42.1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейнойтрапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х₀= а, x₁, х₂,..., х_n = b. Можно записать, что х_i= х₀+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В серединекаждого такого отрезка построим ординату ŷ_i =ƒ(с_i) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷ_i.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М₂ — наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае ƒ"(х)=0.

42.2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n —

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулыдля этих значений примут вид х_i = a+h*i, у_i=ƒ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы• М₂, где  Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) — точная.

42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [x_i-1;x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах² + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M₁(-h;у₀), М₂(0; y₁), М₃(h; у₂), где у₀ = ah₂ -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с — ордината параболы в точке х = 0; у₂ = аh₂ + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у₀, y₁, у₂. Из равенств для ординат у (находим, что с=y₁,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длинойточками x_i=х₀ + ih (i= 0,1,2,..., 2n). В точках деления а = х₀, x₁, x₂,..., x_2n-2 ,x_2n-1, x_2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у₀, у₁,у₂,..., у_2n-2, у_2n-1, у_2n, где у_i=ƒ(х_i) (см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х₀;х₂] парабола проходит через три точки (х₀;у₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степенькоторого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0).

 

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем: ƒ(х) = х^3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующихформул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.