Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Завершая рассмотрение свойств и системных характеристик модельных представлений «вход – состояние – выход» объектов управления, опирающихся на возможности векторно – матричного формализма линейной алгебры сделаем следующее примечание.

Примечание 9.5 (П9.5). Непрерывный объект (9.5)–(9.6) с парами

матриц (A, B)и (A,C) и дискретный объект (9.18)–(9.19) с парами матриц (A, B )и (A,C ) называются нормальными относительно управления, если являются управляемыми все пары матриц (A, Bj ; j = 1,r), где Bj − j − й столбец матрицы B управления объекта

и называются нормальными относительно наблюдения, если являются

наблюдаемыми все пары матриц (A,Cl ;l = 1,m), где Cl − l − я строка

матрицы С выхода объекта.

Свойство нормальности объектов управления пока не нашло конструктивного использования в современной теории управления. Проблемы управления объектами с нормальной парой матриц (A, B) и

наблюдения с нормальной парой матриц (A,C)гарантирующей

богатство вариантов решений, ждут разработки.

Оформим в форме примечания и определений еще одно положение, обогащающее структурные свойства объекта управляемость и наблюдаемость на примере ЛНДО, которое вводит понятия управляемости и наблюдаемости собственных чисел матрицы

состояния

динамического объекта по сепаратным входам

выходамςTi

(Cl )T = Cl ςi = 0 .

Примечание 9.6 (П9.). ЛНДО задан тройкой матриц (A, B,C), при

этом

A и AT

обладают

алгебраическими

спектрами собственных

чиселσ{A}=σ{AT }= {λ

: det(λI − A)= det(λI −

AT )= 0;i =

}

1,n

геометрическими

спектрами

собственных

векторов

{ξ

: Aξ

= λ ξ

;i =

}

и {ς

: AT ς

λ ς

;i =

}.Пусть

1, n

j −й

столбец

матрицы

B (j =

− l −ая строка

матрицы

1,r

(l =

1,m

{λi ;i =

}

Определение 9.9 (О9.9). Собственное

значение

1,n

является управляемым по j − му входу (j =

) динамического объекта,

1,r

если

выполняется

условие

ξiT Bj

= BTj ξi ≠ 0 , в

случае выполнения

условия

ξT B

= BT

= 0

собственное значение

{λ ;i =

}

является

1,n

неуправляемым по j −му входу (j =

)динамического объекта.

□

1,r

Определение 9.10 (О9.10). Собственное

значение

{λi ;i =

}

1,n

является

наблюдаемым

по

l −му выходу (l =

)

динамического

1,m

объекта, если выполняется условие					ξiT (Cl )T = Clξi ≠ 0 ,		в случае
выполнения			условия	ςTi (Cl )T = Cl ςi = 0		собственное	значение
{λi ;i =		}	является	ненаблюдаемым	по	l −му выходу (l =			)
	1,n							1,m
динамического объекта.								□

9.5.Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче формирования модели ВВ, векторно-матричное

дифференциальное уравнение «вход-выход» непрерывных объектов управления

Модели ВСВ предоставляют исследователю объектов управления и динамических систем, построенных на их основе, непрерывного и дискретного описаний хорошие технологические возможности конструирования моделей ВВ в виде дифференциальных

(рекуррентных) уравнений отношения «вход–выход» (ДУВВ).

Технологию конструирования моделей ДУВВ, опирающуюся на алгоритм Д.Фаддеева разложения резолвенты, проиллюстрируем на примере непрерывного линейного ОУ, задаваемого векторно-

матричной моделью ВСВ в виде соотношений (9.5)–(9.6)

(9.57)

x(t)= Ax(t)+ Bu(t); y(t)= Cx(t)

+ Du(t).

Передаточная матрица (функция) Φ(s) :Y (s) = Φ(s)U (s) ОУ (9.58)

имеет вид

Φ(s) = C(sI − A)−1 B + D .

(9.59)

Воспользуемся представлением резолвенты (sI − A)−1 в форме

−

[∆(sI − A)]T =

sn−1H

+ sn−2 H

+... + H

(sI − A) 1 =

n−1

det(sI − A)

sn + a1sn−1 +... + an−1s + an

где

(n ×n)

–

матрицы

Hi (i =

−1)

коэффициенты

0, n

характеристического

уравнения

вычисляются

помощью

рекуррентной процедуры алгоритма Д.Фаддеева (6.33). Приведенные

соотношения позволяют уравнение «вход-выход»

Y (s) = Φ(s)U (s)

записать в форме

n−1

+ s

n−2

+... + H

(sn + a sn−1

+... + a

s + a

C (s

n−1

)B +

n−1

)Y(s) =

U(s)

+ a1 s

n−1

+... + an−1 s + an )D

+ (s

(9.60)

что на основе применения обратного преобразования Лапласа с учетом его свойств приводит к дифференциальному уравнению «вход-выход» с матричными коэффициентами относительно производных по времени векторных переменных y(t) и u(t) :

y	n	(t) + a1	y	(n−1)				n	(t) +
					(t) + + an−1 y(t) + an y(t) = D u					.(9.61)
						(n−1)
+ (CH0 B + a1D)u										(CHn−1B + an D)u(t)
							(t) + + (CHn−2 B + an−1D)u(t) +

Если возникает необходимость составления дифференциального уравнения, связывающего i −й выход yi (t) с j − м входом u j (t), то для

этого в левой части векторно–матричного дифференциального уравнения «вход-выход» в векторе выхода y(t) следует выделить i −й

элемент, в правой части в векторе входа u(t) j − й элемент, а в матричных коэффициентах выделить (i, j) −ые компоненты, находящиеся на пересечении i −х строк и j −х столбцов.

Соотношения (9.60) и (9.61) позволяют констатировать, что физически реализуемая передаточная система, описываемая моделью «вход–выход» в виде дифференциального уравнения не может иметь порядок производной правой части выше порядка производной ее правой части. Более того равенство порядков имеет место только тогда, когда в модели «вход–состояние–выход» (9.58) матрица прямых связей «вход–выход» D ≠ 0 .

Применительно к модели «вход–выход» в виде передаточной матрицы (функции) следует констатировать, что порядок полинома числителя передаточной функции любого сепаратного канала, связывающего i −й выход yi (t) с j − м входом u j (t), физически

реализуемой системы не может быть выше порядка порядка полинома знаменателя передаточной функции. Более того, равенство порядков имеете место только в случае ненулевой матрицы прямых связей «вход–выход» D .

Это обстоятельство надо иметь в виду для целей контроля корректности составления модели «вход-выход» динамического объекта.

Аналогичным образом алгоритм Д.Фаддеева может быть использован для построения рекуррентного уравнения «вход–выход» с матричными коэффициентами, а также построены скалярные рекуррентные уравнения для любых сепаратных каналов дискретного линейного динамического объекта.

Примеры и задачи

9.1. Построить структурное представление непрерывного объекта управления, описываемого функцией перехода λ и выхода δ вида:

λ : x = Ax + Bu ,				δ : y = Cx , где

	0 0 −υ3				υ3
A =		0	−υ2			0		[0 0 1]
A =	1	0	−υ2	; B =		0	; C =	[0 0 1]
		1	−υ1			0
	0	1	−υ1			0

С помощью критериев управляемости и наблюдаемости исследовать объект на управляемость и наблюдаемость, составить передаточную функцию (матрицу) объекта.

9.2. Построить структурные схемы непрерывных объектов управления, описываемых функциями перехода и выхода вида:

а) λ :

= 2x1 + 3x1u;

;

δ : y

= x1

+ 2x2 + u;

x2 = x1x2 + u

= x3;

= x2 ;

δ : y

;

б) λ : x2

= x1 + 2x2 +15x3

− 5x1x2 ;

= −100x1 −10x2

x1 = −α1x1 − (sinϕ2 )x2 + (sinϕ2 )u2 + (cosϕ1)u1;

λ :

= (sinϕ1)x1 −α2 x2 + (cosϕ2 )u2 − (sinϕ1)u1;

в)

= (cosϕ )x

+ (sinϕ

;

δ :

y2 = (−sinϕ1)x1 + (cosϕ2 )x2 ;

x1 =η1x2 ;

г) λ :

δ : y =10x1

=α2u − β2

x2 −α1x1;

x1 =η1x2 ;

= β3x3 + β2

x3 − β1x2 +α1u;

δ : y = 0.1x3;

д) λ : x2

=α2u − β4 x1;

е) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx; где

; C =[ϑ3

0 0];

A =

; B = 0

−ϑ3

−ϑ2 −ϑ1

ж) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx;

где A,B из пункта е), а C = [ϑ3

ϑ2

ϑ1];

з) λ : x =

Ax + Bu;

δ : y = Cx; где

0 0 −ϑ3

ϑ3

A = 1 0 −ϑ

; B =

;

C =

[

0 0 1 ;

]

−ϑ1

и) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx ,

где A,C из пункта 3), а B = [ϑ

ϑ ]T ;

к) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx + Du,

где A, B и C те же, что в пункте з), а D = [ϑ0 ].

л) λ : x = Ax + Bu;

δ : y = Cx; где

2			−5 −3			1	0				1		1	0
A = −1		−2 −3 ; B = 0					2 ;		C	=	1		1	0
A = −1		−2 −3 ; B = 0					2 ;		C	=			1	;
											0		1	1
	3	15		12
	3	15		12		3	4
м) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

	4		−4	2		1	0					1	1	2
A =	2		−2 1		;	B = 1	1	; C =				1	1	2
A =	2		−2 1		;	B = 1	1	; C =					0	;
			4				1					2	0	1
−4			4	−2		0	1

н) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

0		1	0	0		1	3
3		0 2 0				2	0	; C		=	0 1			3 5	;
A =				; B =				; C		=		2 4			;
0		2 0 3				0	2					2 4		0 8
		0	1
0		0	1	0		3	1
о) λ : x = Ax + Bu;						δ : y = Cx; где

	1		2	0	3		2	7
−1		−2 0 3				4		5		C		1		0 2 3
A =	0					; B =			;	C		=			.
	0		0 2 0			6		3				0		4 5 0
	1		2	0				1
	1		2	0	3	8		1

9.3.Определить передаточные матрицы и функции сепаратных каналов линейных непрерывных объектов, описываемых функциями перехода и выхода из 9.2: п.п. е)÷о)

9.4.Определить, управляемы и наблюдаемы ли объекты управления, а также управляемы и наблюдаемы ли они по каждому из входов и выходов (в случае r >1,m >1), если объекты описываются

функциями перехода и выхода из п.п. е)÷о)

9.5.С использованием алгоритма А9.1 построить модели ВСВ

линейных

непрерывных

объектов

в форме функций

перехода

λ и

выхода δ

по заданным передаточным матрицам (функциям) «вход–

выход»:

10 ,

s + β

а) Φ(s) =

б)Φ(s) =

s +α

β1s + β2

в)Φ(s) =

г)Φ(s) =

s3 +α1s2 +α2s +α3

β s2

+ β

β s3

+ β

s2 +

s +

д)Φ(s) =

е)Φ(s) =

4 ,

s3 +α1s2 +α2s +α3

ж)Φ(s) =

β(s + γ )

з)Φ(s) =

s(s +α1)(s +α2 )

(s +α1)(s +α2 )(s +α3 )

− β12

βs

+γ

s +

и)Φ(s) =

к)Φ(s)

β22

s(s +α1)(s +α2 )

s +α22

s + β 2

л)Φ(s) =

s +α11

s(s +α13 )

22s +

β23

− β21

β22

s +α23

9.6. Построить структурные схемы дискретных объектов

управления, описываемых функциями перехода и выхода:
						1			2
			= x1(k) +Tx2 (k) − 2 T						2	u(k) δ : y(k) = x1(k),
а) λ : x1(k +1)			= x1(k) +Tx2 (k) − 2 T							u(k) δ : y(k) = x1(k),
	(k +1) = x2 (k) +Tu(k)
x2	(k +1) = x2 (k) +Tu(k)
	(k +1)		= x1(k) +Tx2 (k) +				T 2		x3 (k) +		1	T	3
x1	(k +1)		= x1(k) +Tx2 (k) +				2		x3 (k) +		6	T	u(k)
							2	2			6
			= x2 (k) +Tx3 (k) +				T	2	u(k)				δ : y(k) = x1(k),
б) λ : x2 (k +1)			= x2 (k) +Tx3 (k) +				2		u(k)				δ : y(k) = x1(k),
x	(k +1)		= x (k) +Tu(k)				2
x	(k +1)		= x (k) +Tu(k)
3			3


в) λ : x(k +1) = Ax(k) + Bu(k); δ : y(k) = Cx(k) ,
1		1	0	1	−1
A = 0 1			0 , B = 0 0			,	C	= [1 0 0].

		0			0
0		0	1	1	0
г) λ : x(k +1) = Ax(k) + Bu(k); δ : y(k) = Cx(k) ,
	0.9		0.06		0	0				0	0
−1.5			0.1		0	0		,		1	0		1	0	0	1
A =	0		0.01	0.9				,	B =				, C =	1	1	.
	0		0.01	0.9		0.6				0	0		0	1	1	0
				−1.5
0.02 − 0.004				−1.5		0.1				0	1

9.9. Определить передаточные матрицы и функции дискретных объектов примеров 9.6

9.8. С использованием алгоритма А9.2 построить модель ВСВ дискретных объектов, заданных передаточными функциями (матрицами):

βz +1		β z2	+ β	2	z + β	3
а) Φ(z) = αz +1;	1
	б) Φ(z) =						;
		z3 +α1z2 +α2 z +α3

β11

β z−2

+ β

z−1

+ β

β12

z +α

в) Φ(z) =

; г) Ф(z) =

β22

z−3 +α1z−2 +α2 z−1 +α3

z +α

9.9. Для значений интервалов дискретности 0.01 сек. и 0.1 сек. построить матрицы A, B, C дискретного описания непрерывных

объектов из задачи 9.2.

Решение вариантов задач

Решение задачи 9.1. Запишем функции λ и δ в координатной форме:

x1 = 0x1 + 0x2 −υ3x3 +υ3u

x2 =1x1 + 0x2 −υ2 x3
		.
	= 0x1 +1x2 −υ1x3
x3

y = 0x1 + 0x2 +1x3

Для построения структурного представления объекта необходимы 3 интегратора, у которых входом j-го интегратора является переменная x j , представленная в виде линейной комбинации выходов

интеграторов xi (j,i =1,n) и входного воздействия u , описываемой j-ой

строкой функции перехода λ , при этом линейная комбинация формируется сумматором. Выход y объекта управления является

линейной комбинацией составляющих вектора состояния, который формируется с помощью усилительных элементов с коэффициентами усиления, равными коэффициентам при соответствующих составляющих xi вектора состояния х в функции выхода δ , и

устройством суммирования. Для оценки управляемости и наблюдаемости объекта составим матрицы управляемости Wу и

наблюдаемости Wн в силу выражений (9.17) и (9.20):
					υ3			0	0
			2				0 υ3		0	,
Wу = B		AB A		B =			0 υ3		0	,
							0	0	υ3
							0	0	υ3
					)			T T	0	0	1
	T	T	T	T		2	C	T T		1	−υ1
Wн = C		A C		(A			C	=	0	1	−υ1	.
											2
									1	−υ1	2
									1	−υ1	−υ1 − −υ2

В соответствие с критериями управляемости и наблюдаемости в первых формулировках объект управления является полностью управляемым и наблюдаемым, так как

rang(Wу )= 3 = dim x , rang(Wн )= 3 = dim x .

Для того, чтобы воспользоваться критериями управляемости и

наблюдаемости во вторых формулировках (КУ2 и КН2) построим

матрицы		Q =W W T				и			P =W T нW			н	, которые				для		рассматриваемого
					у у							н
объекта управления принимают вид
υ32		0 0							1				−υ1						υ12 −υ2
Q =	0	υ2	0		, P =			−υ				1+υ2						−υ +υυ				−υ3			.
		3							1				1						1		1 2		1
	0 0 υ			2				2	−υ		−υ +υυ			−υ	3	1	+υ	2	+υ	2	+υ	4	2
	0 0 υ					υ			−υ		−υ +υυ			−υ		1	+υ		+υ	2	+υ		− 2υ υ	2
			3				1			2	1		1 2	1			1			2	1		1	2
Положительная определенность матрицы Q очевидна.
Для матрицы P =W T нW										имеем
									н

∆1 =1, ∆2 =1, ∆3 =1.

Таким образом, Р – положительно определенная матрица. Определим передаточную функцию (матрицу) «вход–выход»

объекта. По определению передаточной функции (матрицы)

Φ(s)=∆ Y (s)

= C (sI − A)−1 B =

adj

(sI − A) T

B =

det (sI − A)

U (s)

s2 +υ1 s +υ2

−υ3

1−υ3s

υ3

[0 0 1]

s +υ

s2 +υ s

−υ

s −υ

υ1 s

+υ2s +

υ3

= s

3 +

υ s

2 +υ

s +

s s

= s3 +υ s2 +υ

s +υ

Поставленные задачи решены.

Решение задачи 9.5г.

По передаточной функции «вход–выход» ЛНДО

Φ(s) =

β1s +β2

построить A,

B, C–«вход–состояние–

s3 + α s2

+ α

s + α

выход» представление на основе алгоритма А9.1. В соответствие с этим алгоритмом:

1.Выбираем канонический управляемый (фробениусов строчный) базис представления; 2.Пункт 2 алгоритма А9.1 выполнен исходным задание передаточной

функции, которая представляет собой отношение двух полиномов относительно переменной «s»;

3.Записываем передаточную функцию по отрицательным степеням переменной Лапласа «s» , так чтобы в знаменателе образовался единичный свободный член, для чего числитель и знаменатель делим

на член «s3 », в результате чего получаем представление передаточной функции

β1 s12 + β2 s13

Φ(s) = 1+ α1 1s + α2 s12 + α3 s13 ;

3.,4. Выполняем п.п.3 и 4: строим структурное представление в каноническом управляемом базисе и размечаем его, результат

выполнение этих пунктов алгоритма А9.1 представлен на рисунке 9.6

y(t)

u(t)	x3 (t)
u(t)		1
		s

		β1		β2
x2 (t)		x1(t)
x3 (t)	1	x2 (t)	1	x1(t)
	s		s
− α1		−α2		− α3

5.Списываем матрицы A, B,C					Рисунок 9.6			y(t)= Cx(t)
5.Списываем матрицы A, B,C					описания x(t)= Ax(t)+ Bu(t),			y(t)= Cx(t)

с отмеченного структурного представления рисунок 9.6 и получаем
	0	1	0	0
A =	0	0	1	; B = 0 ;C = [β		β	0].	■
						2 1

− α3		− α2 − α1		1

10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКЗОГЕННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Рассматривается задача построения математических моделей физических сред, в которых формируются непрерывные ϕ(t) и

дискретные по времени ϕ(k) экзогенные (рожденные вне т.е.

внешние) воздействия. Как и ранее, t – непрерывное время, k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительности ∆t так, что для дискретных представлений воздействий выполняется соотношение t = (∆t) k .

Определение 10.1 (О10.1). Непрерывное скалярное воздействие ϕ(t) называется конечномерным, если оно может быть представлено в

виде суммы конечного числа элементов

q
ϕ(t) = ∑γνψν (t) ,				(10.1)
ν =1
где q – конечное целое положительное число, аддитивные
компоненты	которого	ψν (t)	формируются	автономными

непрерывными динамическими системами конечной размерности, γν –

коэффициенты из поля F .

□

Определение 10.2 (О10.2). Дискретное по времени скалярное воздействие ϕ(k) называется конечномерным, если оно представимо в

виде суммы конечного числа элементов

q
ϕ(k) = ∑γνψν (k) ,				(10.2)
ν =1
где q – конечное целое положительное число, аддитивные
компоненты	которого	ψν (k) 1	формируются	автономными

дискретными динамическими системами конечной размерности,					γν –
коэффициенты		из	поля		F .
□
Примечание 10.1 (П10.1). В дальнейшем рассматриваются
воздействия,	коэффициенты
		γν (ν =1,q)	которых в	(10.1) и	(10.2)
принадлежат полю действительных чисел (F = R ).
Понятие	«воздействие»	предполагает наличие		динамического

объекта или динамической системы, на которые осуществляется воздействие, которое относительно этих объекта и системы оказывается внешним (экзогенным). В этой связи выделим два типа внешних воздействий на динамический объект (динамическую систему).

1 В дальнейшем вместо «дискретное по времени» будем использовать понятие «дискретное».

165

Первый тип экзогенного воздействия именуется задающим, которое обозначается для непрерывного случая в форме g(t) , а для

дискретного – g(k) . При этом, если g(t) ( g(k) ) являются

конечномерными, то выполняются равенства
g(t) =ϕ(t) , g(k) =ϕ(k) .				(10.3)
Второй тип экзогенного воздействия именуется возмущающим,
которое для непрерывного случая обозначается как				f (t) , а для
дискретного –	f (k) . Если f (t)	и	f (k) являются конечномерными, то
выполняются соотношения
f (t) =ϕ(t) , f (k) =ϕ(k) .				(10.4)
Задающее	g(t) , ( g(k) )	и	возмущающее f (t) ,	( f (k) ) несут

различную функциональную нагрузку.

Так, если динамическая система характеризуется выходным сигналом y(t), ( y(k)), то она должна быть спроектирована таким

образом, чтобы при подаче на вход системы задающего воздействия g(t) , ( g(k) ) выходной сигнал (или просто выход) y(t), ( y(k)) с

течением времени максимально приближался бы к задающему воздействию, что можно записать в форме

lim y(t, g(t) ≠ 0) = g(t) ,	(10.5)
t→∞

lim y(k, g(k) ≠ 0) = g(k) .

(10.6)

k →∞

Если система удовлетворяет условиям (10.5), (10.6), то она решает задачу слежения выходной переменной за задающим воздействием.

Возмущающее воздействие является «мешающим» фактором, поэтому динамическая система должна быть спроектирована так, чтобы при подаче на вход системы возмущающего воздействия f (t)

( f (k) ), выход системы y(t) ( y(k)) с течением времени должен

максимально приближаться к его реализации, которая имела место при отсутствии возмущающего воздействия, что можно записать в форме

lim y(t, f (t) ≠ 0)	= lim y(t, f (t) = 0),	(10.7)
t→∞	t→∞

lim y(k, f (k) ≠ 0) = lim y(k, f (k) = 0).		(10.8)
t→∞	t→∞

Если система удовлетворяет условиям (10.7), (10.8), то она решает задачу стабилизации выхода путем парирования возмущающего воздействия.

Поиск модельных представлений конечномерных воздействий в классе автономных динамических систем имеет технологическую, вычислительную и алгоритмическую нагрузки.

