Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания материальной точки при наличии периодической внешней силы

,

действующей вдоль оси . Уравнение движения в этом случае принимает вид:

, или в приведенном виде

. (2)

Уравнение (2) называется неоднородным дифференциальным уравнением 2 – го порядка, а уравнение (1) соответствующим ему однородным уравнением.

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая теорема.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения:

, где . (3)

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. (4)

Следует отметить, что амплитуда и фазав этом решении уже не определяются лишь начальными условиями как в свободных колебаниях, а зависят от параметров колебательной системы. Подставляя решение (4) в уравнение (2), можно получить следующие выражения дляи

, .

Общее решение уравнения (2) является суммой решений (3) и (4). При решение (3) станет пренебрежимо малым и установятся вынужденные колебания вида (4). По этой причине величинаназываетсявременем установления колебаний.

Н

а рис. 2 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебанийот частоты вынуждающей силы. Амплитуда имеет максимальное значение при

.

Это явление резонанса вынужденных колеба-ний. С ростом коэффициента затухания резонансная частотаи резонансная амплитудауменьшаются. В отсутствие затухания ()и. Физически это происходит из-за того, что в колебательную систему непрерывно поступает энергия за счет работы внешней силы, а потери энергии отсутствуют.

При амплитуда. Величинаназываетсядобротностью колебательной системы.

ЛЕКЦИЯ 13

Параметрический резонанс. Автоколебания.

Параметрическое возбуждение колебаний – один из параметров колебательной системы периодически изменяется со временем с частотой . Оно проявляется в известном всем нам с детства процессе. Человек, стоя на качелях, может сам себя раскачать, перодически приседая и поднимаясь во весь рост с частотой в два раза большей собственной частоты такого физического маятника.

Простой пример: маятник с переменной длиной.

Будем считать, что при прохождении положения равновесия длина маятника уменьшается на величину () , а в крайнем положении – увеличивается на то же значение. В среднем за период колебаний длина маятника остается неизменной. Такое измене-ние длины соответствует условию

, (1)

где - собственная частота.

Рост энергии колебаний со временем объясняется тем, что опускание маятника происходит в наклон-ном положении и работа внешней силы за каждое подтягивание и опускание равна

().

Полная работа внешней силы за период колебаний

.

Здесь - скорость маятника в нижнем положении. Второе слагаемое в скобках учитывает дополнительную работу для создания нормального ускорения .

В силу того, что энергия маятника постоянно возрастает. Учитывая малость можно записать

, или , где .

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

, - начальная энергия.

Таким образом, при выполнении условия (1) энергия колебаний экспоненциально растет со временем. Это явление называется параметрическим резонансом. При наличии трения энер-гия экспоненциально уменьшается со временем по закону

.

Сравнивая два последних выражения, получаем, что параметрический резонанс имеет место при условии . Величинапропорциональна амплитуде колебаний длины маятника. Следовательно, параметрический резонанс, в отличие от обычного резонанса, рассмотрен-ного в лекции 12, может возникать лишь при амплитуде, превышающей некотороепороговое значение.

Параметрические колебания играют очень важную во многих физических системах (генера-торы электромагнитных колебаний, установки с лазерным термоядерным синтезом и т. д.).

Рассмотренные два типа незатухающих колебаний существуют благодаря постоянному вводу энергии в колебательную систему за счет работы внешних сил. Существует еще один важный тип незатухающих колебаний – автоколебания. В этом случае система сама регули-рует поступление энергии от некоторого источника для компенсации потерь на трение. Это осуществляется с помощью некоторого устройства, управляемого посредством обратной связи с колебательной системой.

В отличие от свободных колебаний, амплитуда автоколебаний определяется не начальными условиями, а свойствами самой системы. Примеры механических автоколебаний: механи-ческие часы, колебания струны под действием смычка, движение поршня паровой машины и т.д. Важным частным случаем автоколебаний являются так называемые релаксационные колебания, при которых в системе в течение длительного времени накапливаются измене-ния, а затем происходит резкий переход в первоначальное состояние.

