Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ODU_4.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

726 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.

Теорема:

Рассмотрим систему y′ = Ay + f (x, y) (1). Пусть A – постоянная матрица с дейст-

вительными коэффициентами, размера (n ×n). А f (x, y) – n-мерная действительная век-

тор-функция, непрерывная по y в полуцилиндре: {(x, y) Rn+1 | x ≥ x0 ,

≤ γ},

причем

f (x, y)

≤

α(

) – не зависит от x, где α(t)→ 0 при t → +0, α(0)= 0 .

Далее,

пусть Reλi ≤ −a < 0 , где λ1 – собственное значение матрицы A (i =

)

(некото-

1, n

рые могут совпадать), a = const > 0 . Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство:

◄ Мы сведем эту теорему к проверке выполнимости условия леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

По лемме: существует матрица T (n ×n) с условием detT ≠ 0 : матрица B =T −1 AT будет иметь вид:

λ1		… …	0
	ε1
	ε1			,
B =				,

	0	… ε −	λ
		n 1	n

где λ1 – собственное значение матрицы A (i =1, n)(некоторые могут совпадать), а

εi = a, i =1, n −1

(a – из условия теоремы). Положим y =Tz , подставим в (1):

y′ =Tz′ = Ay + f (x, y)= ATz + f (x,Tz)

z′ =T −1 ATz +T −1 f (x,Tz)

z′ = Bz + f (x, z) (2).

Положим: v(y)= T −1 y 2 = z 2 , w(y)= a v(y). Выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости:

1)	v(y) C1 – верно,
2)	v(y)≥ 0 , v(y)= 0 y = 0 ,
Осталось проверить условие:
	n
3)	∑∂∂vy(y)(Ay + f (x, y))i ≤? − w(y).
	i =1	i	ri (x, y )

Заметим, что

1)w(y) C ,

2)w(y)≥ 0 , w(y)= 0 y = 0 .

Проверку условия 3) проведем в 3 этапа. Сделаем некоторые оценки.

Пусть

t11	… t1n					1
			n	ti, j	2	2
T =		, M =	∑	ti, j		,
tn1	… tnn		j =1

тогда

= ∑

∑ti, j z j

≤ ∑

∑

ti, j

∑

z j

= M 2

≤ M

i =1

j =1

i=1

j =1

Аналогично

≤ M1

f (x, z)2

T −1 f (x,Tz)

2 ≤ M12

f (x,Tz)

) (3)

f (x, z)

≤ M1

f (x,Tz)

≤ M1

α(

)≤ M1 M

α(

Запишем подробно систему (2):

+z1 z1′ = λ1z1 f1 (x, z)

+z2 z2′ = ε1z1 + λ2 z2 + f2 (x, z)

+zn z′n = εn−1zn−1 + λn zn + fn (x, z)+

Запишем

комплексно

сопряженну ю матрицу

z +

f (x, z)

z z′ = λ

+ z

z′

= ε z + λ z + f (x, z)

+ z

z′

= ε

f (x, z)

n−1

+ λ

Пусть y = y(x) – решение системы (1), а z = z(x) – решение системы (2), тогда

dv(y)= d (T

= d

= d ∑zi zi = ∑(zi′ z + zi zi′) =

−1

i=1

леваячастьпредыдущейсуммы

= ∑n (λi zi zi

zi zi )+ ∑n−1 (εi zi zi

+1 +εi zi zi+1 )+

λi

i=1

(сλi )

i=1

(сεi )

+ ∑n (fi zi + fi zi )= J1 + J2 + J3

i =1

Оценим каждое J1,

J2 , J3 .

J1 = ∑(λi + λi

)

2 ( R)

= ∑2(Reλi )

2 ≤ −2a∑

2 = −2a

2 .

i =1

2 Re λi

i =1

n−1

(2ab≤a 2

2 )n−1

εi ≤

n−1

J2 = ∑εi (zi zi +1 + zi zi +1 )

≤

∑εi

zi +1

≤

a ∑(

2 +

zi +1

2 )≤

i =1

4 i =1

≤

n−1

zi +1

≤

∑

+ ∑

∑

+ ∑

i =1

i=1

i =1

неравенств о Коши

J3 = ∑(zi fi

+ zi fi )( R)

≤ ∑2

(a,b)

≤

∑

≤

M1 M

α(

i =1

2 Re(zi fi )

2 ≤ a

i =1

≤

i =1

(см. оценку (3))

= 2M1M α

(

)

так как α(t)→ 0

при

t → +0

(то есть h > 0 Rn ,

при достаточно малых

< h : 2M1M α(

)≤

a ).

