Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые расчеты.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Типовой расчет по теме «Введение в математический анализ»

Методические указания

Содержание расчетных заданий

I.Нахождение пределов различными способами.

II.Нахождение производных сложных функций.

III. Нахождение производных с помощью предварительного

логарифмирования.

IV. Нахождение производных функций, заданных параметрически. V. Исследование функций и построение их графиков.

Образцы решения задач по теме «Пределы»

Пример 1. Найдите предел lim	14x2 +19x −3			.
	4x2	−	9
x→−3 / 2

Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке x = – 3/2. Следовательно, в данном случае имеет место неопределенность типа 0/0. Для устранения неопределенности разложим

числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

lim	14x2 +19x −3			=	lim	14(x −1/ 7)(x +3/ 2)		=
	4x2	−	9			(2x +	3)(2x −3)
x→−3 / 2					x→−3 / 2
					=	lim	(7x −1)(2x +3)
							(2x +3)(2x −3)
						x→−3 / 2

Найдем предел непосредственной подстановкой:

lim	7x −1	=	7(−3 / 2) −1	=	−23 / 2
	2x −3		2(−3 / 2) −3		−6
x→−3 / 2

Ответ: 23/12.

=	lim	7x −1	.
=	lim		.
	x→−3 / 2	2x −3
=	23 .
	12

Пример 2. Найдите предел lim	x2 −2x −3		.
	5x +1 −	6x −2
x→3

Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке

x = 3. Следовательно, в данном случае имеет место неопределенность типа 0/0. Для ее устранения, во-первых, разложим на множители числитель, а вовторых, умножим числитель и знаменатель на сумму корней, стоящих в знаменателе:

lim	x2 −2x −3	= lim		(x +1)(x −3)(	5x +1 + 6x −2 )		=
	5x +1 − 6x −2		(	5x +1 − 6x −	2 )( 5x +1 +	6x −2 )
x→3		x→3

= lim

(x +1)(x −3)(

5x +1 +

6x −2 )

= lim

(x +1)(x −3)(

5x +1 +

6x −2 )

5x +1

−6x +2

3 − x

x→3

= xlim→3(−(x +1)(

5x +1 +

6x −2 ))= −(3 +1)(4 +4) = −32.

Ответ: – 32.

8x3

+5x2 −1

Пример 3. Найдите предел

lim

x→−∞ x2

9x2 +11

Решение. Числитель дроби стремится к – ∞, а знаменатель – к + ∞,

поэтому

получается неопределенность

типа

∞

Для

устранения

∞

неопределенности вынесем за скобку в числителе множитель x3, а в

подкоренном выражении знаменателя вынесем x2.

x при x < 0 ( x → −∞):

Далее преобразуем дробь с учетом того, что |x| = –

lim

8x3

+5x2 −1

lim

(8 +5 / x −1/ x3 )

lim

x3 (8 +5 / x −1/ x3 )

x2 (9 +11/ x2 )

x→−∞ x2

9x2

+11

x→−∞ x2

x→−∞

9 +11/ x2

lim

x3 (8 +5 / x −1/ x3 )

lim

−

(8 +5 / x −1/ x3 )

= −

−x3 9 +11/ x2

9 +11/ x2

x→−∞

На последнем шаге принято во внимание, что функции 5/x, 1/x3, 11/x2 являются бесконечно малыми при x → −∞.

Ответ: – 8/3.

Пример 4. Найдите предел lim	x	2	+2x −3	−	2x −3
						.
x→+∞

Решение. В данном случае имеется неопределенность типа ∞−∞. Для ее устранения умножим и разделим функцию на сумму корней:

lim

+2x

−3

−

2x −3

x→+∞

+2x −3

− 2x

−3

+2x −3

+ 2x −3

lim

x2 +2x −3 +

x→+∞

2x −3

lim

+2x −3 −2x +3

lim

x2 +2x −3 +

x→+∞

+2x −3 +

2x −3

x→+∞

2x −3

lim

x→+∞

1+2 / x −3/ x

2 / x −3/ x

lim

x→+∞

1+2 / x −

3/ x

2 / x −3/ x

lim

= +∞.