ЛЕКЦИЯ 14

Колебания в системах с медленно изменяющимися параметрами.

В качестве примера такой системы можно снова рассмотреть маятник с переменной длиной при выполнении условия

. (1)

Условие (1) означает, что длина маятника мало изменяется за период колебаний.

Такие изменения параметров колебательной системы называются адиабатическими.

Рассмотрим гармонический осциллятор, описываемый уравнением

,

у которого коэффициент адиабатически изменяется со временем. В этом случае полная энергия зависит от времени. Вычислим производную отпо:

.

При этом движение имеет характер колебаний с медленно изменяющимися периодом и амплитудой. Будем считать, что величина также изменяется медленно. Тогда ее можно представить в виде:

Индекс “0” означает, что значение величины в скобках берется в середине периода колеба-ний. Малая поправка является величиной более высокого порядка малости, чем .

Тогда изменение энергии осциллятора за период колебаний

.

Отбросим в этом выражении и индекс “0” у множителя перед интегралом. Это приведет к ошибке 2 – го порядка малости по . В силу периодичности решения можно положить . Тогда получим

. (2)

Полагая и проводя интегрирование в выражении (2), находим

.

Считая, что , приходим к уравнению

.

Интегрируя и учитывая, что , получим

, , или , .

Таким образом, при адиабатическом изменении параметров колебательной системы существуют функции ее параметров, которые остаются постоянными. Такие функции называются адиабатическими инвариантами.

Адиабатические инварианты являются эффективным средством исследования колебатель-ных систем различной природы. Они широко используются в теории ускорителей заряженных частиц, в физике плазмы, в атомной физике и т. д.

Пример. Движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле.

Заряженная частица с зарядом , как известно из школьного курса физики, движется в магнитном поле по винтовой линии вдоль направления вектора индукции (рис. 1).

На частицу действует сила Лоренца

,

которая изменяет лишь направление скорости частицы, оставляя неизменной ее кинетическую энергию.

Разложим вектор скорости на составляющие вдоль и перпендикулярно

.

В плоскости, перпендикулярной к второй закон Ньютона имеет вид:

, отсюда (ларморовский радиус).

Таким образом, в плоскости частица вращается по окружности радиусас угловой скоростью(ларморовская частота). В продольном направлении сила Лоренца не влияет на движение частицы, то есть .

В проекции на ось уравнение движения приводится к уравнению осциллятора

.

Рассмотрим теперь движение заряженной частицы в неоднородном магнитном поле ,. Если за период вращения в плоскостимагнитное поле изменяется мало, то его изменение является адиабатическим. В этом случае, как было показано выше существует адиабатический инвариант

, где - кинетическая энергия поперечного движения.

Обычно при рассмотрении таких движений в качестве адиабатического инварианта выбирается магнитный момент

.

Из этого соотношения следует, что при движении в сторону усиливающегося магнитного поля поперечная энергия частицы возрастает. При этом, так как , сохраняется полная энергия, где. Значит при возрастаниидолжна убывать продольная энергия, то есть частица будет тормозится в нарастающем магнитном поле. В момент, когдаобратится в нуль, произойдет отражение частицы от области сильного магнитного поля. Поэтому в физике плазмы такие области называютмагнитными зеркала-ми, или магнитными пробками. Это явление используется для удержания горячей плазмы в магнитных ловушках (пробкотронах). Аналогичный характер имеет движение заряженных частиц в магнитном поле Земли. В этом случае, частицы отражаются от областей более сильного поля в области полюсов.

ЛЕКЦИЯ 15

Колебательные системы со многими степенями свободы. Связанные колебания.

Колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы.

Р

ассмотрим шарик, прикрепленный к прямоугольной рамке четырьмя взаимно перпенди-кулярными натянутыми пружинами как показано на рис. 1.

1. Пружины одинаковы.

Траектория движения шарика определяется начальными условиями.

1) .

.

Шарик движется по прямой линии, проходящей через начало координат.

2) .

.

Ш

арик движется по эллипсу с полуосямии.

2. Пружины разные.