166

10.1 Модели конечномерных непрерывных типовых экзогенных воздействий

В теории и практике управления непрерывными объектами в составе непрерывных систем используются конечномерные воздействия следующих типов:

1. Полиномиальные воздействия, представление (10.1) которых имеет вид

q−1
ψ (t) = ∑γν tν ;	(10.9)

ν=0

2.Экспоненциальные, представление (10.1) которых имеет вид

q	q
ψ (t) = ∑γν eαν t = ∑γν exp(αν t) ;		(10.10)
ν =1	ν =1

3. Гармонические, представление (10.1) которых имеет вид

ψ (t) = ∑γν sin(ων t +ϕν ) =

ν =1
q
= ∑(γsν sinων t +γcν cosων t);	(10.11)

ν=1

4.Затухающие (расходящиеся) гармонические, представление

(10.1) которых имеет вид

q
ψ (t) = ∑γν eαν t sin(ων t +ϕν ) .			(10.12)
ν =1
Модельные	представления	источников	конечномерных

воздействий (ИКВ) перечисленных типов (10.9)-(10.12) в виде автономных динамических систем, имеющих векторно-матричное

описание (ВМО) вида
z(t) = Ez(t) ,	z(0) = z(t)	t =0 , ψ (t) = Pψ z(t) ,	(10.13)

где z – вектор состояния ИКВ, E, Pψ – соответственно матрицы

состояния и выхода, размерности которых определяются конкретным типом ψ (t) , сформируем в виде системы утверждений.

Утверждение 10.1 (У10.1). Полиномиальные конечномерные воздействия вида (10.9) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами E Rq×q и P R1×q вида

E =

I(q−1)×)q−1)

= [1 row(P

= 0;ν =

(10.14)

q×1

1,q −1

ψν

1×(q−1)

z(0) = col{zν (0);ν =

} с

при

векторе начального состояния

1,q

компонентами

zν (0) = (ν!)γν ; ν =

□(10.15)

1,q

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов

состояния z(t)

и выхода ψ (t)

имеет вид

167

z(t) = eEt z(0) , ψ (t)

= P eEt z(0) .

(10.16)

Матрица E в силу представления (10.14) имеет форму Жордана с

нулевыми диагональными элементами (Eνν

= 0;ν =1,q ),

поэтому

матричная экспонента exp(Et) в

силу

(6.31)

учетом

того, что

exp(Eνν t) =1, принимает вид

q−1

(2!)

−1

[(q −1)!]

−1

[(q − 2)!]−1tq−2

e = exp(Et) =

(10.17)

Подстановка (10.17) в соотношение для ψ (t) (10.16) с учетом вида

(10.14) матричных компонентов дает

(0)[(q −1)!]tq−1 =

ψ (t) = z (0) + z

(0)t + z

(0)(2!)−1t2 + + z

q−1

(0)tν .

(10.18)

= ∑(ν !)−1 z

ν +1

ν =0

Если в (10.18) подставить (10.15), то получим (10.19).

■

Анализ матричных компонентов (10.14) ВМО источника полиномиального конечномерного воздействия показывает, что ИКВ полиномиального типа представляет собой цепь из q интеграторов, на

выходе которой формируется ψ (t) . В теории и практике управления

для исследования динамических свойств систем управления в классе полиномиальных конечномерных воздействий выделяются типовые воздействия вида:

–статическое воздействие (ψ (t) = γ0 = const );

–кинетическое воздействие (ψ (t) = γ1t);

–динамическое воздействие (ψ (t) = γ2t2 ).

Первое	(статическое)	типовое	воздействие	обычно
характеризуется величиной		γ0 =1 и	именуется	единичным

воздействием, его источник (10.13) имеет матричные компоненты (10.14) и начальное состояние (10.15) вида

E = [01×1]; Pψ = [1];		z1(0) = γ0 .					(10.19)
Второе (кинетическое) типовое воздействие характеризуется
постоянной	скоростью		ψ (t) = γ1 ,	его	источник	(10.13)	имеет

компоненты (10.14) и (10.15) вида
0	1	0]; z(0) = [0		γ1]T .			(10.20)
E =	; Pψ = [1	0]; z(0) = [0		γ1]T .			(10.20)
0	0
Третье (динамическое) типовое воздействие характеризуется
постоянным	ускорением		ψ(t) = 2!γ2 , его		источник	(10.13)	имеет

компоненты (10.14) и (10.15) вида

168

0	1	0
E = 0	0	1	;	P = [1 0	0]; z(0) = [0 0	2!γ	2	].	(10.21)
	0			ψ			2
0	0	0

Утверждение 10.2 (У10.2). Экспоненциальные конечномерные воздействия вида (10.10) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами			E Rq×q и	P R1×q вида
				ψ
E = diag{αν ;ν =		}, Pψ	= row{Pψν =1,ν =			},	(10.22)
	1,q				1,q
при векторе начального состояния
z(0) = col{zν (0) = γν ;ν =1,q}.□							(10.23)

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов

состояния z(t) и выхода ψ (t) имеет вид (10.16). Матричная экспонента exp(Et) в силу структуры (10.22) матрицы E принимает вид

eEt = exp(Et) = diag{eαν t ;ν =		}.	(10.24)
	1,q
Подстановка (10.24) в соотношение для ψ (t) (10.16) с учетом вида
(10.22) матричных компонентов E и Pψ и (10.23) дает
		q
ψ (t) = z1(0)eα1t + z2 (0)eα2t + + zq (0)eαq t = ∑γν eαν t .			■(10.25)

ν =1

Анализ матричных компонентов (10.22) ВМО источника экспоненциального конечномерного воздействия показывает, что ИКВ этого типа представляет собой структуру из параллельно включенных интеграторов, каждый из которых охвачен обратной связью с

коэффициентом передачи αν (ν =1,q ), выходы которых объединены на

общем сумматоре.

Утверждение 10.3 (У10.3). Гармонические конечномерные воздействия вида (10.11) формируются ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с

матричными компонентами E R2q×2q и Pψ R1×2q вида

E = diag Eν

ν ;ν =1,q , Pψ = row{Pψν

= [1

0];ν =1,q},(10.26)

−ω

при векторе начального состояния

z(0) = col{zν (0) = [γcν

γsν ]T ;ν =

□(10.27)

1,q

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов состояния z(t) и выхода ψ (t) имеет вид (10.16). Матричная экспонента


exp(Et) в силу структуры (10.26) матрицы E принимает вид
	cos(ων t)		sin(ων t)
	cos(ων t)		sin(ων t)
eEt = exp(Et) = diag eEν t = −sin(ω t)			cos(ω t) ;ν =1,q	. (10.28)
		ν	ν

Подстановка (10.28) в выражение для ψ (t) с учетом вида (10.26) матрицы Pψ и представления (10.27) вектора начального состояния

z(0) дает

169

ψ (t) = ∑q [1	0] cos(ων t)		sin(ων t) γcν		=
ν =1	−sin(ω t)		cos(ω t) λ
		ν	ν	sν

q
= ∑(γcν cos(ων t) +γsν sin(ων t)).	(10.29)

ν =1

Анализ матричных компонентов (10.26) ВМО источника гармонического конечномерного воздействия показывает, что ИКВ этого типа представляет собой структуру из q параллельно

включенных цепочек из двух последовательно соединенных интеграторов, в которых сигнал с выхода второго интегратора подается на вход первого через элемент с коэффициентом передачи ων . При

этом с выхода первого интегратора сигнал по цепи обратной связи с коэффициентом передачи (−ων ) подается на вход второго. Сигналы с

выходов первых интеграторов каждой из цепочек объединяются на общем сумматоре.

Утверждение 10.4 (У10.4). Затухающие (расходящиеся) гармонические конечномерные воздействия вида (10.12) формируются

ИКВ, имеющим ВМО (10.13) с матричными компонентами E R2q×2q

и P R1×2q

вида

E = diag Eν

ν ;ν =

1,q , Pψ

= row{Pψν = [1

0];ν =1,q} (10.30)

−ω

при векторе начального состояния (10.27).

□

Доказательство. Решение системы (10.13) относительно векторов

состояния z(t) и выхода ψ (t)

имеет вид (10.16). Матричная экспонента

exp(Et) в силу структуры (10.30) матрицы E принимает вид

cos(ων t)

sin(ων t)

eEt = exp(Et) = diag eEν t = eαν t

−sin(ω t)

cos(ω t) ;ν =1,q .

(10.31)

Подстановка (10.31) в выражение для ψ (t)

с учетом вида (10.30)

матрицы Pψ

и представления (10.27)

вектора начального состояния

z(0) дает

ψ (t) = ∑eαν t (γcν cos(ων t) +γsν sin(ων t))= ∑γν eαν t sin(ων t +ϕν ) .

(10.32)

ν =1

Если αν > 0 , то воздействие (10.12) будет расходящимся, а в случае αν < 0 – сходящимся. Структурно ИКВ (10.12) совпадает с ИКВ

(10.11) с той разницей, что каждый интегратор ИКВ (10.12) охвачен обратной связью с коэффициентом αν .

Примечание 10.2 (П10.2). Если возникает необходимость построить источник конечномерного воздействия, которое представляет собой аддитивную смесь воздействий вида (10.9)–(10.12), то он строится в форме (10.13), где матрица E принимает блочно-

170

диагональную форму с матричными блоками на диагонали, записанными в виде (10.14), (10.22), (10.26) и (10.30). Матрица выхода такого ИКВ Pψ строится в блочно-строчной форме с матричными

блоками в строке в виде матриц выхода тех же представлений (10.14), (10.22), (10.26) и (10.30).

10.2. Модели дискретных конечномерных типовых воздействий

Дискретные аналоги (10.2) конечномерных непрерывных типовых воздействий вида (10.9) – (10.12) имеют приводимый ниже вид.

1. Для случая полиномиальной реализации (10.2)

q−1
ψ (k) = ∑γν kν ;	(10.33)

ν=0

2.Для случая степенной реализации (10.2)

q
ψ (t) = ∑γνανk ;	(10.34)

ν=0

3.Для случая гармонической реализации (10.2)

q
ψ (k) = ∑(γsν sin(ων (∆t)k) +γcν cos(ων (∆t)k)) ;	(10.35)

ν=1

4.Для затухающей (расходящейся) гармонической реализации

(10.2)

q
ψ (k) = ∑	ανk (γ	sν sin(ων (∆t)k) +γ	cν cos(ων (∆t)k)) .	(10.36)
ν =1
Модельные		представления	источников	дискретных

конечномерных воздействий (ИДКВ) вида (10.33) – (10.36)

в форме

автономных дискретных систем вида

z(k +1) =

(10.37)

Ez(k); z(0) = z(k)

k =0 ; ψ (k) = Pψ z(k)

имеют матричные компоненты

Pψ , связанные с

компонентами ВМО (10.13) непрерывных КВ соотношениями

= exp(E∆t) ,

(10.38)

Pψ = Pψ .

Явное решение системы (10.37) относительно переменных z(k) и ψ (k) имеет вид


z(k) =		k z(0) , ψ (k) =			k z(0) .				(10.39)
z(k) =	E	k z(0) , ψ (k) =	P	E	k z(0) .				(10.39)
			ψ
Конкретная реализация							и		зависит от вида дискретного
Конкретная реализация						E	и	Pψ	зависит от вида дискретного

конечномерного воздействия (10.2), формируемого на выходе ИДКВ (10.37). Зададим представления E и Pψ с помощью системы

утверждений.

Утверждение 10.5 (У10.5). Матрицы E и Pψ ВМО ИДКВ (10.33) имеют представление

171

							−1			2			−1	q−1
		1		∆t	(2!)			(	∆t)		[(q −1)!]−1(∆t)q−2
		0		1			∆t				[(q − 2)!]			(∆t)

E =															,	(10.40)
E =															,	(10.40)
		0		0			0						∆t
				0			0						1
		0		0			0						1
			[1	row(								].				□(10.41)
											1,q −1
	Pψ =					Pψν = 0;ν =					1,q −1

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в (10.38) представления(10.17) с заменой t на интервал дискретности ∆t . Подстановка (10.40) и (10.41) в (10.39) дает

				(∆t)k		−1	(∆tk)	2	[(q −1)!]		−1	(∆tk)	q−1
			1	(∆t)k	(2!)		(∆tk)		[(q −1)!]			(∆tk)
	k		0	1		∆tk			[(q − 2)!]−1(∆tk)q−2

E		=												,	(10.42)
E		=												,	(10.42)
			0	0		0				∆tk
				0		0					1
			0	0		0					1

ψ (k) = z (0) + (∆t)z				2		(0)k + (2!)−1(∆t)2 z			3	(0)k2	+
		1		2					3
+ +[(q −1)!]−1(∆t)q−1 zq (0)k q−1 .											(10.43)
Сравнение (10.43) и (10.33) позволяет для коэффициентов γν
записать
γ		= (ν!)−1(∆t)ν z			(0) ; ν =			.			(10.44)
γ	ν	= (ν!)−1(∆t)ν z			(0) ; ν =		0,q −1	.			(10.44)
	ν		ν +1
Анализ			представления (10.40) и							(10.41) ВМО источника

дискретного полиномиального воздействия показывает, что источник этого ДКВ представляет собой структуру, составленную из элементов задержки (ЭЗ), охваченных единичной положительной обратной связью, входы которых связаны с выходами ЭЗ в соответствии с компонентами строк матрицы E (10.40), причем коэффициенты передачи этих связей зависят от значения интервала дискретности ∆t , при этом полиномиальное ДКВ формируется на выходе первого ЭЗ.

Как и в случае непрерывных КВ, выделим типовые

полиномиальные дискретные КВ:		статическое ψ (k) = γ	0 = const ,
кинетическое воздействие ψ (k) = γ	k	и динамическое ψ(k) = γ	2	k 2 .
1

Первое типовое дискретное воздействие обычно характеризуется величиной γ0 =1 и именуется единичным дискретным воздействием,

его источник (10.37) имеет матричные компоненты и начальные условия вида

E = [11×1]; Pψ = [1];	z1(0) = γ	0 .	(10.45)
Второе типовое дискретное воздействие характеризуется
постоянной первой	разностью		∆ψ (k) =ψ (k +1) −ψ (k) = γ1 , его
источник (10.37) имеет компоненты

172

E =

∆t ;

P = [1

0]; z(0) = [0

(∆t)−1γ

]T .

(10.46)

Третье типовое дискретное воздействие характеризуется

постоянной второй разностью

∆2ψ (k) = ∆ψ (k +1) − ∆ψ(k) = ∆2ψ = 2!γ

2 ,

источник которого имеет компоненты

∆t

0.5(∆t)

= [1

0]; z(0) = [0

(∆t)−2 ∆2ψ ].

∆t

; Pψ

(10.47)

E = 0

Утверждение 10.6 (У10.6). Матрицы

ВМО ИДКВ вида

Pψ

(10.34) имеют представление

= diag{

αν = exp(αν ∆t);ν =

Pψ = row{Pψν

=1;ν =

(10.48)

1,q

При

этом

z(0)

(10.39)

задается

форме

z(0) = col{zν (0) = γν ;ν =

1,q

Доказательство утверждения строится на непосредственной

подстановке в (10.38) представления (10.22) с заменой t

на интервал

дискретности ∆t и дальнейшей подстановкой в (10.39).

■

Утверждение 10.7 (У10.7). Матрицы

ВМО ИДКВ вида

Pψ

(10.35) имеют представление

cos(ων ∆t)

sin(ων ∆t)

E = diag Eν

−sin(ω ∆t)

cos(ω

∆t) ;ν

=1,q ,

(10.49)

Pψ = row{

Pψν = [1

0];ν =

(10.50)

1,q

при этом вектор начального состояния z(0) задается в форме

z(0) = col{zν (0) = [γ

sν ]T

};ν =

□(10.51)

cν

1,q

Доказательство утверждения строится на непосредственной

подстановке в ( 10.38) представления (10.28) с заменой t

на интервал

дискретности ∆t и последующей подстановкой

учетом

(10.51) в

(10.39).

■

Утверждение 10.8 (У10.8). Матрицы

ВМО ИДКВ вида

Pψ

(10.36) имеют представление

cos(ων ∆t)

sin(ων ∆t)

E = diag Eν

=αν −sin(ω ∆t)

cos(ω ∆t) ;ν =1,q ,

(10.52)

Pψ = row{

Pψν = [1

0];ν =

(10.53)

1,q

z(0)

при

этом вектор начального

состояния

задается

в форме

(10.51). □

Доказательство утверждения строится на непосредственной подстановке в (10.38) представления (10.31) с заменой t на интервал

дискретности ∆t	и последующей подстановкой с учетом (10.51) в
(10.39).	■

173

Если в (10.51) αν <1, то воздействие (10.36) будет затухающим, при αν =1 – стационарным по амплитуде компонентов, а в случае αν >1 – расходящимся.

В заключение следует сказать, что в случае, когда требуется осуществить исследование динамической системы (объекта) типа

«многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) при векторном
внешнем конечномерном воздействии ψ (t) = col{ψ j (t); j =1,m}			в
непрерывном случае и ψ (k) = col{ψ j (k); j =		} - в дискретном,	то
	1,m

источник векторного КВ формируется из источников скалярных КВ, сепаратные выходы которых подключены к сепаратным входам системы (объекта).

10.3. Конечномерное представление сложных непрерывных воздействий. Базисные функции. Теорема В.Котельникова –

К.Шеннона

Проблема конечномерного представления сложных непрерывных воздействий (сигналов) как элементов функционального пространства

x(t) L2 (T ) имеет две постановочные версии.

В первой постановочной версии, именуемой прямой задачей

конечномерного представления сигналов, ставится задача сопоставления произвольного сигнала x(t) с ограниченной энергией,

т.е. x(t) L2 (T ) его конечному численному представлению. Эта задача сводится к нахождению отображения пространства L2 (T ) в

пространство Rn (Cn ), где n выбирается из соображений обеспечения

допустимой погрешности представления.

Прямой подход к решению такой задачи состоит в выборе некоторого n -мерного подпространства L2 (T ) , натянутого на систему

линейно независимых функций, именуемых базисными функциями и

образующих функциональный базис.

Напомним, что если ϕi (t),(i =1, n) – система линейно независимых функций в L2 (T ) , то для t T условие

∑αiϕi (t) = 0 (10.54)

i=1

выполняется почти всюду тогда и только тогда, когда все αi = 0, (i =1,n) . Введем в рассмотрение линейное подпространство Ln ,

натянутое на базисные функции ϕi (t) , т.е. Ln = L{ϕi (t)}. Тогда, если x(t) Ln , то он представим в виде линейной комбинации

174

x(t) = ∑αiϕi (t), t T ={t :t0 ≤ t ≤ tk }, (10.55)

i=1

при этом набор коэффициентов αi (i =1,n) образует вектор

α = (α1,α2 ,...,αn )T Rn (Cn ).

Напомним,

что

L2 (T )

есть

пространство

со скалярным

произведением, определяемым выражением

(x, y)∆∫x(t)y* (t)dt .

(10.56)

Тогда искомое представление сигнала x(t) в Rn (Cn ) в виде

вектора

α = (α1,α2 ,...,αn )T

найдется

из

векторно–матричного

соотношения, полученного из (10.55)–(10.56):

(ϕ

,ϕ )

(ϕ

,ϕ )

(ϕ

,ϕ )

(x,ϕ )

(ϕ1,ϕ2 )

(ϕ2 ,ϕ2 )

(ϕn ,ϕ2 )

α2

= (x,ϕ2 )

(10.57)

(ϕn

(ϕ1,ϕn ) (ϕ2 ,ϕn )

,ϕn )

αn

(x,ϕn )

или в свернутой форме:

Gα = β α = G−1β,

(10.58)

где

β = col{(x,ϕi );i =

};

(10.59)

1,n

G = row{col[(ϕi ,ϕ j );i =

]; j =

(10.60)

1, n

Матрица G , определенная в форме (10.60), как известно, называется матрицей Грама. Она может быть использована для оценки

линейной

независимости

системы

функций

(ϕi ,ϕ j ,

i, j =1,n) .

Критерием

линейной

независимости

функций ϕi

ϕ j

является

положительность определителя матрицы Грама

detG = det{(ϕi ,ϕ j );

i, j =1,n}> 0.

Если

x(t) Ln , то

для

любого вектора x(t) L2 (T )

существует

единственный вектор xˆ Ln , задаваемый представлением

xˆ(t)= ∑n αiϕi (t)

(10.61)

i=1

причем такой, что:

вектор разности (невязка) η = x − xˆ

ортогонален всем векторам из

Ln , в силу чего выполняется неравенство:

=|| x − xˆ ||<

x − x

, где x – любой, но такой, что x ≠ xˆ , вектор из

Ln .

175

Очевидно, справедливо xˆ именовать ортогональной проекцией x L2 (T ) на Ln ,η = x − ˆx – вектором невязки, представляющим собой

погрешность представление вектораx вектором xˆ .

Нетрудно видеть, что погрешность η представления элемента x(t) в форме его проекции xˆ(t) может быть охарактеризована ее абсолютной оценкой ∆η и относительной оценкой δη , соответственно задаваемых выражениями

∆η =

η = x − xˆ

; δη = ∆η /

(10.62)

Очевидно, как и в случае конечномерных линейных пространств, в качестве базиса предпочтительнее использовать систему

ортонормированных функций.

Во второй постановочной версии, именуемой обратной задачей

дискретного представления сигналов рассматривается непрерывный сигнал x(t) , удовлетворяющий условиям Дирихле (ограниченность,

кусочная непрерывность, наличие конечного числа разрывов первого рода и отсутствие разрывов второго рода). Сигнал x(t) имеет

ограниченный частотный Фурье–спектр X ( jω) в том смысле, что

X ( jω) ≠0 при −ωm ≤ω ≤ωm ; X ( jω) =0 при ω > ωm ,

	∞
где X ( jω) =	∫x(t)e jωt dt = F{X (t)}.
	−∞
Построим дискретное представление сигнала x(t) в форме
∞
x(t) = ∑αkϕk (t) ,		(10.63)

k=−∞

вкотором αk = x(k∆t) – отсчеты непрерывной функции x(t) в

дискретные моменты времени t = k∆t.
Возникают естественные вопросы:				∆t следует
	1. С каким интервалом дискретности			∆t следует	снимать
отсчеты x(k∆t) ?
	2. Каковыми должны быть базисные функции				ϕk (t) в
		~		(t)
представлении (10.63) с тем, чтобы невязка x				(t)
~	∞				(10.64)
x	(t) = x(t) − ∑αkϕk (t)				(10.64)
	k =−∞		~	сколь угодно близкой
этого представления обладала нормой

			x(t)

к нулю?

На эти вопросы отвечает следующая теорема.

Теорема В. Котельникова–К. Шеннона (ТКШ). Пусть непрерывный сигнал x(t) удовлетворяет условиям Дирихле так, что к

нему может быть применено преобразование Фурье, и при этом

176

обладает ограниченным частотным спектром X ( jω) ≠0 при

−ωm ≤ω ≤ωm ; X ( jω) =0 при ω >ωm .

Тогда дискретное представление сигнала (10.63) обладает нулевой

невязкой (10.64), если			sin[ωm (t − ∆tk)]
∆t =	π	; ϕk (t) =		;αk = x(k∆t).	(10.65)
	ωm		ωm (t − ∆tk)

Доказательство. В силу преобразуемости по Фурье для сигнала x(t) оказываются справедливыми прямое и обратное интегральные

преобразования Фурье

F {x(t)}= X ( jω) =

∞

− jωt dt;

∫ x(t)e

−∞

F -1{X ( jω)}= x(t) =

∞

∫ X ( jω)e jωt dt.

