9.3. Определитель произведения матриц.

Теорема. Пусть А, В М_п(Р). Тогда |AB| = |A| |B|.

Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го типа над строками матрицы А (см. Теорему из 4.2) приведем её к ступенчатому виду: А…. Каждому ЭП над строками матрицы соответствует умножение этой матрицы на соответствующую элементарную матрицу слева. Таким образом, существуют элементарные матрицыР₁, Р₂,…,P_k такие, что P_k…Р₂Р₁А = . Очевидно,

|| =(-1)^s|A|, где s – количество элементарных матриц II-го типа среди Р₁, Р₂ ,…,P_k . Рассмотрим два случая.

1. |A| = 0. Тогда последняя строка матрицы - нулевая, и значит, последняя строка матрицыВ – также нулевая. Следовательно, 0 = |В| = |P_k…Р₂Р₁АB| = (-1)^s|AB|  |AB| = 0 = =|A| |B|. В этом случае утверждение доказано.

2. |A|  0. В этом случае последняя строка матрицы - ненулевая, и матрица- треугольная. Далее как в4.4, начиная с последней строки, с помощью только ЭП-I над строками можно сделать над каждым диагональным элементом нули, то есть получить диагональную матрицу D = diag(d₁,…,d_n):

…D. Значит, существуют элементарные матрицы I-го типа Q₁, Q₂,…,Q_t такие, что Q_t…Q₂Q₁=D,

Q_t…Q₂Q₁P_k…Р₂Р₁А= D, и |A|= (-1)^s||= (-1)^s|D|=(-1)^sd₁,…,d_n. Но при умножении матрицы В на D слева 1-я строка матрицы В умножается на d₁, 2-я строка матрицы В умножается на d₂ и т.д., то есть |DB| =d₁,…,d_n|B| =|D||B|. Следовательно,

|AB|=(-1)^s|Q_t…Q₂Q₁P_k…Р₂Р₁АB|=(-1)^s|DB|=(-1)^s|D||B| =|A||B|.

Таким образом, в случае 2 утверждение также доказано.



Лекция 19.

9.4. Обратная матрица.

Утверждение. Пусть А - (т,п)-матрица, В - (п,k)-матрица. Тогда (АВ) ^t = В ^tА ^t.

Доказательство. Заметим, что произведение В^tА^t определено, так как В ^t - (k,п)-матрица, а А ^t - (п,т)-матрица. Кроме того (АВ) ^t и В ^tА ^t – матрицы одного типа.

Очевидно, (i,j)-й элемент матрицы (АВ)^t равен ((АВ)^t)_i,j= =(АВ)_j,i = А_jВⁱ = (j-я строка матрицы А)(i-й столбец матрицы В) = (В ^t)_i(А ^t)^j = (i-я строка матрицы В ^t)(j-й столбец матрицы А ^t) = (В ^tА ^t)_i,j.



В 8.4 мы доказали, что если левая и правая обратные матрицы для (п,п)-матрицы А существуют, то они совпадают.

Теорема. А^-1   |A|  0.

Доказательство. . Пусть А^-1= В . Тогда АВ = Е  |АВ| =|А||В| = |E| = 1  |A|  0.

 . Пусть |A|  0. Найдем правую обратную матрицу Х такую, что АХ = Е. Столбцы матрицы Х обозначим Х¹, Х²,…,Х^п, а столбцы матрицы Е обозначим Е¹, Е²,…,Е^п. Тогда из уравнения АХ = Е, записывая матрицы X и E через столбцы, получим уравнение А( Х¹, Х²,…,Х^п) = (Е¹, Е²,…,Е^п), или

(АХ¹, АХ²,…, АХ^п) = (Е¹, Е²,…,Е^п)  АХ ⁱ = Е ⁱ  i . Так как |A|  0, то по правилу Крамера решение Х ⁱ  i существует и единственно. Таким образом, доказано, что правая обратная матрица для А существует и единственна. Аналогично можно доказывать существование левой обратной матрицы. Но можно поступить иначе. Так как |A ^t| = |A|  0, то для A^t по доказанному существует правая обратная матрица Y, то есть A^tY = Е  (A^tY) ^t = Е ^t= Е  Y ^tA^tt= Е  Y ^tA= Е  Y ^t – левая обратная матрица для А.



Далее мы найдем, какой вид имеет обратная матрица.

Рассмотрим уравнение для i-го столбца обратной матрицы АХ ⁱ = Е ⁱ из доказательства предыдущей теоремы. Так как Е ⁱ= - здесь 1 находится на i-м месте, Х ⁱ =, то по правилу Крамерах_ki = _k / |A|, k = 1,…,п, где _k - определитель, полученный из определителя |A| заменой k-го столбца на Еⁱ. Из разложения _k по k-му столбцу получим, что _k=А_ik – алгебраическое дополнение к (i,k)-му элементу в |A|. Значит, х_ki = А_ik/|A|, i, k = 1,…,п. Матрица А* = (_ki), где

_ki = А_ik, называется присоединенной матрицей к А. Таким образом, нами доказана

Теорема. Если |A|  0, то А^-1 , и А^-1=(1/|A|)А*.

Упражнение. Проверить, что АА*=А* А = |A|E при любом |A|.