Пусть, например, . В этом случае за одно полное колебание по осишарик совершит два колебания по оси(рис. 2). Такие траектории при кратных частотах по осяминазываютсяфигурами Лиссажу. Их можно визуально наблюдать на экране осциллографа при соответствующем выборе частот напряжений, подаваемых на вертикальные и горизонтальные пластины.

Связанные колебания большого числа материальных точек.

М

ы рассмотрели колебания одной материальной точки с двумя степенями свободы. Перейдем к рассмотрению колебательных систем из большого числа материальных точек, связанных между собой посредством упругих сил. Примером такой системы является натя-нутая струна, в которой колебания каждого ее элемента определяется колебаниями соседних элементов. Для выяснения физической сущности таких процессов рассмотрим простую систему из двух шариков, способных двигаться по вертикальным стержням и связанных с помощью пружин между собой и со стенками (рис. 3). Такая система имеет две степени свободы -и. При этом сила, действующая на каждый шарик зависит от эти двух координат. Для простоты шарики и пружины будем считать одинако-выми. Будем также предполагать, что пружины сильно натянуты, а колебания являются малыми. При этих условиях будет обеспечена пропорцио-нальнось возвращающей силы смещению шариков вдоль стержней.

Для описания движения такой системы удобно выделить два важных типа колебаний.

Парциальные колебания: один из шариков закреплен в положении равновесия. В общем случае частоты таких колебаний иразные. Они называютсяпарциальными частотами. В нашем частном случае .

Нормальные колебания: все точки системы совершают колебания с одинаковой частотой.

Т

акие частоты называютсянормальными частотами. В нашей системе нормальные колеба-ния с частотами ивозникают при двух типах начальных условий: 1) оба шарика отклонены от положения равновесия в одну сторону; 2) шарики отклонены на одинаковое расстояние в разные стороны (рис. 4). В первом случае колебания происходят в одинаковой фазе, а во втором – в противоположных фазах. При этом , так как средняя пружина не деформируется в таких колебаниях. Во втором типе начальных условий средняя пружина деформирована сильнее, чем при парциальных коле-баниях, поэтому . Произвольные начальные отклонения шариков , можно всегда представить в виде суммы начальных отклонений этих двух типов с амплитудами

, .

Этот простой факт является отражением более общего утверждения: любое сложное движе-ние связанной колебательной системы есть сумма нормальных колебаний с различными частотами и начальными отклонениями.

Таким образом, движение при любых начальных условиях в нашей системе с двумя степе-нями свободы является суммой гармонических колебаний с частотами и. Такие движения называютсябиениями. Рассмотрим сумму двух колебаний с одинаковыми ампли-тудами с близкими частотами и нулевыми начальными фазами:

.

П

риможно рассматривать такое движение (биение) как колебание с медленно изменяющейся амплитудой (рис. 5).

, где -

период биений.

ЛЕКЦИЯ 16

Волны в упругих средах.

Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.

В волне в упругой среде (газ, жидкость, твердое тело) происходят колебания малых частиц среды. Продольные волны – частицы среды совершают колебания вдоль направления рас-пространения волны (звуковые волны). Поперечные волны – направление колебаний пер-пендикулярно направлению распространения волны (волна в струне).

О

бозначим черезсмещение частиц среды в волне относительно их положения равновесия. Тогда распределение смещений частиц вдоль направления распространения волны имеет вид, представленный на рис. 1.Длина волны – расстояние между ближайшими точками среды, в которых колебания частиц происходят в одинаковой фазе (например, расстояние между двумя “горбами”).Скорость волны – скорость перемещения фазы колебаний частиц (скорость движения “горба”). Поэтому такую скорость называютфазовой скоростью. Из этих определений следует соотношение

, где - период колебаний частиц.

Уравнением волны называют зависимость

.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых колебания частиц в волне происходят в одинаковой фазе. В простейшем случае плоской волны волновая поверхность представляет собой плоскость.

Получим уравнение плоской волны. Пусть в плоскости колебания частиц происходят по закону, где. Через времяфаза колебаний в точкедостигнет точки. Следовательно для смещений в точкеполучим

.