2π −∞

X ( jω) ≠0

при

Учтем

ограниченность

спектра

−ωm ≤ω ≤ωm ; X ( jω) =0

при

>ωm , тогда для обратного интеграла

Фурье получим представление

x(t) =

∫m X ( jω)e jωt dt.

(10.66)

2π

−ωm

Но X ( jω) в силу

ограниченности

спектра предствим

бесконечным рядом по частоте, записываемый в форме

∞

j(k

)ω

X ( jω) = ∑Ck e j∆k

= ∑Ck e

ωm

(10.67)

k =∞

k =−∞

где ∆k = k∆ = k

2π

= k

2ωm

ωm

Введем

обозначение

= ∆t,

тогда становится справедливой

запись ряда (10.67) в форме

ωm

∞

j(k

)ω

∞

X ( jω) =

∑Ck e

ωm

∑Ck e jk∆tω ,

(10.68)

k =−∞

при этом коэффициенты рядаCk

вычисляются в силу соотношения

x(t) =

∫m X ( jω)e− jkω∆t dω .

(10.69)

2ωm −ωm

Сравнивая представления (10.66) и (10.69) нетрудно установить

для моментов времени t = k∆t

выполнение равенства

Ck =

x(−k∆t).

(10.70)

ωm

177

Подставим выражение (10.70) в ряд Фурье (10.68)

	∞	∞	π
X ( jω) =	∑Ck e jk∆tω =	∑		x(−k∆t)e jk∆tω .	(10.71)

	k=−∞	k=−∞ ωm
Если спектральную		функцию X ( jω) исходного			сигнала x(t)

полученного выше вида подставить в обратный интеграл Фурье (10.66), то для сигнала x(t) получим представление

ωm

∞

x(t) =

∫ X ( jω)e jωt dω =

∫

∑

x(−k∆t)e jk∆tωe jωt dω.

2π

ωm

−ωm

−ωm k=−∞

k = −k ,

тогда

Произведем

полученном

выражении

замену

получим представление

ωm

∞

ωm

x(t) =

∫

∑x (k∆t)e jω(t−k∆t)dω =

∑x (k∆t) ∫

e jω(t−k∆t)dω.

2ωm −ωm k=−∞

2ωm k=−∞

−ωm

Вычислим отдельно интеграл

ωm

jω(t

−k∆t)

j(t −k∆t)ω

∫

dω =

j(t

− k∆t)

−ωm

{e j(t −k∆t)ωm − e− j(t −k∆t)ωm }=

j(t − k∆t)

e j(t −k∆t)ωm

− e− j(t −k∆t)ωm

= 2

sin[(t − k∆t)ω

]

(t − k∆t)

2 j

(t − k∆t)ωm

Подставим полученное представление интеграла в выражение для

оригинала x(t) , тогда будем иметь

x(t) =

∑ x(k∆t) 2 sin[(t − k∆t)ωm ] =

∞

(t − k∆t)

2ωm

k =−∞

■(10.72)

= ∑ x(k∆t)

sin[(t − k∆t)ωm ] =

∑αkϕk ,

∞

(t − k∆t)ωm

k =−∞

гдеαk

= x(k∆t);ϕk (t) = sin[(t − k∆t)ωm ];∆t =

(t − k∆t)ωm

ωm

Примечание

10.3

(П10.3).

Базисная

функция

ϕk (t) = sin[(t − k∆t)ωm ] называется

функцией отсчета,

она обладает

(t − k∆t)ωm

свойствами:

1.при t = k∆t функция отсчета ϕk (t) в силу первого

замечательного предела обладает максимумом, равным единице;

2.в моменты времени t кратные ∆t , так что t = ±l(∆t) функция отсчета ϕk (t) принимает нулевое значение;

3.на бесконечно большом интервале времени функции отсчета с различными индексами ϕν (t) и ϕµ (t) ортогональны так, что система

178

базисных функций ϕk (t) =	sin[(t − k∆t)ωm ]	является системой
	(t − k∆t)ωm

ортогональных базисных функций.

10.4*. Модель бесконечномерного воздействия типа δ – функция Дирака

Содержательно дельта-функция Дирака (Поля Дирака), обозначаемая как δ − функция, моделирует экзогенное воздействие

типа «сильный бесконечно короткий по времени действия удар».
Формально δ − функция определяется следующим образом.
Определение 10.3 (О10.3). Обобщенная функция δ(t),
обладающая свойствами:
1.	∞ при		t = 0		(10.73)
	δ(t)=	при	t ≠ 0	,
	0
2.	∞∫δ(t)dt = 1,				(10.74)
	−∞
называется δ −функцией Дирака (или просто δ −функцией).
Свойство (10.74)			δ −функции именуется свойством «единичного
веса» этой функции.
Помимо несмещенной δ −функции δ(t),					введенной определением
10.2, существует		смещенная δ −функция			δ(t −τ ), определяемая

следующим образом.

Определение 10.4(О10.4). Обобщенная функция обладающая свойствами:

1.δ(t −τ )= ∞ при t =τ ,

0 при t ≠τ

2.∞∫δ(t −τ )dt = 1,

−∞

называется смещенной δ −функцией.

Примечание 10.4(ПР10.4). Для смещенных функций используется эквивалентная компактная запись ( )(t,τ ) оказывается справедливым соотношение δ(t −τ )=δ(t,τ ).

δ(t −τ ),

(10.75)

(10.76)

( )(t −τ )

так, что

Смещенная δ −функция, как и несмещенная, обладает единичным весом, но тем не менее, эти функции являются технически невоспроизводимыми, при этом реакции на них являются технически воспроизводимыми.

Рассмотрим теперь «интегральное свойство» δ −функции,

которое сформулируем в виде утверждения применительно к смещенной δ −функции.

179

Утверждение 10.9(У10.9). Пусть f (t) – кусочно-непрерывная

функция, не содержащая разрывов второго рода, тогда оказывается справедливым функционально–интегральное равенство

∞∫ f (t)δ(t,τ )dt = f (τ ).	(10.77)
−∞

Доказательство утверждения строится на вычислении интеграла в левой части (10.77) с использованием свойств δ −функции. В связи со свойством (10.75) в интеграле (10.77) от интегрирования на бесконечном интервале (− ∞,∞) можно перейти к интегрированию на

бесконечно малом интервале (τ − ∆,τ + ∆) , причем на этом интервале функция f (t) принимает фиксированное значение f (τ ). В связи со сказанным становится справедливой цепочка равенств

∞∫ f (t)δ(t,τ )dt =τ +∫∆f (t)δ(t,τ )dt =τ +∫∆f (τ )δ(t,τ )dt

−∞	τ −∆	τ −∆	■(10.78)
= f (τ )τ +∫∆δ(t,τ )dt = f (τ )∞∫δ(t −τ )dt = f (τ )1= f (τ ).			■(10.78)

τ −∆		−∞

Интеграл вида (10.77) называется интегралом «свертки», при этом он «сворачивается» в подынтегральную функцию также в случае, когда сдвиг аргумента осуществляется не в δ −функции, а в функции f (t).

Рассмотрим	теперь	спектральные	частотные	свойства
δ −функции, для этих целей сформулируем утверждение.
Утверждение	10.10 (У10.10). Спектральная функция Fδ (jω)
δ −функции как	прямая	трансформанта	Фурье от	δ −функции

является вещественной и единичной на всей оси частот так, что выполняется равенство

Fδ (jω)=1 при 0 ≤		ω		< ∞ .	□(10.79)

Доказательство утверждения строится на определении спектральной частотной функции исследуемого оригинала ( )(t)=δ(t)

как прямого преобразования Фурье от него и на интегральном свойстве δ −функции. В результате получим цепочку равенств

F (jω)= F{δ(t)}=	∞	δ(t)e− jωt dt =	∞	δ(t,τ) \|	e− jωt dt = e− jωτ \|	=1.	■(10.80)
	∫		∫
δ				τ =0	τ =0
	−∞		−∞

Положения утверждения 10.10 характеризуют δ −функцию как бесконечномерное экзогенное воздействие так, как для представления ее в базисе гармонических элементов требуется сплошное (т.е. бесконечное) множество этих элементов единичной амплитуды.

10.5*. Модели стохастических стационарных в широком смысле непрерывных экзогенных воздействий

Стохастическими процессами (сигналами, воздействиями) наполнен окружающий нас физический мир. Стохастическими

180

являются: ветровое воздействие, волнение морской поверхности, пульсация естественных водных потоков, пульсация напряжения и частоты сетевого электропитания, помехи в электрических проводах линий связи и т.д. Поэтому математическое изучение их является весьма полезным.

Погружение в тематику данного параграфа начнем с разъяснения используемых в нем терминов, определения которым дадим сначала на понятийном уровне, а затем на основе математического формализма.

Итак: стохастический означает случайный, вероятностный; математическое ожидание означает среднее по численным или по временным реализациям; дисперсия означает меру разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания, заданную в квадратичной форме; корреляция – взаимная связь значений случайной величины; ковариация означает совместное изменение случайных величин.

Примечание 10.5 (ПР10.5). Содержательно понятия корреляция и ковариация очень близки, поэтому в силу негласного правила понятие корреляция используется в основном применительно к представлению связей случайных переменных во времени, а ковариация к представлению связей случайных переменных по ансамблям значений.

Обратимся теперь к определениям на основе математического формализма.

Определение 10.5 (О10.5). Пусть η(t)− скалярный непрерывный стохастический процесс со значениями из вещественного поля F = R

(η R, t), тогда математическим ожиданием		M [η(t)]= Mη (t) или
средним значением η	(t) процесса называется	скалярная величина,

параметризованная непрерывным временем t , вычисляемая с помощью соотношения

M [η(t)]= η(t)= 1		t 2					□(10.81)
		∫η(θ)dθ, t > 0.
	t	−t 2	(ПР10.6). M [( )]
Примечание		10.6			именуется	оператором
математического ожидания стохастического процесса[( )].
Определение 10.6			(О10.6). Пусть η(t)−ν −мерный			векторный
непрерывный	стохастический			процесс	η(t)= col{ηl (t);l =			}	со
							1,ν
скалярными	стохастическими			непрерывными компонентами ηl (t),

тогда математическим ожиданием или вектором средних значений

η (t)векторного процесса называется ν −мерный вектор, составленный

из математических ожиданий его скалярных компонентов так, что становится справедливой запись

M [η(t)]=η	(t)= col{M {ηl (t)};l =		}= col{ηl (t);l =		}.	□(10.82)
		1,ν		1,ν

181

Определение 10.7 (О10.7). Пусть η(t)−ν −мерный векторный

непрерывный стохастический процесс η(t)= col{ηl (t);l =1,ν}с вектором

средних значений η (t) тогда:

ковариационной матрицей этого векторного процесса называется

матрица вида
Rη (t ±τ,t)= M [[η(t ±τ )−η	(t ±τ )][η(t)−η	(t)]T ],	□(10.83)
матрицей смешанных моментов второго порядка этого
векторного процесса называется матрица вида
Qη (t ±τ,t)= M [[η(t ±τ )][η(t)]T ],			□(10.84)

матрицей дисперсий этого векторного процесса именуется матрица

вида
Dη (t)= Rη (t,t)= M [[η(t)−η	(t)][η(t)−η	(t)]T ].	□(10.85)
Определение 10.8 (О10.8). Стохастический			процесс η(t)

называется стационарным в широком смысле, если:

математическое ожидание процесса η (t) не зависит от времени и является постоянным (η (t)=η ),

дисперсия (матрица дисперсий) этого процесса Dη (t) не зависит от времени и является постоянной (Dη (t)= Dη ),

корреляционная функция (ковариационная матрица) этого процесса не зависит от времени t , а зависит только от величины τ

Rη (t ±τ,t)= Rη (±τ ).

Примечание 10.7 (ПР10.7). Стохастический процесс стационарный в широком смысле обычно обладает эргодическим свойством. Сущность его заключается в том, что по одной достаточно длинной реализации процесса можно судить обо всех его статистических свойствах так же, как по любому количеству реализаций меньшей длительности. Другими словами, закон распределения случайных величин в таком процессе может быть одним и тем же, как по ансамблю реализаций, так и по времени. В соответствии с этим свойством математическое ожидание и дисперсия скалярного стохастического процесса η(t) стационарного в широком

смысле определяются выражениями


M [η(t)]= η = lim	1		T 2			1	T
				∫η(t)dt = lim			∫η(t)dt ,			(10.86)

T →∞ T			−T 2		T →∞ T		0
Dη = M {[η(t)− η]2}= lim		1		T∫2[η(t)− η]2dt = lim				1	T∫[η(t)− η]2 dt .	(10.87)

T →∞ T −T 2							T →∞ T 0
Определение 10.9 (О10.9). Стохастический процесс η(t)

называется центрированным, если математическое ожидание процесса η(t) является нулевым (η(t)= 0).

182

Стационарный в широком смысле стохастический процесс может быть охарактеризован матрицей (функцией) спектральных плотностей (плотности).

Определение 10.10 (О10.10). Матрица (функция) Sη (ω)

спектральных плотностей (плотности) стационарного в широком смысле стохастического процесса η(t) определяется как прямое

преобразование Фурье F{( )} от ковариационной матрицы (функции) Rη (±τ )этого процесса

Sη (ω )= F{Rη (±τ)}=	+∞	Rη (±τ)e− jωτ dτ =	0	∞
Sη (ω )= F{Rη (±τ)}=	∫	Rη (±τ)e− jωτ dτ =	∫ Rη (−τ)e− jωτ dτ + ∫ Rη (τ)e− jωτ dτ .□(10.88)
	−∞		−∞	0

В разделе рассматриваются реакции системы на экзогенные центрированные стохастические воздействия v(t) стационарные в

широком смысле типа «белый шум» w(t) и «окрашенный шум» ξ(t).

Определение 10.11 (О10.11). Стохастический процесс w(t),

характеризующийся:
– нулевым математическим ожиданием
M {w(t)}= w(t)= 0 ,	(10.89)
– некоррелированными отсчетами w(t),w(t +τ )	при сколь угодно
малом τ , а потому
– ковариационной матрицей (функцией) вида
Rw (t ±τ,t) = N(t)δ(τ ),	(10.90)

где N(t),δ(τ )− соответственно диагональная матрица (функция)

интенсивностей и δ –функция Дирака, называется стохастическим процессом типа «белый шум».

Примечание 10.8 (ПР10.8). Дадим дополнительную трактовку некоррелированности отсчетов, снимаемых с кривых стохастического процесса типа «белый шум». Напомним, что коррелированность это связность. Простейшим видом связи является линейная зависимость, графически задаваемая отрезком прямой линии, наклоненной к оси времени. Таким образом, если отсчеты приходятся на указанный отрезок прямой, то они оказываются связанными уравнением этой прямой, и следовательно, коррелированными. Если все отсчеты, снятые с любым сколь угодно малым шагом, оказываются не коррелированными, это означает, что наклонных к оси времени отрезков прямых не существует, все фронты кривой такого процесса ортогональны оси времени (см. рисунок 10.1а). Производные от них по времени (т.е. скорость их изменения во времени) оказываются бесконечными, а источник «белого шума» обладает бесконечной мощностью, а такого источника в природе не существует. Поэтому непрерывный «белый шум» является примером не воспроизводимого процесса. Это идеализированная математическая модель.

Следует ожидать что, если в кривых стохастических процессов появляются участки, аппроксимируемые отрезками наклонных прямых

183

линий (см.рисунок 10.1 б) , то процесс оказывается коррелированным, а интервал корреляции определяется математическим ожиданием длин этих отрезков.

Рисунок 10.1

Определение 10.12 (О10.11). Стохастический процесс типа

«белый шум» w(t), характеризующийся независящей от времени постоянной матрицей (функцией) интенсивности N(t)= N ,

называется стационарным в широком смысле «белым шумом», при этом выражение для ковариационной матрицы (10.90) принимает вид

Rw (τ) = Nδ(τ ).	(10.91)
Примечание 10.12 (ПР10.12). Выражение (10.91) позволяет
сделать два вывода:
1. Стохастический процессw(t) стационарный в широком смысле
типа «белый шум» характеризуется бесконечной дисперсией
Dw = Rw (0)= Nδ(0)= N (∞)= ∞;	(10.92)

2. Стохастический процесс w(t) стационарный в широком смысле типа «белый шум» характеризуется постоянной матрицей

спектральных	плотностей	Sw (ω)= N ,	что	устанавливается	с
использованием	интегрального свойства		δ −функции на основании
цепочки равенств
Sw (ω)= F{Rw (τ)= Nδ(τ)}= ∞∫Nδ(τ)e− jωτdτ = N.				(10.93)
		−∞
Сравнение	спектральных	функций	(10.80)	и (10.93) для	δ–

функции Дирака и стационарного в широком смысле стохастического воздействия w(t) типа «белый шум» обнаруживает их общность,

состоящую в том, что они оказываются элементами бесконечномерного функционального пространства.

184

Определение 10.13 (О10.13). Стохастическим процессом стационарным в широком смысле типа «окрашенный шум» ξ(t)

называется процесс, наблюдаемый на выходе формирующего фильтра при условии, что на его вход подано стационарное в широком смысле

стохастическое воздействие w(t) типа « белый шум» интенсивности

В теории и практике исследования непрерывных динамических систем при стохастических экзогенных воздействиях выделяют две модельные версии «окрашенных шумов» ξ(t):

1.«экспоненциально коррелированный шум», который формируется из «белого шума» фильтром, представляющим собой

апериодическое звено первого порядка;

2.окрашенный шум типа «нерегулярная качка», который

формируется из «белого шума» фильтром, представляющим собой

колебательное звено второго порядка.

10.6* Модели стохастических стационарных в широком смысле дискретных экзогенных воздействий

Как и в непрерывном случае, рассмотрение стохастических стационарных в широком смысле дискретных экзогенных воздействий начнем с дискретного «белого шума» w(k).

Определение 10.14 (О10.14). Дискретная по времени выборка w(k) в моменты t = (∆t)k из непрерывного «белого шума» w(t), где

∆t −интервал дискретности, k – дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности, называется «дискретным белым шумом», представляющим собой дискретную по времени последовательность стохастических скалярных (векторных) величин.

Примечание 10.13 (ПР10.13). Дискретный белый шум, будучи дискретной по времени выборкой из непрерывного белого шума унаследовал часть свойств непрерывного, но в силу выборочности характеризуется конечной дисперсией (матрицей дисперсий). Таким образом, дискретный белый шум w(k) характеризуется:

нулевым математическим ожиданием так, что справедлива запись

Μ[w(k)]= 0 ;	(10.94)
конечной дисперсией (матрицей дисперсий с конечными
элементами)
Dw =Μ[w(k)wT (k)]=V ;	(10.95)
в силу некоррелированности отсчетов	w(k) и w(i) (при k ≠ i )

ковариационной функцией (матрицей)

185

Rw (k,i)= Μ[w(k)wT (i)]=Vδ(k,i).

(10.96)

Операция вычисления математических ожиданий стохастических дискретных последовательностей осуществляется в силу соотношения

η(k)= M [η(k)]=	1 k∑−1η(i).	(10.97)
	k i=0

Нетрудно видеть, что выражение (10.97) может быть записано в рекуррентной форме. Действительно справедлива цепочка соотношений

η(k +1)=

∑k η(i)=

k 1

.k∑−1η(i)+

η(k)=

η(k)+

η(k).

(10.98)

k +1 k

k +1

k +1i=0

i=0

Если стационарный в широком смысле стохастический дискретный процесс обладает эргодическим свойством, то операция вычисления математических ожиданий осуществляется в силу соотношений в:

суммарной форме

η = M [η(k)]= lim				1 k∑−1η(i),					(10.99)
			k→∞ k i=0
рекуррентной форме
	k			1
η = lim			η(k)+		η(k) ;η(0)= η(0).				(10.100)
η = lim			η(k)+	k +1	η(k) ;η(0)= η(0).				(10.100)
k→∞ k +1				k +1
Матрица		(функция)				спектральных		плотностей	векторной
(скалярной) стохастической переменной							( )	стационарной в широком
смысле, обладающей				матрицей ковариаций R( )(ν),					называется

бесконечный ряд Фурье от матрицы ковариаций, записываемый в виде

∞
S( )(ω) = ∑R( )(v)e− jvω∆t .	(10.101)

v=−∞

Подстановка в (10.101) выражения (10.96) для ковариационной матрицы (функции) дискретного белого шума позволяет записать для него матрицу (функцию) спектральных плотностей в форме

∞	∞					π
∞	∞
Sw (ω) = ∑Rw (v)e− jvω∆t = ∑Vδ(ν)e− jvω∆t			=V;	ω	≤		.	(10.102)


		1:ν=0				∆t
v=−∞	v=−∞	δ(ν)=
v=−∞	v=−∞	δ(ν)=
		0:ν≠0

Примечание 10.14 (ПР10.14). Проблема связи параметров N стохастических стационарных в широком смысле непрерывных и V дискретных экзогенных воздействий типа «белый шум» будет рассмотрена в следующем разделе.

186

Примеры и задачи

Построить модельные представления ИКВ, генерирующих на своих выходах воздействия:

10.1.ψ(t)= a0 + a1t + a2t2 при:

1.a0 =1;a1 =1;a2 =1;

2.a0 =1;a1 = 2;a2 = −3;

3.a0 = 2;a1 = −1;a2 = 0.5;

10.2.ψ(t)= a0 + a1eα1t при:

1.a0 =1;a1 = −1;α1 = −1;

2.a0 = 2;a1 = −1;α1 = −1;

3.a0 =1;a1 =1;α1 = −1;

10.3.ψ(t )= a0 + a1t + a2eα1t при:

1.a0 = 0;a1 =1; a2 =1;α1 = −1;

2.a0 = 0;a1 =1; a2 = −1;α1 = −1;

3.a0 =1;a1 =1; a2 = 2;α1 = −1;

4.a0 = 0;a1 =1; a2 = −1;α1 = −1;

10.4.ψ(t)= a1cosβ1t + a2 sin β2t при:

1.a1 =1;β1 =1; a2 =1;β2 =1;

2.a1 =1;β1 =1; a2 = −1;β2 =1;

3.a1 =1;β1 =1; a2 =1;β2 = 3;

4.a1 =1;β1 =1; a2 = −1;β2 = 3;

10.5.ψ(t)= a1eα1t cosβ1t + a2eα2t sin β2t при:

1. a1 =1;α1 = −3;β1 = 3; a2 = 0;α2 = 0;β2 = 0;

2. a1 =1;α1 = −2;β1 = 3; a2 = 0;α2 = 0;β2 = 0;

3. a1 =1;α1 = −1;β1 = 3; a2 = 0;α2 = 0;β2 = 0;

4.a1 =1;α1 = −1;β1 = 3; a2 =1;α2 = −2;β2 = 5;

10.6.ψ(k)= a0 + a1k + a2k 2 ;t = (∆t)k при:

1.a0 =1;a1 =1;a2 =1;∆t = 0.1С

2.a0 =1;a1 = −1;a2 =1;∆t = 0.1С

3.a0 = −1;a1 =1;a2 = −1;∆t = 0.1С

10.7.ψ(k)= a0 + a1k + a2αk ;t = (∆t)k при:

1.a0 =1;a1 =1;a2 =1;α = 0.1;∆t = 0.1С

187

2.a0 =1;a1 =1;a2 =1;α = 0.5;∆t = 0.1С

3.a0 = −1;a1 =1;a2 =1;α = 0.95; ∆t = 0.1С.

