17. Доказать теорему о замкнутом графике.

Пусть X и Y − банаховы пространства, A L(X, Y), причём D(A) = X. Доказать, что оператор A ограничен тогда и только тогда, когда он замкнут. 18. Пусть X и Y − банаховы пространства; A B(X, Y), D(A) − замкнута в X и обратный оператор A−1 B (Y, X). Доказать, что R(A) − подпространство в Y.

12.ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

1.Доказать теорему Рисса для l1:

а) любой элемент ξl∞ задаёт на l1 линейный ограниченный функционал по

∞

формуле f (x)= ∑ξi xi , x l1, причём f (l1 ) = ξ l∞ ;

i=1

б) Для любого функционала f (l1)* существует единственный элемент ξl∞

∞

такой, что f (x)= ∑ξi xi , x l1, причём f (l1 ) = ξ l∞ .

i=1

2. Пусть пространство X* сепарабельно. Доказать, что X также сепарабельно. Будет ли справедливым обратное утверждение?

3. Показать, что пространство l1 не является рефлексивным.

4. (*) Привести пример функционала f0 (l∞ ) , такого что он не определяется

∞

элементом из l1, то есть не существует такого ξl1, что f0 (x)= ∑ξi xi ,

i=1

x l∞.

5.Доказать, что если нормированное пространство X бесконечномерно, то и пространство X* также бесконечномерно.

6. Пусть X − нормированное пространство; {xn }∞n=1 X; L = Lin{x1, x2, ..., xn, ...}; x − произвольный элемент X. Доказать, что x L тогда и только тогда, когда из условий f X*; f(xk) = 0, k N следует, что f(x) = 0.

7.Доказать следующую теорему: если X − сепарабельное рефлексивное нормированное пространство, то из любой ограниченной

y = Ax}.

20