Это соотношение называется уравнением плоской волны. Для записи уравнения волны удобно ввести волновое число - . Тогдаи выражение дляпринимает вид:

. (1)

Такая форма уравнения обычно и используется при рассмотрении волновых процессов. Уравнение (1) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси . Для волны в противоположном направлении

.

Мы будем рассматривать волны малой амплитуды. Для таких волн выполняется принцип суперпозиции

.

Он означает, что результатом взаимодействия двух или большего числа волн малой ампли-туды является сумма смещений частиц в каждой волне. Поэтому волны малой амплитуды называют линейными волнами. Волны большой амплитуды являются нелинейными. Их взаимодействие происходит по более сложным законам.

Уравнение (1) соответствует случаю монохроматической волны (). Этот термин сначала возник в оптике, но в дальнейшем стал использоваться и для волн в упругих средах.

Монохроматическая волна является некоторой идеализацией. На практике мы обычно имеем дело с ограниченными волновыми возмущениями (волновыми пакетами). Именно такие процессы переносят энергию и импульс в пространстве. При этом пакет волн можно пред-ставить в виде суммы (или группы) монохроматических волн. Он движется как целое с групповой скоростью. Для выяснения физического смысла этих понятий рассмотрим прос-тейший пример группы волн – две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частота- ми и длинами волн:

, ,

где ,. По принципу суперпозиции суммарное смещение частиц в пакете

.

Т

акой процесс называетсябиением волн. В этом случае основная волна модулируется по амплитуде огибающей волной с малой частотой и большой длиной волны (рис. 2). Очевидно, групповая скорость в нашем случае равна фазовой скорости огибающей волны

.

В пределе при получим

.

Значит, чтобы найти групповую скорость нужно знать зависимость . Такая зависимость называетсядисперсионным уравнением. В частности, для звука в газе (нет дисперсии) и в этом случае, то есть групповая скорость совпадает с фазовой. Например, для волн на поверхности воды имеет место дисперсия и.

ЛЕКЦИЯ 17

Упругие деформации твердого тела.

Упругая деформации – после прекращения внешнего воздействия тело принимает перво-начальную форму. Если форма тела при этом изменяется, то деформация называется пластической. Рассмотрим различные типы упругих деформаций.

1. Деформации растяжения и сжатия.

Р

ассмотрим растяжение (сжатие) под действием силы упругого стержня, закрепленного на одном конце (рис. 1). Начальная длина стержня равна , изменение длины - ,а площадь поперечного сечения - . Для описания упругой деформации стержня вводятся следующие величины.

Относительное удлинение: (- растяже-нее, - сжатие).

Нормальное напряжение: , = 1= 1 Па.

Для малых () упругих деформаций растяжения и сжатия выполняется закон Гука:

.

Коэффициент называется модулем Юнга. Он зависит от свойств вещества стержня. Можно записать закон Гука в другом виде:

,

где - коэффициент жесткости. Он зависит от свойств вещества и от геометрических размеров стержня.

Потенциальная энергия упругой деформации растяжения (лекция 5)

,

где - объем стержня. Важной величиной, характеризующей деформацию является плотность энергии деформации

.

При растяжения стержня радиуса на величину изменяется также поперечный размер стержня. Из опыта следует, что для упругих деформаций

.

Постоянная величина называется коэффициентом Пуассона. Она определяется свойствами вещества стержня.

2. Деформация сдвига.

В

этом случае внешняя сила приложена по касательной к одной из поверхностей тела имеющего форму параллелепипеда, закрепленного на противоположной грани (рис. 2). В этом случае происходит сдвиг верхней грани на расстояниеи соответствующий поворот вертикального ребра на угол. Для описания такой деформации вводят понятияотносительного сдвига и тангенциального напряжения:

, .

Закон Гука для деформации сдвига (при ) имеет вид:

,

где - модуль сдвига, зависящий от свойств вещества твердого тела.

При перемещении верхней грани тела на расстояние сила совершает полную работу , так как перемещение нижних слоев линейно спадает до нуля. Тогда потенциаль-ная энергия деформации сдвига

.

