); 3); 4); 5); 6).

11. Знайти всі підгрупи в циклічній групі порядку: а) 24; б) 100, в) 360; д) 125.

12. Нехай у деякій неодиничній групі всі неодиничні елементи мають однаковий порядок. Доведіть, що– просте число.

13. Довести, що у будь-якій групі парного порядку є елемент порядку 2.

14.НехайG– довільна скінчена група порядку. Доведіть, що

15.Покажіть, що якщо– утворюючий елемент підгрупиHциклічної групиGпорядкуm, тоd – дільник m.

16.Покажіть, що якщоd– дільникm,,, то– утворюючий елемент власної підгрупи H циклічної групи G.

17. Нехайg– утворюючий елемент циклічної групиGпорядкуm. Довести, що якщо– утворюючий елемент, тоді НСД.

6 Перестановки

6.1 Мета заняття

Ознайомити студентів з поняттям перестановки, навчити описувати властивості перестановок.

6.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Студент повинен мати поняття про перестановку, її порядок, парність, вміти застосовувати теоретичні знання до розв’язання задач [3, c. 146-154].

6.3 Контрольні завдання

1. Дайте визначення перестановки, її порядку, парності.

2. Нехай . Знайти.

6.4 Приклади розв’язання аудиторних задач

Приклад 1.Розкладіть перестановку в добуток незалежних циклів і транспозицій, визначте її порядок і парність.

Розв’язок.Незалежним цикломназивається перестановка, яка елементi₁переводить уi₂,i₂- вi₃, ...,i_n– вi₁, а інші елементи залишає на місці. Будь-яку перестановку можна розкласти в добуток незалежних циклів.

.

Порядок перестановки – це найменше спільне кратне довжин незалежних циклів ..

Транспозицією називається цикл довжиною два: . Будь-яка перестановка є добутком транспозицій. Цей добуток можна отримати так:.

Для заданої перестановки добуток транспозицій має вигляд .

Число , де– кількість транспозицій, називається парністю перестановки. Якщо.

Для заданої перестановки . Тобто перестановка непарна.

Приклад 2.Знайдіть, якщо.

Розв’язок.Для розв’язання задачі визначимо порядок перестановки. Для цього розкладемо її в добуток незалежних циклів

. Тоді НСДНСДта.

Приклад 3.Знайдіть перестановкуз рівності, якщо

, ,.

Розв’язок.Рівністьпомножимо ліворуч ната праворуч на, враховуючи, щоотримаємо.

Обернену перестановку отримуємо з перестановки, міняючи місцями рядки. Обчислимо,, підставляючи їх у вираз для, знаходимо

.

Перевірка: перевіримо, що . Дійсно

.

Приклад 4.Знайдіть перестановки множинипереставні з перестановкою, якщо.

Розв’язок.Перестановкиназиваються переставними, якщо. Відразу можна сказати, що перестановкипереставні з.,.

У загальному випадку дві перестановки непереставні.