Решение вариантов задач

Решение задачи 10.2 (1)

Требуется построить модельное представление ИКВ вида

(10.13) z(t) = Ez(t) , z(0) = z(t)			t =0 ,	ψ (t) = Pψ z(t) , на выходе которого

должен формироваться		сигнал		ψ(t)=1− e−t .Этот сигнал	будет
генерироваться ИКВ (10.13) с матричными компонентами в форме
0	0	1] при начальном состоянии z(0)= [1			−1]T . ■
E =	; Pψ = [1	1] при начальном состоянии z(0)= [1			−1]T . ■
0	−1

188

11. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ОБЪЕКТЫ) ПРИ ЭКЗОГЕННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Прежде чем приступать к изложению материала, вынесенного в заголовок раздела объясним, почему в нем наряду с понятием объект появилось понятие система. Напомним, что системой называется функциональное объединение объекта управления и устройства управления, которое наделяет образованную таким образом систему необходимыми динамическими показателями качества процессов в переходном и установившемся режимах движения. Исходный объект управления, взятый в отдельности, может обладать плохими динамическими показателями и даже быть неустойчивым, поэтому ставить задачу исследования его показателей при экзогенном (внешнем) воздействии возможное, но бессмысленное занятие. Поэтому приводимый ниже материал сориентирован в основном на исследование динамических систем.

Таким образом, рассматриваются проблемы, связанные с изучением реакции динамической системы (ДС) непрерывной и дискретной по времени версий модельного представления, фиксируемой как на ее выходе, так и по вектору состояния в случае подачи на ее вход экзогенного воздействия. Полагается, что исследуемая система линейная (или локально линейная) так, что ее

векторно-матричное описание (ВМО) имеет вид

(11.1)

x(t) = Fx(t) + Gg(t), x(0) = x(t) |t=0 , y(t) = Cx(t)

для непрерывного случая и

x(k +1) = Fx(k) + Gg(k), x(0) = x(k) |k=0 , y(k) =

(11.2)

Cx(k)

для дискретного случая. В (11.1) и (11.2)

x – вектор состояния ДС,

x Rn ; g

– вектор экзогенного (внешнего)

воздействия, y

– вектор

выхода;

g, y Rm ; F,

– матрицы

состояния;

Rn×n ;G,

–

матрицы

входа; G,

Rn×m ; C,

–

матрицы

выхода; C,

Rm×n .

Непрерывное время t и дискретное k

связаны соотношением t = (∆t)k ,

где ∆t - интервал дискретности.

В разделе 9 показано, что решение системы (11.1) относительно

векторов состояния	x(t) и выхода y(t)	может быть представлено в
форме	t
x(t) = eFt x(0)	t
x(t) = eFt x(0)	+ ∫eF (t−τ )Gg(τ)dτ ,	(11.3)
	0
y(t) = CeFt x(0) +	t
y(t) = CeFt x(0) +	∫CeF (t−τ )Gg(τ)dτ .	(11.4)
	0

В свою очередь решение системы (11.2) относительно векторов состояния x(k) и выхода y(k) принимает вид

189

k−1

x(k) = F k x(0) +

(11.5)

∑F (k−1−i) Gg(i),

i=0

k −1

y(k) =

k x(0)

+ ∑

(k −1−i)

(11.6)

Gg(i) .

i=0

Из приведенных выражений (11.3) – (11.6) видно, что движения непрерывной и дискретной систем как по вектору состояния, так и по вектору выхода содержат свободные составляющие, порожденные ненулевым начальным состоянием x(0)


xсв (t) = x(t, x(0) ≠ 0) = eFt x(0),							(11.7)
yсв (t) = Cxсв (t) = CeFt x(0),							(11.8)
xсв (k) = x(k, x(0) ≠ 0) =						k x(0),	(11.9)
					F
yсв (k) =				k x(0),			(11.10)
	Cxсв (k) =	С	F

а также вынужденные составляющие, порожденные внешними воздействиями g(t) и g(k)

xв (t) = x(t, g(t), x(0) = 0)	t
xв (t) = x(t, g(t), x(0) = 0)	= ∫eF (t−τ )Gg(τ)dτ ,	(11.11)
	0

yв

xв

yв

(t) = Cxв (t) = ∫t CeF (t−τ )Gg(τ)dτ ,

(k) = x(k, g(k), x(0) = 0)

k−1

= ∑F (k−1−i) Gg(i) ,

i=0

k−1

(k) = Cxв (k) =

∑CF (k−1−i) Gg(i) .

i=0

(11.12)

(11.13)

(11.14)

Нетрудно видеть, что аналитическое вычисление вынужденных составляющих движений в непрерывной и дискретной системах с помощью выражений (11.12) и (11.14) представляет заметные трудности, так как требует необходимости взятия интеграла и формирования суммы. При этом вычисление установившихся

компонентов yу (t) и	yу (k) реакций непрерывной и дискретной ДС,
определяемых в силу соотношений
yу (t) = lim yв (t), yу (k) = lim yв (k) ,		(11.15)
t→∞	k→∞

в форме компактных аналитических выражений может оказаться достаточно сложным.

Покажем, что обнаруженные сложности аналитических представлений реакций непрерывной и дискретной динамических систем на конечномерные экзогенные (внешние) воздействия существенно сокращаются, если воспользоваться возможностями матричных уравнений Сильвестра.

190

11.1. Динамические непрерывные системы (объекты) при конечномерном экзогенном воздействии. Уравнения Сильвестра

Рассматривается непрерывная линейная система (11.1), в которой экзогенное воздействие g(t) формируется с помощью автономной

конечномерной ДС вида (10.13), имеющей ВМО вида

z(t) = Ez(t) , z(0) = z(t)

t =0 ,

g(t) = Pg z(t) .

(11.16)

Объединение

систем

(11.1)

(11.16)

образует

агрегированную

систему

с вектором

состояния

= [x

, z

задаваемую

] = col{x, z},

системой векторно-матричных описаний

(0), z

(11.17)

x(t) = Fx

(t), x(0) = [x

(0)]

~ ~

x(t)

~ ~

(11.18)

= Cx x

(t), y(t) = Cy x(t), z(t) = Cz x(t), g(t) = Cg x(t) .

Утверждение 11.1 (У11.1). Матричные компоненты ВМО (11.17)

и (11.18) имеют представления

GPg

= [In×n

= [C

0m×l ],

(11.19)

F =

, Cx

0n×l ], Cy

= [0m×n

Pg ].

□ (11.20)

Cz = [0l×n

Il×n ], Cg

Доказательство.

Сформируем

производную

вектора

(t)

состояния агрегированной системы из компонентов x(t), z(t) , тогда на основании (11.1) и (11.16) можно построить цепочку векторно-

матричных равенств

Fx(t) + Gg(t)

Fx(t) + GPg z(t)

x(t)

(t) =

0x(t) + Ez(t)

z(t)

0x(t) + Ez(t)

(11.21)

GPg x(t) ~

(t).

= Fx

z(t)

Из сравнения (11.17) и (11.21) следует справедливость первого

равенства (11.19). Запишем для

переменных x(t), y(t), z(t), g(t)

следующие представления

0][x

~ ~

x(t) = Ix(t) + 0z(t) = [I

(t), z

(11.22)

(t)]

= Cx x(t) ,

y(t) = Cx(t) + 0z(t) = [C

0][x

(t), z

~ ~

(11.23)

(t)]

= Cy x(t) ,

z(t) = 0x(t) + Iz(t) = [0

I ][x

(t), z

~ ~

(11.24)

(t)]

= Cz x(t) ,

g(t) = 0x(t) + Pg z(t) = [0

Pg ][x

(t), z

~ ~

(11.25)

(t)]

= Cg x(t).

Из (11.22) – (11.25) следуют остальные соотношения в (11.19) и

(11.20).

■

Представления

(11.17),

(11.18)

для векторов x(t) и y(t)

исследуемой динамической системы (11.1) позволяют записать

Ft~ ~

y(t)

Ft~ ~

(11.26)

x(t) = Cxe

x(0),

= Cye

(0)

191

Матрица F представляет собой блочную матрицу (11.19), матричные компоненты которой можно связать матричным уравнением Сильвестра. Для этой цели докажем утверждение.

Утверждение 11.2 (У11.2). Пусть выбором начальных состояний x(0) и z(0) обеспечивается выполнение векторного равенства

x(t) =Tz(t) t ,									(11.27)
тогда		T −(n ×l)		– матрица подобия (в общем случае					особого)
удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра
TE − FT = GPg .									□(11.28)
Доказательство утверждения строится на дифференцировании
(11.27) по времени, которое дает равенство
x(t) =Tz(t) t ,									(11.29)
и на последующей подстановке (11.27) и								(11.29) в соотношения
(11.1) для x(t) и (11.16)					для z(t) , в результате чего возникают две
цепочки векторно-матричных соотношений									(11.30)
x(t) = Fx(t) + Gg(t) = FTz(t) + GPg z(t) = (FT + GPg )z(t),									(11.30)

x(t) =Tz(t) =TEz(t) .									(11.31)
Векторно-матричные соотношения (11.30) и (11.31) делают
справедливыми матричные равенства
TE = FT + GPg TE − FT = GPg .									■(11.32)
Матричное уравнение Сильвестра (11.28) позволяет представить
матрицу F (11.19) в форме
~	F GPg			F TE − FT					(11.33)
F	=	E	=		E	.			(11.33)
	0	E		0	E
Представление				матрицы		F	вида	(12.33)	позволяет

сформулировать и доказать следующее утверждение.

Утверждение 11.3 (У11.3). Показательная (степенная) матричная

		~	~k	от	матрицы		F	вида (11.33), где k – целое
функция f (F) = F				от	матрицы		F	вида (11.33), где k – целое
положительное число представима в форме
~ k	F k		TE k − F k T
F	=	0		E k
		0		E k	.			(11.34)
Доказательство утверждения строится на непосредственном
вычислении целых степеней матрицы								F путем их перемножения. В
результате получим
~1	~	F	TE − FT
F	= F =			E	;
		0		E
~2	~~	F	TE − FT F			TE − FT		=
F	= FF	=		E		E		=
		0		E	0	E

192

FTE − F

− F

;

T + TE

− FTE

= F

F 2

TE2 − F

2T F TE − FT

F =

F 3

F 2TE − F

3T +TE3 − F 2TE =

F 3

TE3 − F 3T ;

База индукции сформирована, поэтому для искомой матричной

функции

можно записать

f (F) = F

~k−1

F k−1

TEk−1 − F k−1T F TE − FT

= F

k−1

■(11.35)

F k

F k−1TE − F kT + TEk − F k−1TE

F k

TEk

− F kT

Примечание 11.1 (ПР11.1). Нетрудно видеть, что положения утверждения 11.3 позволяют сделать следующее обобщение. Если

матричная функция от матрицы f (F) представляет собой степенной конечный или бесконечный ряд по целым положительным степеням

~	F GPg			F TE − FT			, то оказывается справедливым
матрицы F	=	0	E	=	0	E

представление
~	f (F)		Tf (E) − f (F)T
f (F) =		0	f (E)	.	(11.36)

Представление (11.36) матричной степенной функции от матрицы делает справедливыми положения следующего утверждения.

Утверждение

11.4

(У11.4). Матричная экспонента

матрица

F GPg

F TE − FT

имеет вид

− e

eFt

= e

eEt

Если в (11.22) – (11.24) подставить (11.26), в

использовать

(11.37),

то

получим

для

переменных x(t

представление

eFt , где

□■(11.37)

котором

), y(t), z(t)

x(t) = eFt x(0) + (TeEt − eFtT )z(0) =TeEt z(0) + eFt (x(0) −Tz(0));	(11.38)
y(t) = CeFt x(0) + C(TeEt − eFtT )z(0) = CTeEt + CeFt (x(0) −Tz(0));	(11.39)
z(t) = eEt z(0).	(11.40)

193

Анализ выражений (11.38) – (11.40) позволяет получить представления всех компонентов движения системы (11.1) при конечномерном экзогенном воздействии на ее входе.

Вынужденные составляющие движения по состоянию, выходу и ошибке ε(t) = g(t) − y(t)

xв (t) = x(t, g(t), x(0) = 0) = x(t, z(0) ≠ 0, x(0) = 0) =TeEt z(0) −eFtTz(0);			(11.41)
yв (t) = Cxв (t) = CTeEt z(0) − CeFtTz(0);			(11.42)
ε		(t) = (P − CT )eEt z(0) + CeFtTz(0).
	в
		g

Установившиеся составляющие движения по состоянию, выходу и ошибке

xу		(t) = lim xв (t) =TeEt z(0);							(11.43)
		t→∞
y	у	(t) = Cx	у	(t) = CTeEt z(0);ε	у	(t) = g(t) − y		у	(t) = (P − CT )eEt z(0). (11.44)
	у		у		у			у	g
		Переходные составляющие движения по состоянию, выходу и
ошибке
		xпер(t) = xу(t) − xв(t) = eFtTz(0),					yпер(t) =Cxпер(t)=CeFtTz(0) = −εпер(t). (11.45)

Из сравнения представлений (11.40) и (11.43) становится понятным математическое «содержание» матрицы T , состоящее в том, что она представляет собой матрицу подобия между процессами по вектору состояния источника конечномерного экзогенного воздействия (ИКЭВ) и установившейся составляющей вектора состояния исследуемой динамической системы так, что устанавливаются соотношение

xу (t) =TeEt z(0) =Tz(t).

(11.46)

Если обратиться к общему решению (11.38) для x(t) , то из н его

можно видеть, что соотношение (11.46) устанавливаются с начального момента t = 0, если начальные соотношения подчинить условию

x(0) =Tz(0).

Таким образом, для вычисления реакции непрерывной линейной системы (11.1) на произвольное конечномерное экзогенное воздействие можно воспользоваться приводимым ниже алгоритмом.

Алгоритм 11.1 (А11.1)

1.Построить векторно-матричное описание непрерывной системы (11.1) с матрицами (F,G,C);

2.Построить векторно-матричное описание источника экзогенного конечномерного воздействия (11.16) с матрицами (Е,Pg);

3.Решить аналитически или численно матричное уравнение Сильвестра (11.28) относительно матрицы подобия T;

194

4. С помощью соотношений (11.41) – (11.45) решить задачу анализа реакции непрерывной системы на конечномерное экзогенное воздействие.

Остановимся теперь на ситуации, когда ИКЭВ формирует

типовые экзогенные воздействия, ограничившись случаями ступенчатого и гармонического экзогенных воздействий. Первое типовое воздействие используется для оценки динамических свойств

исследуемой ДС по кривой переходного процесса, второе – по амплитудным частотным характеристикам.

Случай 11.1 (Сл11.1) ступенчатого экзогенного воздействия

характеризуется матрицами E и Pg

модельного представления ИКЭВ

(11.16) в силу (11.19), имеющими вид

E = [0m×m ],

Pg = [Im×m ].

(11.47)

Подстановка матриц вида(11.47) в уравнение Сильвестра (11.28)

дает

− FT = G , что позволяет для матрицы T записать

T = −F −1G.

(11.48)

Матрицы E вида (11.47)

и T вида (11.48) дают для матричной

экспоненты eFt , записанной в форме (11.37) представление

eFt = e

− e

= e

− I )F

−1

(11.49)

G .

eEt

Подстановка матричной экспоненты вида (11.49) и выделение из полного движения вынужденной составляющей по вектору состояния и

выхода исследуемой системы дает
xв (t) = (eFt − I )F −1Gz(0) = H x (t)z(0); z(0) = argmin(				z(0)	=1),	(11.50)
xв (t) = (eFt − I )F −1Gz(0) = H x (t)z(0); z(0) = argmin(				z(0)	=1),	(11.50)
yв (t) = Cxв (t) = C(eFt − I )F −1Gz(0) = CH x (t)z(0) = H y (t)z(0).						(11.51)
В выражениях (11.50) и (11.51) матрицы
Hx (t) = (eFt − I )F −1G и H y (t) = C(eFt − I )F −1G = CH x (t),						(11.52)
представляют	собой	матричные	переходные		функции

соответственно по состоянию и выходу. Если возникает необходимость скаляризации задачи, состоящей в исследовании динамических свойств (i, j)−го сепаратного канала ДС, связывающего i −й выход yi (t) с j − м

входом g j (t) , то в этом случае в переходной матрице			по выходу
H y (t) = H (t) (или просто в переходной матрице) выделить (i, j)−й
элемент
Hij (t) = Ci (eFt − I )F −1G j (i, j =		),	(11.53)
	1,m

где Ci ,G j −соответственно i −я строка матрицы выхода C и j − й

столбец матрицы входаG.

Скаляризация векторных процессов в системах типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) строится с

195

помощью мажорант и минорант, являющихся для t максимальным и минимальным сингулярными числами переходной матрицы H (t).

Случай 11.2 (Сл11.2) гармонического экзогенного воздействия характеризуется матрицами E и Pg модельного представления ИКЭВ

(11.16) в силу (10.26), имеющими вид

= diag{P

E = diag

, P

= [1 0]; j =1,m}(11.54)

; j =1,m

−ωj

Прежде, чем формировать аналитическое представление реакции динамической системы на гармоническое воздействие следует заметить, что частотные методы применяются для исследования установившихся составляющих движения системы, которые для векторов состояния и выхода имеют соответственно вид (11.43) и (11.44), в которых требуется вычислить матрицу T из решения

матричного уравнения Сильвестра(11.28) и матричную экспоненту eEt . Для решения уравнения Сильвестра (11.28) с матричными

компонентами вида (11.54) запишем его в столбцовой форме

TEρ − FTρ

= GPgρ ;ρ = 1,2m.

(11.55)

Выделим

(11.55)

по два

соседних столбца

с индексами

ρ = 2 j −1, ρ = 2 j ( j =1,m)

в составе каждой из правых матриц E,T, Pg .

Тогда с учетом структуры (11.54)

матриц

для

смежных

столбцов T2 j−1,T2 j матрицы T получим два уравнения Сильвестра

−T2 jωj

− FT2 j−1 = G j , T2 j−1ωj

− FT2 j = 0.

(11.56)

Решение системы (11.56) относительно фрагмента матрицы T ,

составленного из двух смежных столбцов принимает вид

]= −(ω2I + F 2 )−1[F

; j =

(11.57)

−1

1,m

2 j

Матрица T , как решение матричного уравнения Сильвестра

(12.28) в итоге принимает вид

T = row{[T

]; j =

}= −row{(ω2I + F 2 )−1[F

I]G

; j =

(11.58)

1,m

2 j−1

2 j

Отметим, что результат (11.58) получен для разночастотного случая гармонических экзогенных воздействий, подаваемых на входы динамической системы МВМВ - типа, если же режим воздействия

одночастотный так, что ωj =ω,( j =1,m) , в этом случае матрица T принимает вид

T = −(ω2 I + F 2 )−1[F ωI ]G.

(11.59)

Матричная экспонента eEt для источника разночастотного гармонического воздействия в силу (10.28) записывается в форме

196

T (ω)

eEt = exp(Et) = diag

cos(ω

sin(ω

;

, (11.60)

eE jt =

j =1, m

−sin(ωjt) cos(ωjt)

для источника одночастотного

гармонического

воздействия

принимает вид (11.60), в котором следует положить ωj =ω, ( j =1,m) .

В итоге для

векторов

состояния x(t) , выхода y(t)

ошибки

ε(t)для разночастотного

одночастотного гармонического

воздействий соответственно можно записать

x(t) = Tz(t) = TeEt z(0) =

cos(ω

sin(ω

ωj I

;

= − row{(ω2j I + F 2 )−1[F

]G j }diag

−sin(ωjt)

cos(ωjt)

j =1,m z(0);

x(t) = −(ω2 I + F 2 )−1[F

ωI ]G diag eEt j

cos(ωt)

sin(ωt) ;

j =

;

1,m

−sin(ωt)

cos(ωt)

y(t) = Cx(t) = CTz(t) = CTeEt z(0), ε(t) = (P −CT )z(t).

(11.61)

Завершая

рассмотрение

проблемы

конструирования

аналитического представления реакции динамической непрерывной системы (11.1) в общем случае МВМВ – типа следует заметить, что в силу (11.46) матрицы T (ω) , CT (ω) и (P − CT (ω)) выполняют функции

передаточных матриц (функций) для случая вещественного гармонического экзогенного воздействия.

Скаляризация векторных процессов в системах МВМВ-типа строится с помощью мажорант и минорант, являющихся для ω максимальным и минимальным сингулярными числами передаточных матриц и CT (ω) .

11.2. Динамические дискретные системы (объекты) при конечномерном экзогенном воздействии. Уравнение Сильвестра

Рассматривается линейная дискретная система (11.2), в которой экзогенное воздействие g(k) формируется с помощью автономной

конечномерной ДС вида (10.37), имеющей ВМО вида
z(k +1) = Ez(k); z(0) = z(k) k =0 ; g(k) = Pg z(k)	(11.62)

Построение аналитического представление реакции дискретной системы (11.2) опирается на возможности матричного уравнения Сильвестра и строится по той же схеме, что и в случае непрерывных ДС. В связи со сказанным процедуру формирования аналитического представления реакции дискретных динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия представим конспективно в виде алгоритма 11.2.

197

Алгоритм 11.2(А11.2)

1. Формирование векторно–матричного описания (11.2) исследуемой дискретной системы с матрицами (F,G,C);

2. Формирование векторно-матричного описания (10.62) источника дискретного конечномерного экзогенного воздействия с

матрицами (E, Pg );

3.Формирование агрегированной автономной дискретной

системы

(k );

(k +1)= Fx(k); x(k) = Cx x(k); y(k) = Cy x(k); z(k) = Cz x

(11.63)

ε(k)

(k) = Cg x(k);

= Cε x(k ),

где

x(k) = [x

(k)

(k)]

; F

;Cx = [I

0]; Cy = [C 0];

(11.64)

= [−C P g ]

Cz = [0

I ];Cg

= [0 Pg ];Cε

позволяющей

для

агрегированного вектора

состояния x(k)

записать

(11.65)

x(k)

= F

x(0);

4. Введение априорной «гипотезы» о соблюдении векторного

подобия

x(k)=

z(k), k ≥ 0,

(11.66)

где T – (n ×l)- матрица подобия;

5. На основе (11.2), (11.62) и (11.66) установление того, что матрица T удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра вида (11.28), записываемого для дискретного случая в форме

−

T =

;

(11.67)

6. Представление матрицы

вида (11.64) на основе уравнения

Сильвестра (11.67) в форме

T E − FT

= F

Pg =

;

(11.68)

7. С использованием положений утверждения 11.3 представление

в блочной матричной форме

показательной (степенной) функции F

k −

;

(11.69)

8. Формирование аналитических представлений векторных переменных исследуемой дискретной системы (11.2) и источника дискретного конечномерного экзогенного воздействия (11.62) с

198

использованием векторно-матричных зависимостей (11.63), (11.64) на основе показательной функции (11.69) в форме:

x(k)= F

− F

x(0)+ T E

T z(0),

y(k)= Cx(k)= CF

− F

x(0)+ C T E

T z(0),

(11.70)

z(k)= Ek z(0), g(k)= Pg Ek z(0),

ε(k)= g(k)− y(k)= (Pg −CT )Ek z(0)+ CF k (x(0)−T z(0)).