Следовательно, плотность энергии деформации сдвига

.

Рассмотренные два вида деформаций относятся к однородным деформациям. Неоднородные деформации представляют собой совокупность однородных деформаций, имеющих разную величину в разных точках тела. Рассмотрим две такие деформации.

3. Деформация кручения.

Р

ассмотрим цилиндрический стержень радиуса , закрепленный на верхнем конце, к нижнему концу которого приложена пара сил и (рис. 3). При этом произойдет поворот начального положения радиуса нижнего основания на угол . При имеет место закон Гука для деформации кручения:

,

где - момент пары сил,-модуль кручения стержня, зависящий от материала стержня и его размеров. Если мысленно разделить стержень на тонкие цилиндрические трубки, то деформацию кручения можно представить в виде набора деформаций сдвига для узких вертикальных слоев, из которых состоит каждая из трубок. Это приводит к тому, что модуль кручения пропорционален модулю сдвига.

4. Деформация изгиба.

Р

ассмотрим стержень, лежащий на двух опорах, прогнувшийся под действием силы тяжести (рис. 4). При этом центральная линия, отмеченная пунктиром не изменяет своей длины. Поэтому ее называютнейтральной линией. Слои выше центральной линии сжимаются, а ниже – удлиняются. Таким образом, деформация изгиба представляет собой совокупность деформаций растяжения и сжатия. Точка , отстоящая от центральной линии на расстоянии радиуса кривизны называется осью изгиба.

Закон Гука для деформации изгиба имеет вид:

,

г

де - нормальное напряжение вдоль слоя, отстоящего от нейтральной линии на рассто-янии . Напряжение вдоль нейтральной линии равно нулю. По этой причине нет необхо-димости использовать сплошные стержни для повышения прочности. Можно использовать более легкие профили типа швеллеров, у которых осевая часть имеет меньший поперечный размер (рис. 5).

ЛЕКЦИЯ 18

Скорость волны в упругой среде. Стоячие волны.

Вычислим скорость распространения малых продольных возмущений в стержне, возни-кающих в результате действия постоянной силы , приложенной в некоторый момент времени к его свободному концу. Другой конец стержня закреплен (рис. 1).

О

бозначим через- скорость распространения возмущения в стержне, а через- скорость движе-ния вещества в возмущенной области. При этом. Черезобозначим массу деформированной части стержня в момент . Тогда второй закон Ньютона для деформированной части примет вид:

.

За время возмущение проходит путь, значит масса возмущенной части . Выражая силу через нормальное напряжение, запишем второй закон в виде

.

Относительное удлинение возмущенной части стержня

.

Тогда с помощью закона Гука можно представить скорость движения возмущения в виде:

. (1)

Для возбуждения продольной волны к концу стержня нужно приложить периодическую силу . При этом скорость волны будет также определяться выражением (1).

Стоячие волны.

При наличии границ в упругой среде могут возникать колебания особого вида – стоячие волны. Они, например, возникают в натянутой струне с закрепленными концами. Для получения уравнения стоячей волны рассмотрим две одинаковые волны, распростра-няющиеся в противоположных направлениях:

, .

По принципу суперпозиции для суммарного возмущения имеем

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением стоячей волны.

Из уравнения (2) следует, что амплитуда колебаний в стоячей волне зависит от .

М

аксимумы амплитуды (пучности):

,

Минимумы амплитуды (узлы) :

.

Расстояние между узлами равно . Фаза колебаний частиц между узлами одинакова. Слева и справа от узла фаза отличается на(рис. 2).

Пример. Колебания струны, закрепленной на концах.

Для стоячей волны в струне длины должно выполняться условие

,

Следовательно, частоты возбуждаемых стоячих волн (собственные частоты колебаний струны) должны иметь значения

,

где - фазовая скорость волны в неограниченной струне. Очевидно, скорость волны должна зависеть от свойств струны. Найдем эту зависимость.

Скорость волны в натянутой неограниченной струне.