1+2 / x −3/ x2 + 2 / x −3/ x2

Ответ: +∞.

x→+∞

Пример 5. Найдите предел

lim

(5 x −1)arcsin (x2 x )

x→0+0 5 1+tg2 x log5 (1+(2sin x)2 )

Решение. Непосредственная замена аргумента функции числом x = 0 дает неопределенность типа 0/0. Чтобы избавиться от этой неопределенности, построим цепочку эквивалентных бесконечно малых (см.

приложение) для каждого множителя в числителе и знаменателе дроби:

x −1 ~ x ln 5 ; arcsin (x2

x )

~ x2

x ;

x→0

1 tg2

(

x→0

1 x ;

5 1+tg2 x ~

x ~

x )2 =

x→0

x→0 5

log

1+(2sin x)2

(2sin x)2

4x2 .

(

)x→0

ln 5

x→0 ln 5

Используя принцип замены бесконечно малых множителей под знаком

предела эквивалентными, получим

lim

x −1)arcsin (x2

x )

lim

x ln 5 x2 x

x log5 (1+(2sin x)

)

4x2

x→0+0

+ tg

x→0+0

ln 5

= lim

5x3 ln2 5

5ln2

4x3

5ln2 5

x→0+0

Ответ:


			π				8
Пример 6. Найдите предел lim			π		2	−8πx+π			2	.
Пример 6. Найдите предел lim	cos x −		4	16x		−8πx+π				.
x→π / 4			4							8
					π					8
Решение. Введем обозначение:					π				2	−8πx+π	2	. С
Решение. Введем обозначение:		f (x) = cos x −			4			16x		−8πx+π		. С
					4

помощью непосредственной подстановки в данную функцию числа x =π / 4,

получим неопределенность			типа 1∞. Прологарифмируем эту	функцию:
ln f (x) =	8ln (cos(x −π / 4))	.	Последнее выражение в точке	x =π / 4

	16x2 −8πx +π2

представляет собой неопределенность типа 0/0. Для устранения этой

неопределенности найдем

lim

ln f (x) с помощью правила Лопиталя:

x→π / 4

lim

ln f (x) =

lim

8ln cos(x −π / 4) =

lim

(8ln cos(x −π / 4))′

x→π / 4

x→π / 4 16x2 −8πx +π2

x→π / 4 (16x2 −8πx +π2 )′

lim

(−sin(x −π / 4))

lim −tg(x −π / 4) =

(32x −8π) cos(x −π / 4)

x→π / 4

x→π

/ 4

4x −π

′

−1

lim

−tg (x −π / 4) =

lim

= −1 .

x→π / 4

(4x −π)′

x→π

/ 4 4cos2 (x −π / 4)

Таким образом, получили

lim

ln f (x) = −1 .

В силу непрерывности

x→π / 4

логарифмической

функции

отсюда

следует,

что

f (x)

= −

ln lim

x→π / 4

Значит,

lim

f (x) = e−4 =

x→π / 4

4 e

Ответ:

4 e

lim

ln f (x)

Замечания. 1) В

примере

6 при

нахождении

предела

x→π / 4

правило Лопиталя было применено дважды. Однако в примерах такого типа можно комбинировать правило Лопиталя с принципом замены бесконечно малых множителей под знаком предела эквивалентными.

2)Аналогичным образом можно раскрывать неопределенности типов 00

и∞0 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.20151 Мб188Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616 Мб26Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
21.03.201648 Мб142Типовик_мат_6модуль.pdf
#
01.05.2025547 Кб1типовик.doc
#
14.04.2015989 Кб29ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151 Мб32Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016844 Кб10типовые расчеты.pdf
#
20.03.201635 Кб62ТЛТ.docx
#
01.03.20251 Мб7ТММ 1 лист.doc
#
14.04.201565 Кб14ТО_Л-1.docx
#
01.08.201948 Кб8товарные потери 37 вопрос.doc