9.На основе полных представлений векторных переменных задачи

вформе (11.70) построение аналитических описаний:

Вынужденныx составляющих по состоянию, входу и ошибке

(11.71)

xв (k) = x(k, g(k), x(0) = 0) = x(k, z(0) ≠ 0, x(0) = 0) =T

Ez(0) − FTz(0);

(k) =

k z(0)

−

(k)

−

)

k z(0) +

(11.72)

Tz(0), ε

Tz(0).

Установившихся составляющих по состоянию, выходу и ошибке

xу

k z(0);

(11.73)

(k) = lim xв (k) =T

k→∞

(k) =

k z(0), ε

(k) = (

−

)

k z(0).

(11.74)

Переходных составляющих по состоянию, выходу и ошибке

xпер(k) = xу(k) − xв(k) =

xпер(k)=

Tz(0), yпер(k) =

Tz(0) = −εпер(k).

Из сравнения представлений

для

xу (k) (11.73) и z(k) (11.70)

становится понятным математическое «содержание» матрицы T , состоящее в том, что она представляет собой матрицу подобия процессов по вектору состояния в источнике конечномерного дискретного экзогенного воздействия (ИКДЭВ) и установившейся составляющей вектора состояния исследуемой дискретной динамической системы так, что устанавливаются соотношения

xу (k) = TE k z(0) = Tz(k).

Как и в случае непрерывных систем, остановимся теперь на ситуации, когда ИКДЭВ формирует типовые дискретные экзогенные воздействия, ограничившись случаями: ступенчатого и гармонического дискретных экзогенного воздействий. Первое типовое воздействие используется для оценки динамических свойств исследуемой ДС по кривой переходного процесса, второе – по амплитудным частотным характеристикам.

Случай 11.3 (Сл11.3) ступенчатого дискретного экзогенного

воздействия характеризуется матрицами		и Pg модельного
	E
представления ИКДЭВ (12.62) в силу (11.45), имеющими вид
E = [Im×m ], Pg = [Im×m ].		(11.75)

199

Подстановка матриц вида (11.75) в уравнение Сильвестра (11.67)

дает

−

= G , что позволяет для матрицы T

записать

= (I −

)−1

(11.76)

Матрицы

вида (11.76) дают для степенной

вида (11.75) и T

матричной функции F

, записанной в форме (11.69) представление

−1

F k =

(I − F

)(I − F )

(11.77)

E k

Подстановка матричной степенной функции вида (11.77) и выделение из полного движения вынужденной составляющей по

вектору состояния и выхода исследуемой системы дает

xв(k) = (I −

k )(I −

)−1

z(0) =

x (k)z(0);z(0) = argmin(

z(0)

=1),

(11.78)

yв(k) =

xв(k) =

(I −

k )(I −

)−1

z(0) =

x (k)z(0) =

y (k)z(0).(11.79)

В выражениях (11.78) и (11.79) матрицы

x (k) = (I −

k )(I −

)−1

(11.80)

y (k) = (I −

k )(I −

)−1

x (k)

(11.81)

представляют собой соответственно матричные переходные функции по состоянию и выходу дискретной системы (11.2) Если возникает необходимость скаляризации задачи, состоящей в исследовании динамических свойств (i, j)−го сепаратного канала

дискретной ДС, связывающего i −й выход yi (k) с j − м входом g j (t) ,

то в этом случае в переходной матрице по выходу H y (k) = H (k) (или
просто в переходной матрице) выделить (i, j)−й элемент
Hij (k) = C i (I − F k )(I − F )−1G j ;(i, j =1,m),	(11.82)

где C i ,G j −соответственно i −я строка матрицы выходаC и j − й

столбец матрицы входа G.

Глобальная скаляризация векторных процессов в системах типа «многомерный вход – многомерный выход» строится с помощью мажорант и минорант, являющихся для k максимальным и

минимальным сингулярными числами переходной матрицы H (k).

Случай 11.4 Сл11.4) гармонического дискретного экзогенного воздействия характеризуется матрицами E и Pg модельного

представления ИКДЭВ (11.62) в силу (10.49) – (10.50), имеющими вид


		cos(ω		∆t)		sin(ω	∆t)

			j			j		; j =
E = diag E j =			− sin(ωj ∆t)			cos(ωj ∆t)


Pg = row{	Pgj = [1		0]; j =			}.
					1,m

1,m ,

(11.83)

(11.84)

200

Прежде, чем формировать аналитическое представление реакции динамической системы на дискретное гармоническое воздействие следует заметить, что частотные методы применяются для исследования установившихся составляющих движения системы, которые для векторов состояния и выхода имеют соответственно вид

(11.73) и (11.74), в которых требуется вычислить матрицу T из решения матричного уравнения Сильвестра (11.67) и матричную

показательную функцию E k .

Для решения уравнения Сильвестра (11.67) с матричными компонентами вида (11.83), (11.84) запишем его в столбцовой форме

TEρ − FTρ = GPgρ ;ρ = 1,2m.		(11.85)
Выделим в (11.85)	по	два соседних столбца с индексами
ρ = 2 j −1, ρ = 2 j ( j =1,m)	в	составе каждой из правых матриц

E,T , Pg . Тогда с учетом структуры (11.83), (11.84) матриц E и Pg для

смежных

столбцов T2 j−1,T2 j

матрицы T

получим два

уравнения

Сильвестра

(cos(ωj ∆t)I −

)T2 j−1 − sin(ωj ∆t)T2 j = G j

(11.86)

sin(ωj ∆t)T2 j−1 + (cos(ωj ∆t)I −

)T2 j = 0.

Решение системы (11.86) относительно фрагмента матрицы T ,

составленного из двух смежных столбцов принимает вид

]= (I − 2

cos(ω

∆t)+

2 )−1[cos(ω

∆t)I −

−sin (ω

∆t)I]

; j =

1,m

2 j −1

2 j

(11.87)

Матрица T как решение матричного уравнения Сильвестра (11.67) в итоге принимает вид

T = row{[T2 j−1 T2 j ]; j =1,m}=

= row{(I − 2F cos(ωj∆t)+ F 2 )−1[cos(ωj∆t)I − F −sin (ωj∆t)I ]Gj ; j =1,m}.

(11.88)

Отметим, что результат (11.88) получен для разночастотного случая дискретных гармонических экзогенных воздействий на входы дискретной динамической системы (11.2) МВМВ – типа, если же

режим воздействия одночастотный так,

что ωj =ω,( j =1,m) ,

то

принимает вид

матрица T

= (I − 2

cos(ω∆t)+

2 )−1[cos(ω∆t)I −

− sin (ω∆t)I ]

(11.89)

Теперь

вычислим показательную матричную функцию

k .

Для

источника разночастотного дискретного гармонического воздействия

в	силу (10.28) путем замены в нем t = (∆t)k и представления
eEt	= (eE(∆t ))k =		k получим
		E

201

	cos(ω			(∆t)k)
			j
E k = diag E jk =		− sin(ωj (∆t)k)
		− sin(ωj (∆t)k)

В итоге для векторов состояния

sin(ω	j	(∆t)k)

					. (11.90)
cos(ωj (∆t)k)			; j =1,m


x(k) , выхода y(k)				и ошибки ε(k)

в установившемся режиме для разночастотного дискретного

гармонического воздействия можно записать

x(k) = TE k z(0), y(k) = CTE k z(0),ε(k) = (P −CT )E k z(0), (11.91)

где T принимает вид (11.88), а E k - (11.90).

Завершая рассмотрение проблемы конструирования аналитического представления реакции динамической дискретной

системы (11.2) в общем случае МВМВ – типа, следует заметить, что
матрицы T (ω) , CT (ω) и(Pg − CT (ω))	выполняют функции

передаточных матриц (функций) для случая вещественного гармонического экзогенного воздействия, максимальные и минимальные сингулярные числа этих матриц как функции частоты задают мажоранты и миноранты соответствующих амплитудных частотных характеристик.

11.3* Динамические непрерывные системы (объекты) при стохастическом экзогенном воздействии. Уравнение Ляпунова

Рассмотрим непрерывную динамическую систему (11.1), экзогенное воздействие g(t) на входе которой принимает смысл v(t) –

стационарного в широком смысле стохастического воздействия так,

что (11.1) имеет вид

x(t) = Fx(t) + Gv(t), x(0) = x(t) \|t=0 , y(t) = Cx(t) .	(11.92)

Ставится задача исследовать установившиеся стохастические процессы в динамической системе вида (11.92) по векторам состояния,

выхода и ошибки на предмет формирования их матриц дисперсий, ковариаций и спектральных плотностей при стохастических экзогенных воздействий стационарных в широком смысле типа

«белый» и «окрашенный» шумы».

Пусть v(t)= w(t), где w(t)- «белый шум» стационарный в широком смысле с нулевым средним значение M [w(t)]= w = 0, тогда решение системы (11.92) примет вид

x(t)= eFt x(0)+ ∫t eF (t−λ)Gw(λ)dλ .

Применим к полученному интегральному выражению оператор вычисления математического ожидания, тогда получим

202

M [x(t)]= M [eFt x(0)]+ M ∫t eF (t−λ)Gw(λ)dλ		= eFt M [x(0)]+ ∫t eF (t−λ)GM [w(λ)]dλ.
0			0
В силу M [w( )]= w = 0	последнее выражение		можно записать в
эквивалентной форме
x(t)= eFt x(0).

Теперь становится справедливой запись для центрированного стохастического процесса по вектору состояния

x(t)− x(t)= eFt (x(0)− x(0))+ ∫t eF (t−λ)Gw(λ)dλ.	(11.93)
0
В свою очередь (x(σ )− x(σ ))T принимает вид
(x(σ )− x(σ ))T = (x(0)− x(0))T eFTσ + σ∫wT (µ)GT eFT (σ −µ)dµ .	(11.94)
0
Сформируем на векторах (x(t)− x(t))и (x(σ )− x(σ ))T	матрицу

(x(t) − x(t))(x(σ) − x(σ))T , для которой на основании (11.93),			(11.94)
получим
(x(t) − x(t))(x(σ) − x(σ))T = eFt (x(0)− x(0))(x(0)− x(0))T eF T σ
	t	σ
+ eFt	∫e−FλGw(λ)(x(0) − x(0))T dλeFTσ + eFt ∫(x(0) − x(0))wT (µ)GT e−FT µ dµ +
	0	0
	t	σ
+ eFt	∫e−Fλdλ∫eFλGw(λ)wT (µ)GT e−FT µ dµ eFTσ .		(11.95)
	0	0
	Применим к (11.95) оператор вычисления математического
ожидания, тогда получим выражение
M [(x(t)− x(t))(x(σ )− x(σ ))T ]= Rx (t,σ) = eFt M [(x(0)− x(0))(x(0)− x(0))T ]eFTσ +
	t
+ eFt	∫e−FλGM [w(λ)(x(σ )− x(σ ))T ]dλeFTσ +
	0
+ eFt σ∫M [(x(0)− x(0))wT (µ)]GT e−FT µ dµ +
	0
	t	σ
+ eFt	∫dτ ∫e−FλGM [w(λ)wT (µ)]GT e−FT µ dµeFTσ .		(11.96)
	0	0

Свойства стационарного в широком смысле «белого шума» w(t), в

том числе его некоррелированность со стохастическим вектором начального состояния x(0) позволяют записать

Dx (0)=Μ[(x(0) − x0 )(x(0) − x0 )T ]=Dx(0); M [w(λ)wT (µ)]= Nδ(λ,µ) ,
M [(x(0) − x(0))wT (µ)]= 0;	M [w(τ)(x(0) − x(0))T ]= 0 . (11.97)

Соотношения (11.97) позволяют выражение (11.96) записать в форме

203

R	(t,σ) = eFt D eFT σ	t	σ		=
		+ eFt ∫ dλ		∫ e−FλGNδ (λ, µ)GT e−FT µ dµ eFTσ
x	x(0)	0	0

		t
= eFt Dx(0)eFT σ + eFt ∫e−FλGNGT e−FT λdλeFT σ .					(11.98)
		0
	Осуществим в	(11.97)		переход к матрице дисперсии

Dx (t)= Rx (t,σ )|σ =t , тогда для нее получим интегральное представление

t
Dx (t)= eFt Dx(0)eFT t + eFt ∫e−FλGNGT e−FT λ dλeFT t .	(11.99)

Продифференцируем по переменной t левую и правую части соотношения (11.99), в результате получим дифференциальное представление для матрицы дисперсий

	Ft	(e	−Ft	T −FT t	)e	FT t	T
				GNG e			+ Dx (t)F = FDx (t)+
Dx (t)= FDx (t)+ e								(11.100)
+ (GNGT )+ Dx (t)FT = FDx (t)+ Dx (t)FT							+ (GNGT ), Dx (0)= Dx(0).

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение (11.100) относительно матрицы Dx (t) в установившемся режиме для случая,

когда матрица F системы является «устойчивой». Для него оказываются справедливыми два предельных соотношения

lim Dx (t)= Dx ,		(11.101)
lim Dx (t)= Dx ,	lim Dx (t)= 0.	(11.101)
t→∞	t→∞

Подстановка второго равенства (11.101) в ( 11.100) позволяет для установившегося значения Dx матрицы дисперсий вектора состояния

исследуемой системы (11.92), ко входу которого приложено стохастическое воздействие стационарное в широком смысле типа «белый шум» с матрицей интенсивностей N , записать

FDx + Dx FT = −GNGT .						(11.102)
Таким	образом,		доказана		справедливость	следующего
утверждения.
Утверждение		11.5		(У11.5).	Установившееся	значение Dx
матрицы дисперсий		Dx (t)		вектора	состояния x(t) системы (11.92)

возбуждаемой экзогенным стохастическим воздействие стационарным в широком смысле типа «белый шум» w(t) с матрицей интенсивностей

N , может быть вычислена как решение уравнения Ляпунова

(11.102).□■

Примечание 11.2 (ПР11.2).Нетрудно видеть, что оказываются справедливыми соотношения

Ry (t,σ) = M [y(t)yT (σ)]= M [Cx(t)xT (σ)CT ]= CRx (t,σ)CT ,		. (11.103)
Dy = M [y(t)yT (t)]= Ry (t,σ)	t =σ = CDxCT

Более того, сравнение выражений (11.97) и ( 11.98) делает справедливыми представления для матриц ковариаций по состоянию и выходу системы

204

Rx (

) = eF

Dx = DxeFT

σ − t

(11.104)

Ry (

) = CeF

DxCT = CDxeFT

CT .

(11.105)

Пусть теперь v(t)=ξ(t), где ξ(t)

– стационарное в широком

смысле стохастическое экзогенное воздействие типа «окрашенный шум». «Окрашенный шум» ξ(t) формируется фильтром (ФФ),

имеющим векторно-матричное описание
zф(t) = Γфzф(t) + Gфw(t); ξ(t) = Pфzф(t),	(11.106)

где zф Rlф , ξ Rm .

Если объединить систему (11.92), где g(t) =ξ(t) и ФФ (11.106) в единую агрегированную систему, то рассматриваемый случай сводится

к предыдущему,

когда

g(t) = w(t) .

Для этого введем в рассмотрение

= [x

составной вектор x

zф

] , относительно которого можно записать

(0)

= [x

(0)

(11.107)

x = Fx(t) + Gw(t); x

] ,

~ ~

;

(11.108)

x(t) = Cx x(t)

; y(t) = Cy x(t)

ε(t) = Cε x(t)

~ ~

(11.109)

zф = Сz x(t) ;

ξ(t) = Cξ x(t) ,

где

GPФ

(11.110)

F =

ΓФ

, G =

Gф

= [I

0],

= [− C

PФ ],

(11.111)

Сx

Cy = [C

0], Cε

= [0

I ],

= [0

PФ ].

(11.112)

Сz

Cξ

Нетрудно видеть, что системой соотношений (11.107) – (11.111) задача исследования процессов в системе (11.92) при внешнем стохастическом воздействии типа «окрашенный шум» свелась к исследованию процессов в расширенной системе (11.107) при внешнем стохастическом воздействии типа «белый шум» w(t). Тогда

оказываются справедливыми матричные уравнения
~		~~		~	~T	~	~T	~
Dx (t) = FDx (t) + Dx (t)F						+ GNG		; Dx (0) ,
~		~ ~T			~ ~	~T	Dε	~ ~ ~T	,
Dx = Cx DxCx ; Dy					= Cy DxCy ;		Dε	= Ce DxCε	,
	~ ~ ~T		Dξ		~ ~	~T
Dzф = Cz DxCz ;			Dξ		= Cξ DxCξ ,
		~	~
		= M [x(t)x		T	(t)].
где Dx				T
где Dx
Если		(11.110)		имеется		установившееся			решение

(11.113)

(11.114)

(11.115)

~ , то оно

удовлетворяет алгебраическому матричному уравнению типа Ляпунова
~~	~ ~T	~	~T	.	(11.116)
FDx + Dx F		= −GNG

По аналогии с (11.104) и (11.105) могут быть сформированы матрицы ковариаций по всем векторам составной системы

205

~	F~τ ~ ~T	, τ ≥ 0 ,	(11.117)
Rx (τ) = Cxe	DxCx
~	F~τ ~ ~T	, τ ≥ 0 ,	(11.118)
Ry (τ) = Cye	DxCy
~	F~τ ~ ~T	, τ ≥ 0 ,	(11.119)
Rε (τ) = Cε e	DxCε
~	F~τ ~ ~T	, τ ≥ 0 ,	(11.120)
Rz (τ) = Cze	DxCz
~	F~τ ~ ~T	, τ ≥ 0 .	(11.121)
Rξ (τ) = Cξ e	DxCξ

Полученные соотношения (11.113) – (11.121) полностью решают задачу исследования процессов в стационарной многомерной непрерывной системе (11.92) при внешнем стохастическом воздействии ξ(t) типа «окрашенный шум». При этом матричное

описание процесса свелось к решению дифференциального и алгебраического матричных уравнений типа Ляпунова. Следует заметить, что решение матричных уравнений (11.113), (11.114), а также (11.116) может быть использовано для изучения управляемости системы (11.92). Очевидно, система (11.92) является полностью управляемой, если матрицы дисперсий Dx (t) , t или Dx являются

невырожденными.

Рассмотрим теперь проблемы, связанные с конструированием матриц спектральных плотностей переменных системы (11.92).Следует заметить, что в силу определения матрица S( )(ω) спектральных

плотностей переменной ( )(t) вычисляется с помощью (10.88), которое будем использовать записанным в форме

S( )(ω )=	0	∞
S( )(ω )=	∫ R( )(−τ)e− jωτ dτ + ∫ R( )(τ)e− jωτ dτ .		(11.122)
	−∞	0

Сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 11.6 (У11.6). Для динамической системы вида (11.92) при стохастическом экзогенном воздействии v(t) стационарном

вшироком смысле типа «белый шум» w(t) или «окрашенный шум»

ξ(t) матрицы Sx (ω) спектральных плотностей вектора состояния x(t) и

Sy (ω) спектральных плотностей вектора	выхода y(t)	задаются
выражениями
Sx (ω) = −2F(F 2 +ω2I)−1 Dx ,		(11.123)
Sy (ω) = CSx (ω)CT = −2CF(F 2 + ω2 I)−1 DxCT .		(11.124)
Доказательство утверждения строится на непосредственном
вычислении (11.122), где переменная ( )(t)	принимает смысл x(t) и
y(t). Тогда при вычислении матрицы Sx (ω)	спектральных плотностей
вектора состояния x(t) с учетом представления (11.104)		матрицы
ковариаций, которое можно записать в форме
Rx (−τ )= e−Fτ Dx ,τ ≤ 0;Rx (τ )= eFτ Dx ,τ ≥ 0,		(11.125)
получим

206

Sx (ω )=	0	∞	0	∞
	∫e−Fτ Dxe− jωτ dτ + ∫eFτ Dxe− jωτ dτ =		∫e−(F + jω I )τ Dx dτ + ∫e(F − jω I )τ Dx dτ =
	−∞	0	−∞	0	}Dx .
= −(F + jω I)−1(I −0)Dx + (F − jω I)−1(0 − I )Dx = −{(F + jω I)−1 + (F − jω I)−1

В полученном выражении неявно присутствующую единичную матрицу I слева от матрицы Dx представим в эквивалентной форме

I = (F 2 + ω2 I )(F 2 + ω2 I )−1 = (F + jω I)(F − jω I)(F 2 + ω2 I )−1 ,

что позволяет для матрицы Sx (ω)							спектральных плотностей вектора
состояния x(t) записать
Sx (ω)= −2F(F 2 + ω2 I )−1 Dx .								(11.126)
В свою очередь,					в силу ( 11.103),		(11.105) и (	11.126) оказываются
справедливыми соотношения
R	y	(τ) = CR	(τ)CT ,
		x				}= CF{R (τ)}CT = CS(ω)CT .
S	y	(ω)= F{R	y	(τ) = CR (τ)CT
					x		x
Sy (ω)= CS(ω)CT = −2CF(F 2 + ω2 I )−1 DxCT .								■(11.127)

Примечание 11.3 (ПР11.3). Если возникает необходимость вычислить матрицу Sε (ω)спектральных плотностей вектора ошибки

ε(t), то следует иметь в виду, что это возможно только для случая

экзогенного стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа «окрашенный шум». В этом случае матрица Sε (ω)

строится по схеме формулы (11.127) с заменой всех его компонентов вида ( ) на компоненты вида ( ), в результате чего искомая матрица

принимает вид

~ ~ ~2	+ ω	2	−1	~ ~ T	.	(11.128)
Sε (ω)= −2Cε F(F	+ ω		I )	DxCε	.	(11.128)

11.4* Динамические дискретные системы (объекты) при стохастическом экзогенном воздействии. Уравнение Ляпунова.

Рассмотрим дискретную систему (11.2), возбуждаемую стохастическим экзогенным дискретным воздействием g(k)= v(k)

стационарным в широком смысле так, что система (11.2) получает представление

x(k +1) =	F	x(k) +					(11.129)
			Gv(k), x(0) = x(k) \|k =0 , y(k) = Cx(k) .

Как и в непрерывном случае, сначала рассмотрим реализацию v(k) в форме дискретного «белого шума» w(k), а затем – в форме

дискретного «окрашенного шума». Проблему вычисления показателей реакции дискретной динамической системы вида (11.129) на перечисленные дискретные экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия будем решать, опираясь на

207

результаты решения подобной задачи для непрерывного случая, которые изложим в конспективной форме.

Сформулируем основные результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 11.6 (У11.6). Рассмотрим векторные дискретные процессы по состоянию и выходу, являющиеся решением линейного

стохастического	векторно-матричного уравнения (11.71) при
v(k)= w(k), где	w(k) – дискретная последовательность векторных

стохастических величин, именуемая дискретным “белым шумом”,

характеризующаяся нулевым средним значением

Μ[w(k)]= 0 ,

(11.130)

некоррелированностью отсчетов w(k) и w(i) так, что выполняется соотношение

Rw (k,i)= Μ[w(k)wT (i)]=Vδ (k,i),

где δ(k,i) – символ Кронекера, принимающий значение «1» при k = i и значение «0» при k ≠ i , и следовательно матрицей дисперсий

Dw =Μ[w(k)wT (k)]=V ;

(11.131)

при x(0) – векторе начального состояния процесса (13.129) таком,

что

Μ[x(0)]= x(0) , Dx (0)=Μ[(x(0) − x(0))(x(0) − x(0))T ]=Dx(0).