П

ерейдем к системе отсчета, движущейся со скоростью волны. В такой системе форма изгиба струны будет неизменной, а она сама будет пролетать мимо наблюдателя со скоростью. При этом мы пренебрежем скоростью поперечного движения частиц струны, считая колебания малыми. Выделим мысленно малый элемент струны длиныи радиуса кривизнывблизи “горба” волны (рис. 3). На его концы действует сила натяжения . Тогда результирующая сила, действующая на него

.

Обозначим линейную плотность струны (массу единицы длины) через . Второй закон Ньютона для элемента можно записать в виде

. Отсюда находим .

ЛЕКЦИЯ 19

Звуковые волны в газе. Эффект Доплера.

В газах могут распространяться только продольные волны. Звуковые волны в воздухе имеют частоты примерно от 16 Гц до 20 кГц. Волны с 16 Гц называютинфразвуком, а с 20 кГц –ультразвуком.

Интенсивность звука - средняя по величине энергия, переносимая звуковой волной через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны в единицу времени. 1 Вт/м² .

Порог слышимости: 10^-12 Вт/м². Уровень громкости: , 1 Белл (Б). Обычно измеряют уровень громкости в децибелах: 1 дБ = 0.1Б. Для нормальной речи уровень громкости составляет порядка 60 дБ. Двигатель самолета на расстоянии 5 м дает громкость около 120 дБ.

Скорость звука в газе.

Значение скорости звука в газе определяется упругими свойствами этого газа. Скорость звука можно вычислить, используя выражение для скорости волны в упругом стержне , полученное в лекции 18. Вместов него нужно подставить значение “модуля Юнга” для газа, вытекающее из связи между изменениями его давления и объема. При распространении звуковой волны в газе области сгущения и разрежения не успевают обме-ниваться теплом. Такие процессы в термодинамике называются адиабатическими. Они будут подробно изучаться в курсе молекулярной физики. Здесь мы просто воспользуемся уравнением Пуассона для адиабатического процесса

, (1)

где ,и- соответственно теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме.

Д

ля нахождения вместо твердого стержня рассмотрим цилиндрический сосуд с поршнем, создающим давление (рис. 1). Нам нужно получить для газа соотношение типа закона Гука

.

Если рассматривать давление как функцию объема, то можно записать

, .

Знак “-“ стоит для того, чтобы получить , так как для газа . Из уравнения (1)

находим

, ,.

Для идеального газа с помощью уравнения Клапейрона приходим к выражению

,

где - универсальная газовая постоянная,- абсолютная температура,- молярная масса газа.

Эффект Доплера – изменение частоты при движении источника звука относительно наблюдателя.

П

усть источник звука и приемник неподвижны. Обозначим частоту звука в этом случае через. Тогда за 1 секунду на расстоянииот источника уложитсягребней (максимумов) звуковой волны (рис. 2). Если источник движется, то такое же число гребней уложится на меньшем расстоянии, равном. Следовательно, приемник воспримет длину волны и частоту соответственно равные

, . (2)

Таким образом, при приближении источника к приемнику () частота восприни-маемых колебаний возрастает, а при удалении от него () – уменьшается. Рассуждая аналогичным образом можно получить формулу для частоты при неподвижном источнике и движущемся приемнике

. (3)

И в этом случае при приближении приемника к источнику частота возрастает, а при удале-нии от него понижается. Выражения (2), (3) отличаются друг от друга. Это связано с тем, что при движении источника звука среда будет возмущаться по другому по сравнению со случаем неподвижного источника.

Объединяя выражения (2), (3), можно получить формулу для частоты, когда и источник и приемник движутся вдоль соединяющей их прямой

.

ЛЕКЦИЯ 20

Принципы относительности Галилея и Эйнштейна. Специальная теория относительности.

Преобразования Галилея.

Р

ассмотрим некоторую инерциальную систему отсчетаи другую систему отсчета, движущуюся относительнос постоянной скоростью. Для простоты будем считать, что в начальный момент времениобе системы координат совпадают и скоростьнаправлена вдоль оси. Тогда в дальнейшем осиибудут совпадать, а оси,будут оставаться параллельными друг другу (рис. 1). Пусть в момент(в классической механике) материальная точка находится в поло-жениис радиусами-векторамиив системахисоответственно. Тогда получим

, .