{(x, y)| x ≥ x0 ,

<η},

поскольку

Возьмем произвольную точку (x, y ) из полуцилиндра

через эту точку проходят интегральная линия

y(x)

(по теореме о ! решения задачи Ко-

ши), то в этой точке будет

dv(y(x))

∂v(y )

z(x)

∑

∂y

(Ay

+ f (x, y ))i

J1 + J2 + J3 ≤ − 2a

+ +

i =1

− a z(x)

= −av(y )= −w(y ),

(y(x)= ~y ).

То есть выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. ►

Лемма Адамара.

Лемма:

(то есть x, y G : {(1 −t)x +ty | 0 ≤ t ≤1} G

Пусть G – выпуклая область в Rn

отрезок, соединяющий x и y ).

M – метрическое пространство, а функции

f : G ×M → R

(f (x, μ)) и

∂f

: G ×M → R ,

∂xj

j =

непрерывны на G × M .

1, n

− xi ), где ϕi : G ×G × M → R

Тогда x, y G , μ M

f (y, μ)− f (x, μ)= ∑ϕi (x, y, μ)(yi

i =1

непрерывна на G ×G × M ,

i =

1, n

Доказательство:

◄ По формуле Ньютона-Лейбница

f (y, μ)− f (x, μ)= f ((1 −t)x +ty, μ)

tt ==10 = ∫1

f ((1 −t)x + ty, μ)dt =

0 dx

1 1

= ∫∑∂i f ((1−t)x +ty, μ) (yi − xi ) = ∑

∫∂i f ((1 −t)x + ty, μ)dt (yi − xi ).

0 i=0		i =1 0
		ϕi (x, y,μ)
Непрерывность ϕi (x, y, μ) вытекает из непрерывность интеграла по параметру (по теоре-
ме из математического анализа). ►
Замечание 1: limϕi (x, y, μ)=	∂f	(x, μ) (надо подставить x вместо y )
Замечание 1: limϕi (x, y, μ)=	∂xi	(x, μ) (надо подставить x вместо y )
y→x	∂xi
y→x

Замечание 2: Если f (x, μ) имеет непрерывные смешанные производные по xi до порядка k включительно и эти производные непрерывны на G ×M , ϕm (x, y, μ) имеет непрерывную смешанную производную по xi и yi ( m =1,n ) до порядка k −1 включительно и

эти производные непрерывны на G ×G × M . Это следует из свойств интеграла (по теореме из математического анализа).

Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.

Теорема:

Пусть G – область в Rn . [α, β] – отрезок, а отображение f : G ×]α, β[→ Rn не-

прерывно,

(f (x, y, μ)),

∂f

так же непрерывны на

f : G ×]α, β[,

i =

1, n

∂y

∂μ

пусть y(x) – решение задачи Коши:

y′ = f (x, y, μ) (1)

y(x )= y

(2) ,

(τ)

−1

(]−δ,δ[), при некотором

δ > 0 .

определенное на [a,b]. Функции x0

, y0 (τ),

μ(τ ) C

Причем x0

(0)= x0 , y0 (0)= y0 , μ(0)= μ .

Теперь γ > 0 τ ]−γ,γ[ Существует единственное решение задачи Коши:

~ ~

y′ =

f (x, y, μ(τ )) (3)

~ ~

(τ )

(4)

y(x0 (τ ))

= y0

определенное так же на

дифференцируема по τ

при τ = 0 и

[a,b], причем y(x,τ ),

∂y

τ =0 , удовлетворяет условию

∂τ

∂

∂y

′

∂y

′

fy (x, y(x),

μ)

+ fμ

(x, y(x), μ)μ (0) (5).