(11.132)

Тогда

математическое ожидание

(k)=Μ[x(k)] и

матрица

дисперсийDx (k) вектора x(k)

Dx (k) = M

[(x(k) −

(k))(x(k) −

(k))T ]

(11.133)

удовлетворяет соотношениям

x(k) =

k x(0),

(11.134)

Dx (k +1) =

T , Dx (0) =Dx(0).

(11.135)

FDx (k)

Доказательство. Сначала докажем справедливость (11.134), для

чего к

свободной составляющей

движения

системы

(11.129)

x(k)=

k x(0)

применим

оператор

вычисления

математического

ожидания.

результате

получим

M [x(k)]=

k M [х(0)],

имеющего

эквивалентное представление в форме (11.134), заметим при этом, что оказывается справедливым соотношение x(k +1)= Fx(k).

Для доказательства справедливости (11.135) сначала на основании

(11.129)) составим выражения

x(k +1)− x(k +1)= F (x(k)− x(k))+ Gw(k), x(0)− x(0),

(x(k +1) − x(k +1))T = (x(k) − x(k))T		T + wT (k)		.	(11.136)
	F		G

208

Сформируем	теперь	мультипликативную	конструкцию
(x(k +1)− x(k +1))(x(k +1)− x(k +1))T , для			которой при

v(k)= w(k), на основании (11.129), (11.136) запишем

(x(k +1)− x(k +1))(x(k +1)− x(k +1))T = F(x(k)− x(k))(x(k)− x(k))T F T (11.137)

+Gw(k)(x(k)− x(k))T F T +F (x(k)− x(k))wT (k)G T +Gw(k)wT (k)G T .

Применим к выражению (11.137) оператор вычисления математического ожидания, тогда получим с учетом (11.131),(11.133) и

условий M [x(k)wT (µ)]= 0 , M [w(µ)xT (k)]= 0 соотношение (11.135). ■

Примечание 11.4 (ПР11.4). Рассмотрим матричное рекуррентное уравнение (11.135) относительно матрицы Dx (k) в установившемся

режиме для случая, когда матрица F системы имеет все собственные значения в единичном круге. Для него оказываются справедливыми предельные соотношения

lim Dx (k +1)= lim Dx (k)= Dx , при этом рекуррентное матричное
k→∞	k→∞

уравнение (11.135) вырождается в алгебраическое матричное уравнение

Dx −

T =

T ,

(11.138)

FDx

именуемое дискретным матричным уравнением Ляпунова.

Примечание 11.5 (ПР11.5).

Для вектора математического

∆

ожидания выхода

(k)=M [y(k)]

дискретной системы (11.129) и

матрицы дисперсийDy = M [(y −

)(y −

)T ] справедливы соотношения

y(k) =

x(k) =

k x(0), Dy = M [

(x − x)(x − x)T

T ]=

T . (11.139)

Примечание 11.6 (ПР11.6). По аналогии с непрерывными системами для матриц ковариаций по векторам состояния и выхода

можно записать

Rx (v) = M[x(k + v)xT (k)] = M[

v x(k)xT (k)] =

v Dx : v > 0 ;

(11.140)

Rx (v) = M[x(k − v)xT (k)] = M[

−v x(k)xT (k)] =

−v Dx : v < 0;

(11.141)

Ry (v) =

T =

v Dx

T : v > 0;

(11.142)

Ry (v) =

T =

−v Dx

T : v < 0.

(11.143)

Пусть теперь v(k)=ξ(k), где ξ(k) – стационарное в

широком

смысле стохастическое экзогенное воздействие типа дискретный «окрашенный шум». «Окрашенный шум» ξ(k) формируется

дискретным фильтром (ДФФ), имеющим векторно-матричное описание

zф(k +1) =		фzф(k) +		фw(k); zф(0) ≡ 0; ξ(k) =			(11.144)
	Γ		G		Pфzф(k) .

В итоге задача сводится к предыдущей путём объединения дискретного формирующего фильтра и исследуемой системы (11.129), что образует составную дискретную систему, возбуждаемую внешним

209

стохастическим дискретным воздействием типа дискретный белый шум. Полученные результаты сформулируем в виде следующего утверждения.

Утверждение 11.7 (У11.7). Рассмотрим дискретные процессы по векторам состояния, выхода и ошибки, являющиеся решением линейного стохастического векторно-матричного рекуррентного уравнения

x(k +1) = Fx(k) +		ξ(k), x(0), y(k) =			(11.145)
	G		Cx(k),ε(k) =ξ(k) − y(k) ,

где ξ(k) – решение рекуррентного уравнения (11.144). Тогда оказываются справедливыми матричные соотношения

(k +1)

~ ~ ~ ~

(11.146)

= FDx (k)F

+GVG

, Dx (0), Dx =M [(x

− x)(x

− x)

Dx (k) = [I

(11.147)

0]Dx (k)[I

O] ,

(k) =

[

0]D~ (k)[

0];T D

(k) = [−

]D~ (k)[−

]T ,

(11.148)

PФ

где x = [x

, zФ

]

;

□(11.149)

ΓФ

GФ

Доказательство утверждения строится на конструировании

агрегированной системы

= [x

(0)

(11.150)

x(k +1) = Fx(k) + Gw(k) , x(0)

] ,

~ ~

(11.151)

x(k ) = Cx x (k ) ; y(k )

= C y x (k ) ;ε(k) = Cε x(k)

~ ~

(11.152)

zф = Сz x

(k)

;ξ(k) = Cξ x(k),

с вектором состояния x

и матрицами F ,G вида (11.149), а также

матрицами

= [I

[−C

= [0

PФ],(11.153)

0];Cy =

0];Cε =

PФ];Cz

I ];Cξ

опирающейся на системы (11.144) и ( 11.145). Сконструированная таким образом система (11.150) оказывается возбуждаемой стохастическим воздействием типа дискретный «белый шум» w(k),

для которой оказываются применимы уравнения Ляпунова вида

(11.135), имеющего реализацию в форме (11.146), и вида (

11.138),

имеющего представление

■(11.154)

Dx = FDx F

+ GVG

Рассмотрим теперь проблемы, связанные с конструированием матриц спектральных плотностей переменных системы (11.129). Сначала дадим определение матрицы спектральных плотностей векторной переменной ( ) дискретной системы вида (11.129).

Определение 11.1 (О11.1). Матрицей S( )(ω) спектральных плотностей векторной стохастической переменной ( ), обладающей

210

матрицей ковариаций R( )(ν) называется бесконечный ряд Фурье от матрицы ковариаций, записываемый в виде

∞
S( )(ω) = ∑R( )(v)e− jvω∆t .	(11.155)

v=−∞

Применительно к векторным переменным дискретной системы (11.129) введенное определение матрицы спектральных плотностей с учетом соотношений (11.142) и (11.143) позволяет записать

∞

x (ω) = ∑

x (v)e− jvω∆t ;

y (ω) =

∑

y (v)e− jvω∆t =

x (ω)

T . (11.156)

v=−∞

Для целей получения компактного представления матриц спектральных плотностей (11.156) сформулируем и докажем утверждение.

Утверждение 11.8 (У11.8). Матрицы спектральных плотностей векторных переменных x состояния и y дискретной системы вида

(11.129) представимы в форме

(ω) = 2(I −

cosω∆t){I − 2

cosω∆t +

2}−1

(11.157)

T = 2

2}−1

T .

y (ω) =

x (ω)

(I −

cosω∆t){I −2

cosω∆t +

□(11.158)

Доказательство. Представим матрицу спектральных плотностей Sx (ω), задаваемую с помощью (11.156), в форме цепочки матричных

равенств

∞

x (ω) = ∑

−v

xe− jvω∆t + ∑

xe− jvω∆t =

∑(

−1e− jω∆t )v

x +

v=−∞

v=0

v=−∞

(11.159)

∞

+ ∑(

Fe− jω∆t )v

x =

∑(

Fe jω∆t )−v

x + ∑(

Fe− jω∆t )v

v=0

v=−∞

v=0

В выражениях (11.159) содержатся члены суммы матричной геометрической прогрессии соответственно с показателями Fe jω∆t и

Fe− jω∆t , для которых оказываются справедливыми представления геометрических прогрессий в виде свернутых сумм

Fe jω∆t )−v = +...(

Fe jω∆t )3 +

Fe jω∆t )2 +

Fe jω∆t + I = (I −

Fe jω∆t )−1 , (11.160)

∑(

(

v=−∞

∞

Fe− jω∆t )v = I +

Fe− jω∆t + (

Fe− jω∆t )2 + (

Fe− jω∆t )3 +... = (I −

Fe− jω∆t )−1.

∑(

(11.161)

v=0

С учетом (11.159),

(11.160) и (11.161) для матрицы

x (ω)

спектральной плотности процессов по состоянию можно записать

(ω) ={(I −

Fe jω∆t )−1 + (I −

Fe− jω∆t )−1}

={[(I −

sinω∆t]−1 +[(I −

sinω∆t]−1}

x .

(11.162)

cosω∆t) − jF

cosω∆t) + jF

Запишем единичную матрицу, неявно присутствующую в выражении (11.162) непосредственно слева от матрицы Dx в форме

211

I =[(I − F cosω∆t) − jF sinω∆t][(I − F cosω∆t) + jF sinω∆t]×{[(I − F cosω∆t) − − jF sinω∆t][(I − F cosω∆t) + jF sinω∆t]}−1 =[(I − F cosω∆t) − jF sinω∆t][(I −

− F cosω∆t) + jF sinω∆t]{I − 2F cosω∆t + F 2}−1.

Подстановка полученного представления единичной матрицы I в

(11.162) дает

Sx (ω) = 2(I − F cosω∆t){I − 2F cosω∆t + F 2}−1 Dx ,

Sy (ω) = CSx (ω)C T = 2C (I − F cosω∆t){I − 2F cosω∆t + F 2}−1 DxC T . ■

Примечание 11.7 (ПР11.7). При формировании матрицы Sε (ω)

спектральных плотностей вектора ε

ошибки по выходу

дискретной

системы (11.129) следует пользоваться выражением

}

−1 ~

(11.163)

Sε (ω) = 2Cε (I − F cosω∆t){I − 2F cosω∆t + F

DxCε

где матрицы Cε ,

определяются соответственно с

и Dx

помощью выражений (11.153) и (11.154).

Примечание

11.8

(ПР11.8).

В выражениях

для матриц

спектральных плотностей Sx (ω) , Sy (ω) и Sε (ω) формах (11.157),

(11.158) (11.163) соответственно для ω следует иметь в виду ограничение −π(∆t)−1 ≤ ω ≤π(∆t)−1 .

11.5* Связь параметров стохастических стационарных в широком смысле непрерывных и дискретных экзогенных

воздействий типа «белый шум»

Данный параграф имеет прикладное назначение. Он решает задачу подготовки пользователя материалами раздела к экспериментальной среде такой, как Matlab с расширением Simulink, для проведения исследований моделей динамических систем при стохастических экзогенных воздействиях. Надо предупредить читателя, что корректное исследования может быть организовано только в дискретной по времени модельной среде, которая должна состоять из источника дискретного белого шума, дискретного формирующего фильтра и дискретной модели исследуемой непрерывной системы. Сказанное объясняется тем, что источник непрерывного белого шума аппаратно не реализуем, а дискретного – реализуем. Однако расчетные процедуры могут быть осуществлены с помощью приведенных в разделе аналитических соотношений для непрерывных систем в полном объеме.

В этой связи встает задача формирования параметров источника дискретного белого шума w(k) в виде его матрицы дисперсий V по

параметрам виртуального источника непрерывного белого шума w(t) в виде его матрицы интенсивностей N с учетом факта перехода от

212

непрерывного времени к дискретному в форме t = k(∆t), то есть задача

вида
V =V{N,∆t}.	(11.164)
Инструментально ставится задача добиться на выходе дискретной
модели непрерывного формирующего	фильтра дисперсии
		Dξ
окрашенного дискретного шума ξ(k) при дискретном на ее входе
белом шуме w(k) дисперсии V такой, чтобы она равнялась дисперсии
Dξ окрашенного непрерывного шума ξ(t)	на выходе непрерывного

формирующего фильтра, возбуждаемого виртуальным белым шумом w(t) интенсивности N .Иначе говоря, решить задачу

эквивалентирования источников непрерывного и дискретного белых шумов в смысле выполнения равенства Dξ(t)t=k(∆t )= Dξ(k).

Для решения задачи сформулируем утверждение.

Утверждение 11.9 (У11.9). Для того, чтобы стохастические

процессы ξ

(t)

иξ(k), формируемые соответственно ФФ (11.106) и

(11.144)

были

эквивалентными

смысле

выполнения равенства

Dξ(t)

t=k(∆t )= Dξ(k)

необходимо,

чтобы

матрица дисперсий V

удовлетворяла

(

)−1

Dz(∆t

T (

)−1.

(11.165)

ф ф ф

Доказательство. Для доказательства сформируем аналитическое

представление

для

матрицыDz (k +1)= M [zф(k +1)zфT (k +1)]. С этой

целью на основании (11.144) сформируем выражение для вектора – строки zфT ( k +1)

zфT ( k +1)= zфT (k)

фT + wT (k)

фT ,

(11.166)

Dz (k +1)= M [zф(k +1)zфT (k +1)]= M [

фzф(k)zфT (k)

фT

]+ M [

фw(k)wT (k)

фT ]+

+ M [Γфzф(k)wT (k)GфT ]+ M [Gфw(k)zфT (k)ΓфT ]= ΓфDz (k)ΓфT +GфVGфT , Dz (0)= 0.

Положим в полученное рекуррентное уравнение для матриц дисперсий условие k = 0, Dz (0)= 0 , тогда получим

(1)=

T , где D

(1)= D

(1∆t)= D

(∆t).

Решение

матричного

уравнения

D (∆t)=

относительно

матрицы дисперсии V

дискретного «белого» шума путем умножения

D (∆t)=

слева

на

GT , а справа

на

последующим

умножением слева и справа на матрицу (GT G )−1

приводит к (11.165).■

213

Примечание 11.9 (ПР11.9). Нетрудно видеть, что значение дисперсии Dz (∆t) может быть вычислено с помощью (11.99), если

положить t = ∆t , что даст

∆t
Dz (∆t)= eΓф∆t ∫e−Γфτ GфNGфT e−ΓфTτ dτ eΓфT ∆t .	(11.167)
0

Воспользуемся положениями доказанных утверждений, для формирования параметров эквивалентного дискретного “белого “ шума w(k) на основе параметров N и Ωф интенсивности непрерывного

“белого” шума и эффективной полосы пропускания непрерывного ФФ в виде апериодического звена первого порядка с передаточной функцией

W	(s)=	1	=	Ωф	=	Ωфs−1	;Ω	ф	=

фф		Tфs +1		s + Ωф 1+ Ωф

Решение задачи оформим в виде процедуры 1. Представление матричных компонент исходного

непрерывного ФФ в виде

Γф		=	[–Ωф];		Gф=	[Ωф];	Pф	=	[1].
(11.168)
2. Представление матричных компонентов дискретного ФФ при
заданном ∆t: с помощью (11.75) в виде
		exp(–Ωф∆t);				1–exp(–Ωф∆t);	Pф	=	[1],
	Γф =			Gф =

(11.169)

3.Вычисление значение дисперсии Dz(∆t)= Dz (t)t=∆t с помощью

(11.99)

Dz(∆t) = ∆∫texp(− Ωф(∆t −τ ))ΩфNΩф exp(− Ωф(∆t −τ ))dτ =

= NΩф2 exp(− 2Ωф∆t)∆∫texp(2Ωфτ )dτ = NΩ2 ф (1− exp(− 2Ωф∆t)).(11.170)

4. Вычисление значения дисперсии V дискретного "белого" шума с помощью соотношений (11.165) и (11.170) дает

V = NΩф ((1+ exp((− Ωф∆t)))) (11.171) 2 1− exp − Ωф∆t

Из последнего выражения нетрудно видеть, что при ∆t→0 значение V стремится к бесконечности, т. е. дискретный "белый" шум по своим свойствам приближается к непрерывному.

При моделировании стохастического дискретного процесса типа "белый" шум с матрицей дисперсии V в программной оболочке MATLAB с помощью генераторов случайных чисел возникает задача

214

определения коэффициента нормирования kн, доставляющего требуемое значение дисперсии V. моделируемому дискретному процессу.

При решении данной задачи можно ограничиться случаями двух наиболее распространённых генераторов случайных чисел: с равномерным и нормальным распределением. Если выход генератора случайных чисел обозначить ζген, то базовое выражение для вычисления коэффициента kн, примет вид

k 2 D	=V ,	(11.172)
н ςген

где Dζген — дисперсия на выходе генератора случайных чисел. Для случая равномерного распределения случайных чисел в

интервале [–a , a] kн , вычисляется в силу соотношения

			V	1/ 2
			V	1/ 2			3		1/ 2
k		=			=			V		.	(11.173)
k		=	D		=	a		V		.	(11.173)
	н		D			a
			ζген

При использовании генератора с нормальным распределением

случайных чисел с параметром σген			значение	коэффициента kн,
определяется выражением
kн =	1	V 1/ 2 .		(11.174)

	σген
При	моделировании ветрового воздействия			выход генератора

равномерно распределенных чисел должен быть связан со входом дискретного ФФ через линейный блок с коэффициентом передачи

NΩф

1+ exp(−Ωф∆t) 1/ 2

;

(11.175)

1−exp(−Ωф∆t)

для случая генератора нормально распределенных случайных чисел

этот коэффициент приобретает значение

NΩф

+ exp(−Ωф∆t) 1/ 2

■(11.176)

σген

−exp(−Ωф∆t)

Примеры и задачи

11.1. Для непрерывной динамической системы, заданной
передаточной функцией Φ(s) «вход–выход» вида
Φ(s)=	Y (s)		b0s + b1
		=		, построить ее ВМО в произвольном
	G(s)		a0s2 + a1s + a2
базисе

	x(t)= Fx(t)+ Gg(t), x(t)				t=0 = x(0)= 0, y(t)= Cx(t),используя

значения параметров передаточной функции из наборов:

1. b0 = 0; b1 =1; a0 = 0; a1 = 0.1; a2 =1;

215

2.	b0	= 0; b1 =1;	a0 = 0;	a1	=	0.5;	a2 =1;
3. b0 = 0; b1 =1;			a0 = 0; a1 =1; a2 =1;
4.	b0	=1; b1 = 0;	a0 = 0;	a1 = 0.1;			a2 =1;
5.	b0	=1; b1 = 0;	a0 = 0;	a1 = 0.5;			a2 =1;
6. b0 =1; b1 = 0;			a0 = 0; a1 =1; a2 =1;
7.	b0 = 0.5; b1 = 0; a0 = 0;				a1 =1;		a2 =1;
8.	b0 =1; b1 =1;		a0 = 0;	a1 = 0.1;			a2 =1;
9.	b0	=1; b1 =1;	a0 = 0;	a1 = 0.5;			a2 =1;
10. b0 = 0; b1 =1; a0 =1; a1 = 2;							a2 =1;

11. b0 = 0; b1 = 9; a0 =1; a1 = 6; a2 = 9;

12. b0 = 0; b1 =1; a0 =1; a1 =1.5; a2 =1;

13. b0 = 0; b1 =16; a0 =1; a1 = 6; a2 =16;

14. b0 = 0; b1 = 4; a0 =1; a1 =1; a2 = 4;

и вычислить реакцию системы на одно из непрерывных конечномерных экзогенных воздействий из примеров 10.1.1. – 10.4.4. раздела 10 по выбору преподавателя.

11.2. Для значений параметров из примеров 11.1.1 – 11.1.14 непрерывной системы при значении интервала дискретности ∆t = 0.1C сформировать ее дискретное представление

x(k +1)= Fx(k)+ Gg(k), x(k)k =0 = x(0)= 0, y(k)= Cx(k) с тем, чтобы вычислить реакцию системы на одно из дискретных конечномерных

экзогенных воздействий из примеров 10.6.1. – 10.7.4. раздела 10 по выбору преподавателя.

11.3.Вычислить матрицы дисперсий Dx , Dy соответственно

векторов состояния и выхода непрерывной системы примера 11.1, а также корреляционную функцию выхода Ry (τ) и его функцию Sy (ω)

спектральной плотности для вариантов 11.1.1–11.1.14 по выбору преподавателя для случая экзогенного стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа «белый шум» w(t)

интенсивности N =1 В2С.

Решение вариантов задач

Решение задачи 11.3 ( с вариантом параметров 11.1.1)

В соответствии с вариантом параметров 11.1.1 передаточная функция непрерывной системы принимает вид

Φ(s)=

Y (s)

10s−1

;ВМО которой будет

G(s)

0.1s

+10s−1

a1s + a2

характеризоваться матрицами: G = [10], F = [−10], C = [1].

216

Для вычисления матрицы дисперсий Dx = M {x(t)xT (t)}= M {x2 (t)} воспользуемся матричным уравнением Ляпунова (11.102)

FDx + Dx FT = −GNGT ,

которое

принимает

вид

−10D + D (−10)T = −10N(10)T ,

что

приводит

равенствам

D = 5B2 .Матрица дисперсии

20D =100N

=100,

выхода в

силу

N =1

(11.103)

C = [1]принимает

вид

= D

= 5B2 .

Корреляционная

матрица

по

вектору

состояния

силу

(11.104)

определяется

выражениемRx (τ)= eFτDx = 5e−10τ , а по вектору выхода в силу (11.105) получает представление Ry (τ)= CRx (τ)CT = Rx (τ)= 5e−10τ. Осталось

определить матрицу спектральной плотности состояния и выхода, которые в силу соотношений (11.123)–(11.124), а также матриц

системы

+ ω2I )−1D

принимают

вид

(ω)= −2F(F 2

100

(ω)= CS

(ω)CT =

100

.■

100 + ω2

217

12*. ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Погружение в проблемную среду решений линейных матричных уравнений осуществим следующим образом. Для начала напомним, что читатель в неявной форме уже встречался с линейным матричным уравнением при рассмотрении проблем приведения подобия. Действительно, если уравнение приведения подобия MA = AM записать в эквивалентной форме MA − AM = 0, то получим линейное однородное матричное уравнение относительно матрицы приведения подобия M . Однородное матричное уравнение является недоопределенным и его решение в классе не тривиальных решений весьма затруднено. Проблема решается путем модификации однородного уравнения с тем, чтобы на его основе построить неоднородное матричное уравнение относительно той же неизвестной матрицы M . Модификация его состоит в представлении матрицы A в форме A = E − LN так, что однородное матричное уравнение подобия принимает вид неоднородного матричного уравнения Сильвестра MA − EM = −LH , где свободно назначаемый матричный компонент:

H= arg{dim(H )= dim(LT )}определяет матрицу N = HM −1 .

Вявном виде читатель встретился с матричным уравнением Сильвестра в задачах поиска реакции системы на конечномерное экзогенное воздействие и с матричным уравнением Ляпунова при поиске реакции системы на стохастическое экзогенное воздействие стационарное в широком смысле.

Встает естественный вопрос как решаются матричные уравнения? Ответ на него составляет предмет настоящего раздела. По пути заметим, что читатель встретит еще один тип матричного уравнения, именуемого матричным уравнением Риккати, использование которого

впособии не продемонстрировано. Читатель встретится с ним только в курсе теории систем, в разделе синтеза оптимального управления.

12.1 Матричные уравнения Сильвестра, Ляпунова, Риккати

Параграф начнем с установление связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати, решающих задачи управления и динамического наблюдения, преследующей следующие цели. Первая цель – системологическая, вторая – пользовательская, ставящая задачу унификации алгоритмического и программного обеспечения решений матричных уравнений.

Проблему связи между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати сформулируем в виде системы утверждений.

218

Утверждение 12.1 (У12.1). Введем в рассмотрение обобщенное уравнение Риккати

AT P + PA − PBVBT P = −Q ,	(12.1)
где V =V T , V > 0.
Тогда уравнение Ляпунова
FT P + PF = −Q	(12.2)
с матрицами F = A − BK и	FT = AT − K T BT , где K = R−1BT P ,
совпадает с матричным уравнением Риккати (12.1) при V = 2R−1 .		□
Доказательство. Для доказательства У12.1 достаточно в (12.1)
положить V = 2R−1 , в (12.2)	подставить F = A − BR−1BT P	и
FT = AT − PBR−1BT , и убедиться в совпадении левых и правых частей
(12.1) и (12.2).		■

Утверждение 12.2 (У12.2). Если уравнение Риккати используется для синтеза закона управления, доставляющего системе качественную экспоненциальную устойчивость, так, что оно

записывается в виде

AT P + PA − PBVBT P = −αP ,

(12.3)

то оно может быть сведено к уравнению Ляпунова вида

−1

(A − 2α

+ P

+ 2α

I) = BVB

(12.4)

Доказательство. Умножим уравнение Риккати (12.3) слева и

справа на матрицу P−1 , тогда получим

P−1 AT + AP−1 − BVBT

= −αP−1

В полученном

матричном

уравнении

относительно

матрицы

P−1 все члены ее содержащие разместим в левой части уравнения, а не

содержащие ее – в правой, тогда получим (12.4).

■

Утверждение 12.3 (У9.3).

Матрицы

P и Q : P = PT , P > 0;

Q = QT , Q > 0 вида

P = (M −1)T M −1 , Q = −(M −1)T (Γ+ ΓT )M −1 ,

(12.5)

где матрицы

удовлетворяют

матричному уравнению

Сильвестра

M Γ− AM = −BH

(12.6)

удовлетворяют матричному уравнению Ляпунова (12.2).

□

Доказательство. Пусть матрица K обратной связи найдена в

результате решения задачи модального управления так, что K = HM −1 , где M – решение уравнения Сильвестра (12.6).

Тогда подстановка H = KM в (12.6) приводит к уравнению подобия

M Γ = FM ,

(12.7)

которое позволяет записать

219


F = M ΓM −1 , FT = (M −1)T ΓT M T .			(12.8)
Подстановка в (12.2) матриц P и Q вида (12.5), а также F и FT
вида (12.8) дает
FT P + PF = (M −1 )T ΓT M T(M −1 )T M −1 +(M −1 )T M −1MΓM −1,			(12.9)
= (M −1)T (Γ+ ΓT )M −1 = −Q
что доказывает справедливость утверждения 12.3.			■
Примечание 12.1 (П12.1). Необходимо заметить, что матрица
− (Γ+ ΓT ), в которой матрица Γ имеют спектр собственных значений
(λi : Re(λi )< 0;i =		)с отрицательными вещественными частями, не в
	1,n
любом базисе ее представления является положительно определенной.

Эта матрица является гарантировано положительно определенной,
если матрица	Γ	является диагональной		(Γ = Λ)	или	блочно –
диагональной	(Γ	~
диагональной	(Γ	= Λ).Действительно в этом случае имеет место
представление − (Γ+ ΓT )= −diag{2Re(λi );i =				}.
представление − (Γ+ ΓT )= −diag{2Re(λi );i =			1,n	}.
Утверждение 12.4 (У12.4). Матрицы P и Q вида
P = (M −1)T M −1 , Q = −(M −1)T {(Γ + ΓT ) + H T BR−1BT H}M −1, (12.10)
где матрицы Γ, M , H и R удовлетворяют модифицированному
УС
MΓ − AM = −BR−1BT H , HM T = I ,						(12.11)

вкотором (A, B) – управляема, (Γ, R−1BT H ) – наблюдаема, а также

σ{Γ}∩σ{A}= Ø, удовлетворяют обобщенному уравнению Риккати

(12.1) при V = R−1 . □

Доказательство. Для доказательства У12.4 сконструируем на основании (12.11) представления матриц A и AT

A = MΓM −1 + BR−1BT (M −1)T M −1,			(12.12)
AT = (M −1)T ΓT M T + (M −1)T M −1BR−1BT .			(12.12)
AT = (M −1)T ΓT M T + (M −1)T M −1BR−1BT .
Тогда подстановка в (12.1) V = R−1 , а также представлений				A и
AT (12.12) дает
AT P + PA − PBR−1BT P = [(M −1)T ΓT M T + (M −1)T M −1BR−1BT ](M −1)T M −1 +
+ (M −1)T M −1[MΓM −1 + BR−1BT (M −1)T M −1]−
(M −1)T M −1BR−1BT (M −1)T M −1 = (M −1)T {(Γ + ΓT ) + HT BP−1BH}M −1 = −Q,
что доказывает справедливость сформулированного утверждения. ■
Примечание 12.2	(П12.2).	Управление	u = −K x ,	где
K = R−1BT HM −1 является	модальным	управлением,	оптимальным в

смысле квадратичного функционала качества (15.17). Это управление доставляет матрице F = A − BK состояния системы структуру мод,

220

носителем которой является матрица Γ, и минимизирует функционал (15.17) с матрицами P и Q вида (12.10) на траекториях системы.

Таким образом, наличие установленных связей между матричными уравнениями Сильвестра, Ляпунова и Риккати обнаруживает полезную однотипность матричного формализма в задачах управления в их многовариантной содержательной постановке, тем не менее в зависимости от решаемой задачи алгоритмически сводящихся к решению линейного матричного уравнения вида

MS + RM =U	(12.13)
или
MS + RM =VW ,	(12.14)
в которых соблюдаются соотношения размерностей матричных
компонентов
dimM = dimS = dimR = dimU = dim(VW )= n × n .	(12.15)

12.2 Методы прямого решения линейных матричных уравнений

Под прямым решением уравнений (12.13) и (12.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы M соответственно в формах

M = M {S, R,U}, M = M {(S,W ),(R,V )}.

(12.16)

Первым аналитическим способом решения матричного уравнения вида (12.13) является способ, основанный на сведении матричного уравнения к векторно–матричному с использованием

кронекеровской суммы матриц RиST , в результате чего становится

справедливой запись

TM =U ,

(12.17)

= R I + I S

(12.18)

где T = R S

, - символы кронекеровских суммы и произведения матриц,

n2 − мерные векторы M иU имеют структуру

T T

(12.19)

M = [M1

,M 2

,...,M n ] ,

= [U1

,U2 ,...,Un

] ,

Mi ,Ui

– i-й

столбец

соответственно

матриц

M и U, (i =

1,n

Решение уравнения (12.17) находится стандартным способом в форме
~	~−1 ~				(12.20)
M	=T U .	~
Из	столбца		формируется	искомая	матрица
		M
M = [M1 M 2 M n ].

Примечание 12.3 (П12.3). Ключевым моментом реализуемости

предлагаемого способа решения является обратимость матрицы T

221

размерности (n2 × n2 ), которая, являясь кронекеровской суммой матриц R и ST , имеет своими собственными значениями попарные суммы собственных значений матриц RиST .Таким образом обратимость

матрицы T будет обеспечена, если алгебраические спектры собственных значений матриц S и − R не будут пересекаться, то есть будет выполняться соотношение σ{S} σ{− R}=Ø.

Следует также заметить, что предложенный способ не гарантирует невырожденности матрицы M , так как она «собирается» из элементов

вектора M.

В связи с отмеченным выше прежде, чем продолжить рассмотрение способов прямого решения матричных уравнений вида (12.13) и (12.14) сформулируем условие существования единственного невырожденного решения этих уравнений, опираясь на представление (12.14) с декомпозированной правой частью, ограничившись случаем матриц S и R простой структуры.

Утверждение 12.5 (У9.5). Линейное матричное уравнение вида (12.14) имеет единственное невырожденное решение, если матричные компоненты этого уравнения удовлетворяют условиям:

–непересекаемость алгебраических спектров собственных

значений матриц S и − R , то есть выполнение соотношения

σ{S} σ{− R}=Ø;

–управляемость пары матриц {R ,V};

–наблюдаемость пары матриц {S ,W}.

Доказательство. Необходимость выполнения условия непересекаемости алгебраических спектров собственных значений матриц S и − R доказана при рассмотрении первого способа решения матричных уравнений вида (12.14).Тем не менее, осуществим еще раз доказательство необходимости выполнения этого условия в контексте подготовки новых способов решения матричного уравнения (12.14).

Для	этих	целей	предположим, что матрица			S	задана в
диагональной		форме	S = ΛS = diag{λsi ; i =		} так,	что	уравнение
				1,n
(12.14)	принимает		вид MΛS + RM =VW .Запишем				последнее

матричное уравнение в виде системы векторно – матричных уравнений вида


MΛSi + RMi =VWi ; i =				.				(12.21)
MΛSi + RMi =VWi ; i =			1,n	.				(12.21)
Столбец		ΛSi имеет вид ΛSi = [0Ti−1 \| λsi \| 0Tn−i ]T , подстановка
которого	в	векторно–матричное				уравнение	(12.21)	дает
(λsiΙ + R)Mi =VWi , i =1,n ,
откуда для матрицы M получим представление
M = row{Mi = (λsiΙ + R)−1VWi ; i =						}.		(12.22)
M = row{Mi = (λsiΙ + R)−1VWi ; i =					1,n	}.		(12.22)

222

Решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.22) возможно только при обратимости матрицы (λsiΙ + R) , что возможно только при

выполнении условия σ{S} σ{− R}=Ø.

Покажем теперь справедливость требования управляемости

пары матриц {R ,V}.

Для этих целей воспользуемся разложением

Д.Фаддеева матрицы (λsiΙ + R)−1 ,

в соответствии с которым получаем

развернутое по степеням матрицы R представление

(λsi Ι + R)−1 =

[Dn−1(λsi )Ι + Dn−2 (λsi )R + Dn−3 (λsi )R2 + + D0 (λsi )Rn−1],(12.23)

D(λsi )

где

n−1

n−2

D(λsi ) = det(λsi Ι + R) = λsi + a1λsi

+ a2λsi

;

+ + an−1λsi

+ an ;

(λ

)

= λn−1

+ a

λn−2

+ + a

n−2

+ a

n−1

1 si

Dn−2 (λsi ) = λnsi−2 + a1λnsi−3

+ + an−3λsi + an−2 ;

. (12.24)

D1(λsi ) = λsi + a1;

D0 (λsi ) =1.

Введем обозначения

Dj (λsi )

; j =

0,n −

(12.25)

D(λsi )

результате

для

(λsiΙ + R)−1

получаем

запись

(λsi Ι + R)−1 = [Ι | R | R2 | | Rn−1 ]col{

j (λsi ); j =

(12.26)

n −1,0

Подстановка (12.26) в (12.22) дает для матрицы M

M = [V | RV | | Rn−1V ]row{col[

j (λsi )Wi ;

j =

]; i =

}..

(12.27)

n −1,0

1,n

Из (12.27) следует, что матрица M оказывается невырожденной,

то

есть

M −1 ,

если

rang

[V | RV | | Rn−1V ]= n ,

то

есть

если пара

матриц {R , V} управляема.

Для целей дальнейших исследований транспонируем матричное

уравнение (12.14), тогда получим

M T RT

+ ST M T =W TV T .

(12.28)

Теперь сделаем предположение, что матрица R задана в

диагональной

форме

R = ΛR = diag{λRi ;

i =

}

так,

что

уравнение

1,n

(12.28) принимает вид M T ΛR + ST M T

=W TV T .

Запишем последнее матричное уравнение в виде системы

векторно – матричных уравнений вида

M T Λ

+ S T M

T =W TV T ;i =

(12.29)

1,n

223

Столбец

ΛRi

имеет

вид

ΛRi = [0Ti−1 | λRi | 0Tn−i ]T ,подстановка

которого

векторно –

матричное

уравнение

(12.29) дает

(λ

Ι + ST )M

=W TV T , i =

,откуда

для

матрицы

M T получим

1,n

представление

M T

= row{MiT

= (λRiΙ + ST )−1W TViT ; i =

(12.30)

1,n

Решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.30) возможно только при обратимости матрицы (λRiΙ + ST ) , что возможно только при выполнении условия σ{S} σ{− R}=Ø.

Покажем теперь справедливость требования наблюдаемости пары матриц {S ,W}. Для этих целей воспользуемся разложением

Д.Фаддеева матрицы (λRiΙ + ST )−1 , в соответствии с которым получаем

развернутое по степеням матрицы ST

представление

(λRi Ι + ST )−1 =

[Dn−1 (λRi )Ι + Dn−2 (λRi )ST + Dn−3 (λRi )ST 2 + + D0 (λRi )ST (n−1)],

D(λRi )

где

D(λRi ) = det(λRi Ι + S

n−1

n−2

)

= λRi

+ a1λRi

+ a2λRi

+ + an−1λRi

+ an ;

(λ

) = λn−1 + a

λn−2

+ + a

n−2

+ a

n−1

;

n−1

Dn−2 (λRi ) = λnRi−2 + a1λnRi−3 + + an−3λRi + an−2 ;

.(12.31)

D1(λRi ) = λRi + a1;

D0 (λRi ) =1.

Введем обозначения

Dj (λRi )

j = 0,n −1.

Dj (λRi ) =

;

(12.32)

D(λRi )

результате

для

(λRiΙ + ST )−1

получаем

запись

(λRi Ι + ST )−1 = [Ι | ST | ST 2 | | ST (n−1)]col{

j (λRi );

j =

}

(12.33)

n −1,0

Подстановка (12.33) в (12.30) дает для матрицы M T

M T =[W T

| STW T | | ST (n−1)W T ]row{col[

j (λRi )ViT ; j =

]; i =

}..

(12.34)

n −1,0

1,n

Из (12.34) следует, что матрица M оказывается невырожденной,

то есть

M −1 ,

если

rang[W T | STW T | | ST (n−1)W T ]= n ,

то есть если

пара матриц {S , W} наблюдаема.

■

Примечание 12.4 (П12.4).В процессе доказательства утверждения 12.5 сформированы два аналитических способа решения матричного

224

уравнения (12.14), представленных соотношениями (12.22) и (12.30), которые соответственно названы вторым и третьим.

Четвертый (поэлементный) способ решения уравнений (12.13), (12.14).

При этом способе решения уравнения (12.13) строятся n2

скалярных соотношений вида
M i S j + Ri M j =Uij ,	(12.35)
где M i , Ri − i -е строки матрицы M и R,	S j ,M j − j -е столбцы

матриц S и M , Uij − (i, j) -ый элемент матрицы U . В результате

приведения подобных членов получается система содержащая n2 условий для n2 неизвестных M ij матрицы M, которая решается стандартными методами линейной алгебры.

Пятый способ (с использованием итеративной процедуры) Рассмотрим матрицу Z(t), определяемую решением

дифференциального матричного уравнения
Z(t) = RZ + ZS −U,		Z(0) .	(12.36)
Прямой подстановкой в выражение (12.36) нетрудно убедиться,
			t
что решение уравнения имеет вид Z(t) = eRt Z(0)eSt − ∫eRτUeSτ dτ .
Если lim eRt Z(0)eSt = 0, то очевидно, что			0
Если lim eRt Z(0)eSt = 0, то очевидно, что
t →∞
	∞		(12.37)
M = lim Z(t) = −∫eRτUeSτ dτ .			(12.37)
t →∞	0
	0
Построим суммарное приближение интегрального выражения
(12.37) в виде
∞		∞	(12.38)
∫eRτUeSτ dτ = lim h ∑eRhkUeShk .			(12.38)
0	h→0	k =0

Если для матричных экспонент использовать аппроксимацию Е. Девисона:

eRh = ГR =[12I − 6hR + h2R2 ]−1[12I + 6hR + h2R2 ]

eSh = ГS =[12I − 6hS + h2S2 ]−1[12I + 6hS + h2S2 ],

то получим

eRhk = ГKR , eShk = ГkS .

Для суммарного представления интеграла можно записать

∞

∫eRτUeSτdτ =

∞

lim ∑hГkRUГkS .

h→0 k =0

Введем в рассмотрение частичную сумму

225

M (ν) = − ∑hГkRUГkS = −h[U + ГRUГS + + ГνRUГνS ]

k =0

На базе частичной суммы нетрудно построить рекуррентную процедуру

M (ν +1) = M (ν) − ГνR+1(hU )ГνS+1, M (0) = −hU

(12.39)

Тогда искомая матрица M найдется в результате предельного перехода

M = lim M (ν)

ν→∞

Алгоритм 12.1 (A12.1)

решения уравнения (12.13) пятым способом принимает следующий вид:

1.Выбор шага дискретизации h из условия

h ≤	α	, λ		= max(λ		,λ		),
			max				j
	\| λmax \|			i, j	i

где	λi –	собственные значения матрицы R; λj – собственные

значения матрицы S; α – константа;

2.Вычисление матриц ГR ,ГS ;

3.Вычисление матрицы M (0) = −hU ;

4.Для шагов рекуррентной процедуры ν =1,2, вычисление матрицы

M(ν +1) = M (ν) − ГR[ГνR (hU )ГνS ]ГS ;

5.Останов рекуррентной процедуры на основании удовлетворения

неравенству

∆(ν) = M (ν +1) − M (ν) ≤ ε

где ε рекомендуется выбирать в пределах от 10-7 до 10-5; в качестве правила останова можно использовать условие

tr∆(ν) = ∑∆ii (ν) ≤ ε.

i=1

Рассмотренные способы решения матричных уравнений (12.13), (12.14) не исчерпывают весь банк способов, с некоторыми из них можно ознакомиться в приводимой литературе.

Следует также добавить, что в случае, если правые части матричных уравнений (12.13) и (12.14) оказываются нулевыми, то они превращаются в однородные матричные уравнения тем самым становятся матричными условиями подобия матриц S и − R , поэтому

алгебраическим условием нетривиального решения этих уравнений в оговоренном случае является совпадение алгебраических спектров собственных значений матриц S и − R .

Также необходимо отметить проблему вычислительной устойчивости рассмотренных матричных уравнений, которую можно проконтролировать с помощью C{МУ} – числа обусловленности

226

«матричного уравнения» вида (12.13), (12.14), вычисляемого в силу соотношения

C{МУ}= max{αi (S )+ α j (R)} min{αi (S )+ α j (R)} −1			,	(12.40)
i, j	i, j

где α( ) - сингулярное число матрицы .

В заключение следует сказать, что в настоящее время самым эффективным способом решения матричных уравнений (12.13) (Ляпунова) и (12.14) (Сильвестра) является способ, использующий оператор «lyap» в программной оболочке MatLab, который для уравнения (12.13) имеет запись M = lyap(S, R,U ).

12.3 Инверсное решение линейных матричных уравнений

В основу инверсного способа решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14) положено то соображение, что матрица М есть

матрица преобразования базисов, банк которых для случаев приведения произвольных матриц к каноническим формам S , в алгебраической и по использованию метода пространства состояния библиографии довольно обширен, часть которых приведена в разделе

Под инверсным решением уравнений (12.13) и (12.14) понимается решение этих матричных уравнений относительно матрицы U в форме

U =U{S, R,M }	(12.41)
применительно к уравнению (12.13) и в формах
W =W{S, R,V ,M },	(12.42)
V =V{S, R,W ,M }	(12.43)

применительно к матричному уравнению (12.14). Причем инверсное решение матричного уравнения (12.14) в форме (12.42) используется в основном в задачах управления, а в форме ( 12.43) – в

задачах наблюдения.

Инверсный способ решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14) не всегда реализуем. Сформулируем условия реализуемости инверсного способа решения матричных уравнений вида (12.13),(12.14).

Применительно к матричному уравнению (12.13), которое в задачах исследования устойчивости и динамических свойств систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле принимает вид матричного уравнения Ляпунова, эти условия принимают вид.

Условие 12.1 (УС12.1). Условие разрешимости матричного уравнения (12.13), используемого в задачах исследования устойчивости непрерывных систем в форме уравнения Ляпунова,

227

состоит в том, чтобы матрица {− (MS + RM )} размерности (n × n) была

симметричной и положительно определенной, то есть имела n

положительных собственных значений.

Условие 12.2 (УС12.2). Условие разрешимости матричного уравнения (12.13), используемого в задачах исследования динамических свойств непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях стационарных в широком смысле в форме уравнения Ляпунова, состоит в том, чтобы матрица

{− (MS + RM )}размерности (n × n) была симметричной, положительно

полуопределенной и имела ранг, равный рангу матрицы входа системы. Применительно к матричному уравнению (12.14), которое в задачах синтеза формирователей сигналов управления и устройств динамического наблюдения принимает вид матричного уравнения

Сильвестра, эти условия принимают вид.

Условие 12.3 (УС12.3). Условие разрешимости матричного уравнения (12.14) в форме (12.42), используемого в задачах синтеза формирователей сигналов управления в форме уравнения Сильвестра,

состоит в том, чтобы столбцы {(MS + RM )}i матрицы			{(MS + RM )}
размерности (n × n) принадлежали образу матрицы V
{(MS + RM )}i Jm{V};i =		.	(12.44)
	1,n
В случае выполнения условия 12.3 в форме (12.44) решение
(12.42) уравнения (12.14) относительно матрицы W представимо в
форме
W = (V TV )−1V T (MS + RM ) .			(12.45)

Условие 12.4 (УС12.4). Условие разрешимости матричного уравнения (12.14) в форме (12.43), используемого в задачах синтеза устройств динамического наблюдения в форме уравнения Сильвестра,

состоит в том, чтобы столбцы матрицы {(M T RT + ST M T )}размерности

(n × n) принадлежали образу матрицы W T
{(M T RT + ST M T )}	Jm{W T };i =1,n	.		(12.46)
i
В случае выполнения условия 12.4 в форме (12.46) решение
(12.43) уравнения (12.14) относительно матрицы V представимо в
форме	(WW T )−1.
V = (MS + RM )W T	(WW T )−1.			(12.47)
Примеры и задачи
12.1.*Определить,	разрешимо	ли	матричное	уравнение
MS + RM =U относительно матрицы		M,	если матрицы	S, R и U

принимают значения

228

0	0	− 5		0		0	1
U =		; S =	4		; − R =		.
0	0		4	− 2	−10		− 7

12.2.Определить, разрешимы ли матричные													уравнения вида
MS + RM =U		относительно матрицы						M ,		а в случае разрешимости
решить первым способом при:
a)	U =	0	0	;	− 5	0		0			−1	;
a)	U =			;	S =		; R =					;
		0	0		4	− 2		10			7
б)	U =	0	0	;	− 2	10	; R	=	0		10	;
б)	U =			;	S =		; R	=		1		;
		0	0		0	− 5			−	1	7
в)	U =	0	0	;	0	1	; R	=	10		0	;
в)	U =			;	S =		; R	=				;
		1	0		− 4	− 5			7		−1
г)	U =	2	1	;	0	1			− 3		0	;
г)	U =			;	S =	; R =				0		;
		4	2		−10	− 7				0	2
	U =	2	4		0	1			4		0,707
д)	U =			; S =		; R =						3	.
		5	10		− 8	9		0,707				3
12.3. Решить			матричное			уравнение				MS + RM =U , используя

кронекеровское произведение матриц и приведение уравнения к векторно – матричному виду для матриц S ,R и U из примеров а) - д)

задачи 12.2.