Эти соотношения называются преобразованиями Галилея. Если выразить через, то получим обратныепреобразования Галилея

, .

При получении этих соотношений кроме абсолютности времени предполагалась также и абсолютность пространства, так как мы складывали векторы и, измеренные в разных системах отсчета.

Принцип относительности Галилея (в современной формулировке).

Уравнения Ньютона для материальной точки, а также для системы материальных точек одинаковы во все инерциальных системах отсчета (инвариантны относительно преобразований Галилея).

Принцип относительности Эйнштейна.

Законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой из инерциальных систем отсчета относятся эти изменения.

Гипотеза мирового эфира.

В XIX в. получила широкое распространение гипотеза, согласно которой все пространство заполнено особой средой – эфиром. Эфир абсолютно неподвижен и не участвует в движении тел. При этом электромагнитные явления рассматриваются как некоторые процессы в такой среде. В частности, световые волны представляются в виде колебаний эфира, подобно звуко-вым волнам в упругой среде. При таком описании, скорость света по отношению к телам движущимся относительно эфира со скоростью может принимать значения, где- скорость света относительно неподвижных тел, то есть должен возникать так называемыйэфирный ветер. В опытах Майкельсона и Морли (1881 г. и 1887 г.) было показано, что никакого эфирного ветра нет. В них в качестве движущегося тела выступала сама Земля, а возможные изменения скорости света определялись по интерференционной картине в интер-ферометре. В дальнейшем этот результат был сформулирован в виде следующего постулата.

Постулат Эйнштейна.

Скорость распространения света в вакууме не зависит от источника света и одинакова во всех направлениях.

Н

езависимость скорости света от движения системы отсчета приводит к необходимости изменения классических представлений о пространстве и времени. Это можно проиллю-стрировать, например, с помощью следующего парадокса. Рассмотрим две инерциальные системы отсчетаи, совпадающие друг с другом в некоторый момент времени. Пусть в этот момент источник в точкеиспускает световой импульс. Тогда в системесветовое излучение достигнет сферы, а в системе- сферы(рис. 2). Это говорит о том, что события одновременные в системе(достиже-ние излучением сферы) являются неодновременными в системе. Следовательно, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой время должно преобразовывать-ся вместе с координатами. Преобразования, которые сохраняют скорость света постоянной, но учитывают кроме изменения координат и изменение времени были получены Лоренцем. Мы приведем их для случая инерциальных систем, представленных на рис. 1.

Преобразования Лоренца:

, ,,,.

Обратные преобразования Лоренца:

, ,,.

При преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, то есть выполняется принцип соответствия.

Принцип относительности, постулат о постоянстве скорости света и преобразования Лоренца легли в основу специальной теории относительности Эйнштейна (1905 г.), описывающей движение тел при скоростях, сравнимых со скоростью света. Специальной она называется потому, что справедлива только в инерциальных системах отсчета. Для случая произвольных систем отсчета Эйнштейном в дальнейшем была создана общая теория относительности, или релятивистская теория гравитации.

Одним из эффектов теории относительности является замедление хода часов в движущейся системе отсчета. Если в в точкепроизошли два события в моменты времении, то из преобразований Лоренца следует, что интервалы между этими событиями висвязаны соотношением

, то есть .

ЛЕКЦИЯ 21

Законы релятивистской механики.

Преобразования Лоренца оставляют неизменной величину

,

называемую интервалом. Ее можно рассматривать как расстояние между двумя точками в четырехмерном пространстве (пространство Минковского) с координатами

, ,,, где.

Для двух инерциальных систем отсчета и, аналогичных тем, что мы рассмотрели в предыдущей лекции, с помощью преобразований Лоренца можно получитьформулу сложе-ния скоростей в релятивистской механике:

, , .

При эти выражения переходят в классическую формулу сложения (лекция 1). В случае получаем . Этот результат является выражением постулата о постоянстве скорости света во всех инерциальных системах отсчета.

Можно показать, что импульс, определяемый классической формулой не сохраняется в релятивистской механике. Для выполнения закона сохранения нужно использовать следующее определение релятивистского импульса:

,

Под здесь понимается так называемаямасса покоя, которую имеет тело при , то есть обычная классическая масса. Физический смысл этой величины мы рассмотрим далее.

Второй закон Ньютона обобщается на случай релятивистского движения следующим образом:

, или .

Релятивистский импульс можно выразить в виде

, где -релятивистская масса.

Если ввести “собственное время”

,

то можно представить в классической форме записи

.

В релятивистской динамике вводится важная величина , называемаярелятивистским фактором. При этом релятивистский импульс можно выразить как . В случае и уравнения релятивистской динамики переходят в классические законы Ньютона. При скоростях тел, близких к скорости света.

Рассмотрим теперь выражение для релятивистской энергии. Его можно получить посред-ством вычисления элементарной работы силы (лекция 5)

.

После несложных преобразований можно получить

.

Константа добавлена для того, чтобы кинетическая энергияобращалась в нуль при. Таким образомрелятивистская кинетическая энергия

.

При она переходит в классическое выражение.

Величина называетсяполной релятивистской энергией тела, а величина -энергией покоя тела. Энергия покоя отражает глубокую физическую связь между массой тела и энергией, содержащейся в нем. Она может изменяться в ядерных взаимодействиях. Так происходит, например, при образовании ядер из отдельных нуклонов (дефект массы ядер). При этом полная релятивистская энергия замкнутой системы сохраняется.

ЛЕКЦИЯ 22

Движение тел в неинерциальных системах отсчета.

Пусть ускорение материальной точки равно в инерциальной системе отсчетаи равнов неинерциальной системе. Рассмотрим разность этих ускорений

.

Для поступательного движения системы величинаравна ускорению системыотносительно.

В инерциальной системе , где- сила, действующая на материальную точку со стороны некоторого тела. Тогда ускорениеможно представить в виде

.

Умножая это уравнение на массу , получим

.

Для того, чтобы сохранить вид 2-го закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета, удобно ввести силу инерции

.

Тогда 2-ой закон Ньютона в неинерциальной системе можно представить в виде

.

Сила инерции не является силой по определению, данному в лекции 3. Это некоторое формальное понятие, удобное для описания движения в неинерциальных системах. Однако, как будет видно из дальнейшего рассмотрения, ее проявления являются совершенно реальными.

В случае вращательного движения системы так просто ввести силу инерции уже не удается, так как в этом случае разные точкидвижутся с разным ускорением. Рассмотрим силы инерции во вращающейся системе на простом примере. Будем считать, что системапредставляет собой равномерно вращающийся с угловой скоростьюплоский диск радиуса(рис. 1). Пусть материальная точка массыдвижется по краю диска со скоростьюотносительно диска. Скорость точки относительноравна

.

Ускорение относительно инерциальной системы

.

В неинерциальной системе

, .

Как следует из опыта, реальная сила, действующая на материальную точку со стороны других тел, не зависит от системы отсчета, то есть . Тогда последнее уравнение можно переписать в виде

.

Здесь -сила Кориолиса, -центробежная сила. Знак минус означает, что в данном случае обе силы направлены в сторону от центра диска. Как видно из этих выражений, во вращающейся системе сила Кориолиса возникает только в случае дви-жения материальной точки в этой системе ().

Можно показать, что в общем случае вектор силы Кориолиса выражается через вектора иследующим образом

.

Земля представляет собой естественную вращаю-щуюся систему отсчета с периодом вращения 24 часа. Поэтому на тела, движущиеся относительно Земли, действует сила Кориолиса. На рис. 2 показаны направления ее действия для различных случаев движения. Ее действие проявляется, например, в том, что у рек в северном полушарии всегда подмывается правый берег, а у рек в южном полушарии – левый.

ЛЕКЦИЯ 23

Движение в гравитационном поле.