∂x

∂τ

τ =0

матрица

Якоби

∂τ

τ =0

∂y

~′

∂τ

= y0 (0)= f (x0

, y0 , μ)x0 (0) (6)

τ =0

x=x0

Замечание: Формулы (5) и (6) получаются формальным дифференцированием по τ , подстановкой τ = 0 и дифференцированием по x тождества

~	~	(τ)+		x	~	(t,τ), μ(τ))dt

y	(x,τ )≡ y0		~ ∫ f (t, y
			x0	(τ )

Доказательство:

◄ По теореме о непрерывном решении по начальным данным и параметру существует единственное решение ~y(x,τ ) задачи (3), (4), определенное на [a,b], при достаточно ма-

лых

(то есть при

< γ ). Далее

∂

− yi

~ ~

(x, y(x), μ)]=

(x, y

(x), μ

(τ ))− f

∂x

τ ≠0

(x)

(τ)−

~ ~

y j (x)− y j

по лемме

∑

(x, y(x),

(τ), y(x), μ)

+ϕ

(x, y

(x),

μ(τ ), y(x), μ)

Адамара

äëÿ n+1переменных

j =1

(x)− y

(x)

(x,τ)

+ψ

(x,τ )

μ(τ)−

∑ ij

j =1

где ψij (x,τ) непрерывна при i =

, j =

1, n

0, n

Положим

(x,τ)− y(x)

z = (x,τ)

тогда z(x,τ ) является решением задачи Коши

∂

z =ψ(x,τ)z +ψ0 (x,τ)

μ(τ)− μ

∂x

~ ~

z(x,τ)

y(x0 (τ),τ)

− y(x0

(τ))

y0 (τ)

− y

y0 − y(x0

(τ))

y0 (τ)− y0 (0)

x=x0 (τ )

y(x0 (0))− y(x0 (τ))

→ y0′(0)− y′(x0 )x0′(0) = y0′(0)− f (x0 , y0 μ)x0′(0)

по теореме

о дифференци

ровании

сложной функции

функция ψ(x,τ)→ fy′(x, y(x), μ), ψ

0 (x,τ)→ fμ′(x, y(x), μ)

(τ)− μ

τ →0

~′

→ μ (0). По теореме о непрерывности по начальным данным и параметру

τ →0

z(x,τ)→ z(x,0), где z(x,0) – решение задачи

τ →0

~′

(x,τ)

− y(x)

′

fy (x, y(x), μ)z + f

(x, y(x), μ)μ (0)

lim z(x,τ)= z(x,0)= lim

τ →0

(x0 )= y0′ − f (x0 , y0 , μ)x0′(0)

∂y(x,τ)

∂y

– удовлетворяет условиям (5), (6).

∂τ

τ =0

∂τ

τ =0

Теорема доказана. ►

Замечание: Все сказанное справедливо при τ

близких к нулю, а не только при τ = 0 , то

есть

∂y

удовлетворяет уравнению

∂τ

∂ ∂y

∂y

= fy′(x, y

(x), μ

(τ))

+ fμ′(x, y

(x), μ

(τ)) μ′(τ).

∂x ∂τ

∂τ

Это уравнение называется уравнением в вариациях.

Следствие 1: Пусть в предыдущей теореме

(τ )=

(i =1,n) и

x0 (τ)=τ;

(y0 )i

(y0 )i = const

∂y

μ(τ )= μ = const , тогда

удовлетворяет условиям

∂x

∂

∂y

fy′(x, y(x), μ)

∂y

∂x

∂y

= − f (x0 , y0 , μ)

∂x0

Следствие 2: Пусть

x=x0

(τ)= x0

= const;

предыдущей

теореме

(y0 )i (τ)=τ

∂y

(y0 )j

(τ )= (y0 )j = const

(i ≠ j)

и μ(τ )= μ

= const , тогда

удовлетворяет условиям

∂(y0 )i

∂

∂y

fy′(x, y(x), μ)

∂y

∂x

∂(y

)

∂(y

)

∂y

−i - я строка

∂(y

)

x=x0

∂y

− матрица Якоби и удовлетворяет условиям

∂y0

∂

∂y

fy′(x, y(x), μ)

∂y

∂x ∂y0

∂y0

∂y

= E =

∂y

x=x0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025157 Кб1nizhnyaya_konechnost.doc
#
30.07.201965 Кб6№8 Петр.doc
#
01.07.202561 Кб1Novaya_kursovaya_2_docx.docx.....docx
#
01.07.202545 Кб0Novaya_kursovaya_2.docx
#
29.09.201933 Мб176Occlusion in restorative Dentistry.doc
#
15.04.2015726 Кб84ODU_4.pdf
#
15.04.20151 Мб7oopt_zakon.pdf
#
01.03.2025310 Кб1Opros_4.doc
#
01.03.202595 Кб1opros_4.docx
#
01.03.202560 Кб0Opros_po_teme.docx
#
01.07.2025111 Кб2Oprosnik_Khollanda.doc