6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограни

чений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют

условной.

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.\

Теорема умножения:

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Доказательство. По определению условной вероятности, Отсюда

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где —вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трех событий

7. Независимые события. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Пусть вероятность события В не зависит от по явления события А.

Определение:

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его

безусловной вероятности:

Теорема умножения:

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это равенство принимают в качестве определения не зависимых событий.

Следствие:

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события , независимы в совокупности, то независимы события Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

8. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть вероятность события В не зависит от по явления события А.

Определение:

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Теорема:

Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий :

Доказательство: Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий „. События „ (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим:

Или:

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий