Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где

— функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование выражений вида

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t. Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Примеры

Вычислить: Пусть тогда и

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где — многочлен -й степени.

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

9.Предел функции многих переменных.

10.Непрерывность функции многих переменных.

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Вводные понятия. Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция

с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а –зависимой переменной (функцией).

Функцию часто записывают в виде «». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.

Рис.1.

Пример. На множестве

определим функцию

; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить,

конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Графиком функции называют множество

точек ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2).

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Воспользуемся методом сечений.

–в плоскости – парабола.

–в плоскости –парабола.

–в плоскости –

окружность.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова)

пространства называется число

.

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке

, – окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -

окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки

, целиком принадлежащая множеству (т.е. ) (рис.

4).

Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество называется откры-тым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества

. Рис.5.

Пример. Если , то . При этом

. Покажите это!

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точке можно

подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек.

Множество имеет единственную предельную точку

. Покажите это!

2. Предел функции.

Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .

В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут:

при .

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна по координатной сходимости).

Пусть и – предельная точка множества .

Определение. Число называют пределом функции при , если для

такое, что , как только . В этом случае пишут

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от

предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на

плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример. Найти .

Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда

.

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ^

Пример. Найти .

По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ^

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство

. Этот факт коротко записывают так:

.

Теорема 1. Если существуют и , то:

;

;

,

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

3. Непрерывность функции. Пусть дана функция с областью определения и пусть

– предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1);

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим

, и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка

множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Определение. Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей - окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек

существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ),

если непрерывна в каждой точке этого множества.

4. Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем переменную , полагая , а

переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение

,

которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично,

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной

(по переменной ), если

().

В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.

Теорема 3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

Пример. Докажем, что функция

непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :

.

Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной

.

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.

11. Частные производные и частные дифференциалы.

1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области

,

если он существует.

Частную производную по обозначают одним из следующих символов:

.

Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

Пример. Найти частные производные функции .

Имеем:

,

называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,

– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также

символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.

Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .

Теорема 4 допускает обобщение: по индукции ее можно распространить на любые непрерывные смешанные частные производные.

Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. yZ=f(y+Δy,x)-f(x,y).

Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: dxZ -частный дифференциал по х, dyZ - частный дифференциал по у. При этом:

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

12. Дифференцируемость функций многих переменных.