12.4. Используя матричное

уравнение

(12.12),

найти матрицы

модального преобразования M ,

приводящие к диагональному виду

следующие матрицы.

1 − 2

−1 1

− 2

3 1

б)

4 4

;

в)

1 2

;

1 2

1 ;

2 0 3

1 2

− 2 5

− 2

− 5 2

− 5

6 3

1 2

г)

;

д)

3 2

;

е)

;

− 2 −1

− 8

7 −1

2 − 3

− 2

−1 0

− 4

2 3

− 2

2 5

− 6

2 3

3 1

ж)

4 3

з)

4 − 6

; и)

−1 ;

− 4

4 2

−1 2

− 2

−1 4

− 4 2

−1

12.5. Путем перестановки произвольных столбцов матрицы преобразования M убедиться, что в диагональных матрицах, подобных матрицам а)÷и) задачи 12.4, происходит согласованная с перестановкой столбцов перестановка собственных чисел на диагонали.

229

12.6. Найти матрицу преобразования подобия M для следующих

пар подобных матриц:
	5	−1	38	81			17	− 6	14		− 60
a)		,			;	б)		,		3
	9	−1	16	− 34			45	−16		3	−13

− 3

− 2 1

−11 − 22

3 2

− 5

6 20

− 34

в)

− 8

; г)

− 2 2 ,

− 20

2 6

−10 ,

6 32

− 51

− 6

− 6 5

−10

1 2

− 3

4 20

− 32

6 −15

− 20 − 4

д)

− 5

−17 − 4

;

− 2

− 70

119

−11

−15

−13

− 70 119

е)

− 5

− 4

−19 34

;

− 4

− 20 35

	6 10		−19 4		41 − 4		− 26	− 7
		6	− 8				− 91
ж)	1			3	14 −13			−18
		4	− 6	,			− 25	− 8	.
	1			2	40 − 4
	0 −1		1	0	0	0	0	1

12.7. Используя формулу			(12.24)			для матрицы M , решить
матричное уравнение (12.6)		частного				вида		(12.10),			где		матрица
Г−диагональная матрица, для следующих композиций спектра														σ{Г}
матрицы Г, и значений матрицы A, B, H :
a) σ{Г}={2,−5},		0			1		0				1];
a) σ{Г}={2,−5},	A =				, B =			, H = [1			1];
	−10				7		1
б) σ{Г}={−3,−4},		7			1		2		H = [3			5];
б) σ{Г}={−3,−4},	A =				, B =			,	H = [3			5];
	−10				0		4
			4		−1	− 2			1
в) σ{Г}={−1,−2,−6}, A =			2		1	− 2 , B			= 2 , H = [4					5	6];

					−1	1
			1		−1	1			3
	4		1	1		1
г) σ{Г}={−2,−4,−6},	A = 2		4	1 , B		= 1 ,		H = [1		1	1];

			1
	0		1	4		1
	2 −5				−3			1	0			1	1	0
д) σ{Г}={−1,−3,−5},	A = −1		− 2		−3 , B = 0				2 , H =			1	1	0	;
д) σ{Г}={−1,−3,−5},	A = −1		− 2		−3 , B = 0				2 , H =				1		;
												0	1	1
			15
	3		15		12			3	4

230

4	− 4	2		1		0	1	1	2 .
е) σ{Г}={−3,−7,−11}, A = 2	− 2	1	, B = 1			1 , H =
								1
							2		1
− 4	4	− 2			0	1

Решение вариантов задач

Задача12.1. Определить, разрешимо ли матричное уравнение MS + RM =U относительно матрицы M, если матрицы S, R и U принимают значения

0	0	− 5		0		0	1
U =		; S =	4		; − R =		.
0	0		4	− 2	−10		− 7

Решение. Как указывалось в раздела, уравнение (12.13) при нулевой правой части имеет нетривиальное решение M ≠ 0 в случае, если спектры матрицы S и –R совпадают, т.е. σ{S} =σ{−R}. Таким

образом, первым шагом решения задачи является установление факта совпадения спектров матриц S и –R . Характеристические уравнения матриц S и –R принимают вид

λ + 5		0		λ2 + 7λ +10 = 0,
det(λI − S) = det	4		=
−		λ + 2
λ		−1	= λ2	+ 7λ +10 = 0.
det(λI + R) = det
10	λ + 7
Из приведенных характеристических уравнений матриц S и –R

видно, что они идентичны, а, следовательно, спектры матриц

совпадают. Таким образом,

уравнение

MS + RM = 0 имеет

нетривиальное решение. Найдем матрицу M , используя четвертый

(поэлементный) способ.

Уравнения

MS + RM = 0

в поэлементной

форме запишется:

−1 m

− 5

m21

m22

− 2

7 m21

m22

Перемножив матрицы и сложив их поэлементно, получим

матричное соотношение

−5m11 + 4m12 − m21

− 2m12 − m22

+10m

10m

+5m

= 0

0 .

Если две матрицы равны, то равны их элементы с одинаковыми индексами, в силу чего для элементов матриц M получим систему скалярных соотношений

− 5m11 + 4m12 − m21 = 0, −2m12 − m22 = 0; 2m21 +10m11 + 4m22 = 0, 10m12 + 5m22 = 0.

231

Очевидно, что число линейно независимых условий в полученной системе только два. Воспользуемся первыми двумя соотношениями

−5m11 + 4m12 − m21 = 0; −2m12 − m22 = 0.

Система уравнений относительно элементов матрицы M оказалось недоопределенной, так как содержит два уравнения относительно четырех неизвестных. Зададим два недостающих условия, положив, к примеру, m11 =1, m12 =1. Матрица M в результате

принимает вид

M =

−1

− 2

Матрица M −1 , обратная M

, равняется M

−1

Покажем, что

матрицы

S и R , связанные друг

другом

матричным уравнением (12.13), при известных матрицах

M и M −1

могут быть найдены друг из друга с помощью отношений подобия:

S = −M −1RM , R = −MSM −1 .

Действительно,

2 1 0

−1

1 1

−2

−1 1

−5

= S

−M −1RM = −

−1

−1 10

7 −1

−2

−4

−2

и, наоборот,

1 1

−5

0 2 1

−1

−MSM −1

R .

= −

−1

−2 4

−2 −1

−1

В заключение заметим, что произвольность назначения двух

элементов матрицы

не сказалось

на

выполнении

соотношения

подобия, т.е. на связи матрицы

R .

Положим теперь

m11 = 3

m = 5, в этом случае матрицы

M и M −1 принимают вид

2 11

1 11

M =

, M −1 =

−10

1 11

− 3 55

и −R ,

Используя соотношения подобия матриц S

для последних

получаем

2 11

1 11 0

−1 3

− 5

= S ,

− M −1RM = −

1 11

− 3 55 10 7

−10

− 2

− MSM −1

3 5

− 5

0 2 11

1 11

−1

= R .

■

= −

−10 4

− 2 1 11

− 3 55

232

13*. МОДЕЛИ ТРАЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И

СИСТЕМ

Рассмотренные в предыдущих разделах модели непрерывных и дискретных динамических объектов строились на гипотезах точного знания их параметров и неизменяемости в течение их функциональной эксплуатации. Однако эти гипотезы являются очень сильными и являются мечтой исследователя и в реальности не всегда выполняются.

Известно, что знание о любом объекте исследования всегда являются неполными. Известно также, что все течет, все изменяется. Это относится и к динамическим объектам и системам, а это значит, что встает задача оценки влияния неточности исходного знания и изменение параметров объектов должно быть как-то учтено в модельной среде. На этот вопрос частично отвечает теория параметрической чувствительности. При этом наибольшей наглядностью обладает аппарат функций траекторной чувствительности, применимый как к непрерывным, так и дискретным по времени динамическим процессам.

13.1.Модели траекторной параметрической чувствительности непрерывных динамических объектов и систем

Аппарат функций траекторной чувствительности (ФТЧ) в своей первичной постановке строился так, чтобы дать разработчикам возможность наблюдать дополнительное движение динамической системы или объекта, порожденное вариациями параметров их функциональных компонентов относительно их номинальных значений, оценивать влияние этого движения на качественные показатели системы.

В связи с тем, что наблюдение дополнительного движения осуществляется с помощью дополнительной динамической системы с фиксированными параметрами, именуемой моделью траекторной чувствительности (МТЧ), аппарат дает возможность разработчику при формировании объекта управления, представляющего собой функциональное объединение физического (технологического) процесса, регулирующих органов и устройств измерения компонентов вектора состояния и выхода, сравнивать конфигурации ОУ на предмет оценки потенциальной стабильности показателей качества проектируемой системы в условиях неопределенности параметров. Анализ управляемости составной системы «номинальный ОУ – МТЧ» по выходу модели траекторной чувствительности с помощью аппарата матриц управляемости по состоянию и выходу МТЧ позволяет ранжировать параметры по степени достижимости стабильности показателей качества систем с использованием возможностей

233

неадаптивных алгоритмов управления, рационально распределять ресурсы управления, решать задачу «оптимального номинала» агрегатов ОУ. Применительно к спроектированной системе аппарат ФТЧ позволяет как на траекторном, так и на структурном уровне оценивать эффект введения в состав системы устройств управления (УУ) в условиях параметрической неопределенности, проводить сравнения альтернативных вариантов УУ. Применение аппарата функций траекторной чувствительности к дискретным динамическим системам дает возможность как траекторно, так и структурно оценивать влияние таких чисто «дискретных» параметров, как интервал дискретности и запаздывания вывода из микроЭВМ вычисленного управления.

Для введения аппарата траекторной чувствительности рассмотрим непрерывную динамическую систему, которая характеризуется

вектором состояния x Rn , вектором выхода y Rm , а также вектором

q квазистационарных параметров (q(t) = 0),			который	претерпевает

вариацию ∆q относительно вектора q0			номинальных значений
параметров	так, что	q = q + ∆q, q RP .	Чтобы	обеспечить
		0
прозрачность	трактовки	результатов,	будем	использовать

безразмерную форму представления элементов qj вектора параметров

q ( j =1, p).

Полное движение динамической системы для случая произвольного значения вектора q параметров по состоянию и выходу

может быть представлено в форме

x(t,q = q0 + ∆q)= x(t)+ ∆x(t,q0 ,∆q),		(13.1)
y(t,q = q0 + ∆q)= y(t)+ ∆x(t,q0 ,∆q),		(13.2)
∆	∆
где x(t)=x(t, q0 ); y(t)= y(t,q0 ). В выражениях (13.1), (13.2) x(t) и
y(t) представляют	собой номинальные траектории	непрерывной

динамических объекта или системы соответственно по состоянию и выходу, ∆x(t,q0 ,∆q) и ∆y(t,q0 ,∆q)– дополнительные движения

объекта или системы по состоянию и выходу, определяемые вариацией ∆q , а также номинальным значением q0 вектора параметров. Будем

полагать справедливыми две гипотезы: первая – о малости ∆q нормы вариации ∆q вектора параметров, вторая – о непрерывной

дифференцируемости по			вектору		параметров q	в точке q = q0
траекторий x(t,q)	и y(t,q)		в каждый момент времени. Тогда (13.1) и
(13.2) принимают вид
x(t,q)= x(t)+	∂x(t,q)	q=q		∆q + O2	(∆q),	(13.3)
	∂x(t,q)

	∂q			x
	∂q		0
			0

234

y(t,q)= y(t)+

∂y(t,q)

q=q

∆q + Oy2 (∆q),

(13.4)

∂q

в которых выполняются соотношения

O2 (∆q)

lim

= 0; lim

= 0 .

(13.5)

∆q

→0

∆q

→0

Если воспользоваться (13.3)–(13.5), то для дополнительных

движений ∆x(t,q0 ,∆q) и ∆y(t,q0 ,∆q)

параметрически возмущенной

системы можно записать:

∆x(t,q0 ,∆q)= ∑(t)∆q ,

(13.6)

∆y(t,q0 ,∆q)= Ξ(t)∆q .

(13.7)

Матрицы Якоби вида

∑(t) и

Ξ(t)

именуются матрицами

траекторной чувствительности непрерывной системы соответственно по состоянию и выходу, и столбцовая форма их записи имеет вид

		∆	∂x(t,q)\|
Σ(t)= row σ	j	(t)=	∂x(t,q)\|		q=q	; j =1, p	,
	j		∂q		q=q
			∂q	j	0
				j
		∆	∂y(t,q)\|				,
Ξ(t)= row η	j	(t)=	∂y(t,q)\|		q=q	; j =1, p	,
	j		∂q		q=q
			∂q	j	0
				j

(13.8)

(13.9)

где σ j (t) и ηj (t) являются функциями траекторной

чувствительности первого порядка (в дальнейшем – просто функциями траекторной чувствительности) по состоянию и выходу.

Заметим, что если известны матрицы чувствительности Σ(t) и

Ξ(t) непрерывной динамической системы для любого t , то о сновные

задачи анализа параметрической неопределенности в традиционной постановке могут быть решены. Причем, если достаточно решения задачи в экстремальной версии, в форме мажорант и минорант дополнительных движений, то эффективным инструментом здесь оказывается сингулярное разложение матрицы траекторной

чувствительности Σ(t) и Ξ(t). В пространстве траекторий для любого t максимальное α ( )M (t) и минимальное α ( )m (t) сингулярные числа матрицы ( )(t), задают значение нормы максимальной и минимальной

полуосей элипсоидных покрытий дополнительных движений (13.6) и (13.7), порожденных сферой ∆q =1, а элементы правого сингулярного

базиса матрицы ( )(t) задают сочетания вариаций параметров, порождающие максимальную и минимальную полуоси этого покрытия.

235

Конструирование модели траекторной чувствительности проиллюстрируем на примере линейного непрерывного ОУ, матричные компоненты модельного представления которого зависят от вектора параметров q .

x(t,q)= Α(q)x(t,q)+ Β(q)u(t); x(0,q)= x(0); y(t,q)=C(q)x(q)(t,q), (13.10)

где	x Rn , u Rr , y Rm q,t . Продифференцируем выражение
(13.10) по	j -му компоненту qj вектора параметров q в точке q = q0 .
Поменяем порядок дифференцирования по времени t и параметру qj в

левой части первого уравнения (13.10) так, что получим цепочку равенств

∂

∂ dx(t,q)

d ∂x(t,q)

(t),(13.11)

(

x(t,q)

)

= σ

∂qj

q=q0

∂qj

q=q0

q=q

а также введем обозначения

∆

∂A(q)

; B

∆ ∂B(q)

; C

∆

∂C(q)

(13.12)

∂q j

q j

q=q0

q j

q=q0

q j

q=q0

A(q)

q=q

= A; B(q)

q=q

= B; C(q)

q=q

= C ,

(13.13)

x(t, q)

q=q

= x(t);

y(t, q)

q=q

= y(t) .

(13.14)

Теперь для

j -й модели траекторной чувствительности получим

представление

(t)+ Aq j

x(t)+ Bq j u(t); ηj

= Cσj (t)+ Cq j

x(t),

(13.15)

σj (t)= Aσj

МТЧ (13.15) будет генерировать функции траекторной

чувствительности σj

(t)

по состоянию и ηj

(t)

по выходу,

если ее

дополнить моделью номинального ОУ (см. рисунок 13.1), полученной

из (13.10) при q = q0 :	(13.16)
x(t)= Ax(t)+ Bu(t); x(0); y(t)= Cx(t).	(13.16)

Нетрудно видеть из (13.10) и (13.16), что динамическая модель дополнительных движений (13.6) и (13.7) с точностью до

мультипликативной составляющей ∆qj j =1, p по выходам σj ( j) и ηj (t) совпадает системой из p МТЧ (13.15).

Анализ возможности сведения дополнительных движений к нулю хотя бы в асимптотике сводится к анализу управляемости МТЧ вида

(13.15). Для этих целей сконструируем агрегированную систему с
составным вектором xj = col{x, σj}	размерности	dim x = 2n , которая

236

объединением (13.15) и (13.16), получает векторно-матричное представление

								(13.17)
xj (t) = Aj xj (t) + Bju(t); xj (0) = col{x(0),0}								(13.17)


x(t) = Cxj xj (t);				y(t) = Cj xj (t); σj (t) = Cσj xj (t); ηj (t) = Cηj xj (t) (13.18)

где	A	0			B
	A	0	;		B		;	(13.19)
Aj = A		A	;	Bj = B			;	(13.19)
	q j					q j

=[In×n

=[0n×n

.(13.20)

Cxj

0n×n ]; Cj =[C

0m×n ]; Cσj

In×n ]; Cηj

= Cqj

u(t)

x(t)

y(t)

Aq j

Cq j

σ j (t

)

ηj (t)

Bq j

Рисунок 13.1 Модель траекторной чувствительности, дополненная моделью номинального ОУ

Если провести агрегирование номинального ОУ (13.16) и всех p МТЧ (13.15) путем введения вектора x = col{x,σj ; j =1, p} размерности

dim x = ( p +1)n, то векторно-матричное представление такой системы

получает вид

(13.21)

x(t) = Ax(t) + Bu(t); x(0) = col{x(0),σj (0) = 0; j =1, p},

y(t)

(13.22)

x(t) = Cx x(t);

= Cx(t); σ(t) = Cσx(t); η(t) = Cηx(t) ,

где

0n×np

A =

(13.23)

=1, p}

col{Aqj ; j

diag{Ajj = A;

j =1, p}

237

Baj ;

B = col{B,

j =1, p}; Cx = row In×n

0n×np

C = row C

0m×pn

; Cσ = 0np×n

Inp×np

j =1, p}

diag{Cηjj = C; j =1, p} ,

Cη = col {Cqj ;

σ(t) = col{σj (t); j =1, p}; η(t) = col{ηj (t); j =1, p}.

(13.24)

(13.25)

(13.26)

(13.27)

Нетрудно видеть, что с ростом числа варьируемых параметров заметно растет размерность dim x = ( p +1)n агрегированной системы

(13.21), (13.22), что может породить проблемы вычислительной устойчивости. В этой связи аддитивная природа дополнительных движений по состоянию (13.06) и выходу (13.07) позволяет p раз воспользоваться агрегированной системой (13.17), (13.18) размерности

dim xj = 2n для всех	j =		.
		1, p

Для оценки достижимости нулевой траекторной чувствительности к вариациям параметра qj ( j =1, p) , а также ранжирования параметров

по возможным затратам ресурсов управления для достижения нечувствительности траектории проектируемой системы к этим вариациям проведем анализ управляемости системы (13.17), (13.18) по вектору состояния σ j МТУ и ее выходу ηj . Первая задача решается на

тройке матриц (Cσj , Aj , Bj ) , а вторая – на тройке матриц (Cηj , Aj , Bj ) . Для этих целей сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 13.1 (У13.1). Если тройка матриц (Cσj , Aj , Bj )

полностью управляема для всех j =1, p в том смысле, что матрица управляемости

= C

A B

, j =1, p

(13.28)

2n−1

yσj

σj

имеет ранг, равный n (rang Wyσj = n) , то в системе управления,

полученной агрегированием параметрически возмущенного ОУ (13.10) и УУ, содержащего в своем составе номинальный ОУ (13.16) и реализующего закон управления по вектору дополнительного движения ∆x(t,q0 ,∆qj ) , достижима в асимптотике траекторная

нечувствительность вектора состояния x(t)					к	вариациям всех
компонентов qj ( j =		)	вектора параметров			относительно их
	1, p				q
номинальных значений в смысле выполнения условия
lim ∆x(t,q0 ,∆qj ) = 0			j =			(13.29)
				1, p
t→∞
с наперед заданным темпом.						□

238

Для доказательства утверждения используется тот факт, что в силу (13.06) и (13.08) условие (13.29) эквивалентно выполнению предельного перехода

lim σj (t) = 0 j =		.			(13.30)
lim σj (t) = 0 j =	1, p	.			(13.30)
t→∞

Тогда управляемость тройки матриц					j =1, p
Тогда управляемость тройки матриц			(Cσj	, Aj , Bj )	j =1, p

гарантирует существование такого закона управления, при котором выполняется (13.30), а, следовательно, (13.29). ■ Требования к ресурсам управления заметно снижаются, если изначально ограничиться задачей обеспечения траекторной нечувствительности выхода проектируемой системы. На уровне требований к структурным свойствам агрегированной системы (13.17), (13.18) задача сводится к контролю управляемости тройки матриц

оценке эффекта

управления по

(Cηj

, Aj , Bj ) и количественной

переменной

ηj

при

приложении

управления u(t) фиксированной

нормы с помощью сингулярных чисел матрицы управляемости

= C B

A B

B .

(13.31)

2n−1

yηj

ηj

Следует заметить, что если ранг матриц Bj и Cηj больше

единицы, то матрица управляемости (13.31) по выходу составляется для всех возможных композиций столбцов матрицы Bj и всех строк

матрицы Cηj . Ранжирование параметров qj ( j =1, p) осуществляется по

значению сингулярных чисел α{W	}. Чем эти числа меньше, тем
qηj

большими по норме управлениями достигается асимптотическая траекторная нечувствительность данного компонента yj (t) ( j =1,m) вектора выхода y(t) к вариациям j-го элемента qj вектора параметров q . Нулевому сингулярному числу соответствуют бесконечные по

норме управления, с помощью которых достигается асимптотическая траекторная нечувствительность компонента yj (t) вектора выхода

y(t) .

Пример 13.1 (ПР13.1) Рассмотрим исполнительный электропривод (ЭП) проектируемой следящей системы, описываемый передаточной функцией

WЭП (s) = Kдв

(Tдвs +1)s

при номинальном значении параметров и передаточной функцией

239

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.11.201922 Кб7Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
01.07.202558 Кб1маркировка итмо.docx
#
29.08.201954 Кб4МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656 Кб6Марокко.doc
#
14.04.20154 Мб43мат_модели_logistics.pdf
#
14.04.20154 Мб92Мат.основы теории систем.pdf
#
01.03.20252 Мб0матан 12-23.docx
#
22.07.201930 Кб3матан.docx
#
14.04.2015858 Кб12математика +.pdf
#
21.03.20162 Мб44Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019515 Кб28математика ч.2.docx