Определение генеральной совокупности

Математическое ожидание M_y определяется по формуле

Уровень значимости q = 0,05

Число степеней свободы f = n – 1 = 60 – 1 = 59

Распределение Стьюдента определяется по таблице и равен: t_qf = 2,00

Расчет необходимого числа параллельных опытов.

Исходными данными для этого расчета служат результаты серии опытов, представленные в таблице.

Пусть требуется найти минимальное число n повторений опытов, при котором среднее арифметическое , найденное по этой выборке, отличалось бы от математического ожидания не более, чем на заданную величину ∆. Для ее решения необходимо знать оценку дисперсииs². Искомое значение n определяется по формуле

Величину τ отыскивают из таблицы при уровне значимости q и числе степеней свободы f, связанном с оценкой дисперсии s².

Преобразуем формулу для определения количества повторений опытов, для этого разделим числитель и знаменатель на , тогда получим:

;

где - коэффициент вариации;

-относительная величина ошибки,

Найдём коэффициент вариации

Найдём величину относительной ошибки:

Тогда окончательно:

;

Следовательно необходимое число дублированных опытов равно n=4.

Обработка результатов эксперимента

Условия эксперимента и результаты дублированных опытов представлены в таблице

Условия эксперимента и результаты дублированных опытов.

№ опыта	Нормализованные значения факторов			Результаты дублированных опытов					y		ŷ
	x1	x2	x3	Опыт 1	Опыт 2	Опыт 3	Опыт 4
1	– 1	– 1	– 1	15.34	18.68	15.98	16.29	16,57		12,940313
2	+1	– 1	– 1	18.07	22.15	20.31	21.09	20,41		18,599688
3	– 1	+1	– 1	12.89	17.03	16.12	13.75	14,95		16,892188
4	+1	+1	– 1	17.38	19.83	18.39	18.52	18,53		18,647813
5	– 1	– 1	+1	13.24	14.36	14.26	13.95	13,95		14,286563
6	+1	– 1	+1	22.51	23.49	23.17	23.83	23,25		21,757188
7	– 1	+1	+1	10.32	14.08	13.15	11.49	12,26		14,238438
8	+1	+1	+1	19.92	20.98	23.95	24.05	22,00		25,805313

Номер опыта	Значение факторов			Результаты эксперимента МПа					Результаты расчётов
	x1	x2	x3	yj1	yj2	yj3	yj4	y1		s2j
1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
1	0,13	1	6	15,34	18,68	15,98	16,29	16,57		2,130
2	0,38	1	6	18,07	22,15	20,31	21,09	20,41		2,992
3	0,13	5	6	12,89	17,03	16,12	13,75	14,95		3,793
4	0,38	5	6	17,38	19,83	18,39	18,52	18,53		1,011
5	0,13	1	18	13,24	14,36	14,26	13,95	13,95		0,256
6	0,38	1	18	22,51	23,49	23,17	23,83	23,25		0,316
7	0,13	5	18	10,32	14,08	13,15	11,49	12,26		2,820
8	0,38	5	18	19,92	20,08	23,95	24,05	22,00		5,339

Расчёт для среднего значения:

и.т.д

Расчёты для оценки дисперсии:

и.т.д.

Была проведена проверка однородности дисперсий опытов. Поскольку в данном случае имеется равномерное дублирование, здесь использовался критерий Кохрена. Максимальной из дисперсий оказалась дисперсия седьмого опыта . Поэтому:

Для уровня значимости q=0,05, числа степеней свободы каждой выборки f=n-1=3, количество выборок m=8 находим:

Полученное соотношение G_расч <G_табл позволяет принять гипотезу об однородности дисперсий.

Находим оценку дисперсии воспроизводимости экспериментов как среднее арифметическое дисперсий опытов:

Регрессивною модель объекта отыскиваем в виде неполного квадратного уравнения

y_j=b₀+b₁x₁₊b₂x₂+b₃x₃₊b₁₂x₁x₂₊b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃₊b₁₂₃x₁x₂x_3;

№	х1	х2	х3	yср	Х1yср	Х2yср	Х3уср	x1*x2*y	x2*x3*y	x1*x3y	x1*x2*x3*y
1	-1	-1	-1	16,57	-16,572	-16,572	-16,572	16,572	16,572	16,572	-16,572
2	1	-1	-1	20,405	20,405	-20,405	-20,405	-20,405	20,405	-20,405	20,40
3	-1	1	-1	14,9475	-14,947	14,9475	-14,947	-14,947	-14,947	14,947	14,947
4	1	1	-1	18,53	18,53	18,53	-18,53	18,53	-18,53	-18,53	-18,53
5	-1	-1	1	13,9525	-13,952	-13,952	13,952	13,952	-13,952	-13,952	13,952
6	1	-1	1	23,25	23,25	-23,25	23,25	-23,25	-23,25	23,25	-23,25
7	-1	1	1	12,26	-12,26	12,26	12,26	-12,26	12,26	-12,26	-12,26
8	1	1	1	22,00	22	22	22	22	22	22	22
∑				141,917	26,452	-6,442	1,0075	0,192	0,557	11,622	0,692

Построим вспомогательную таблицу для расчета коэффициентов регрессии:

b0=	b1=	b2=	b3=	b12=	b23=	b13=	b123=
17,73969	3,306563	-0,8053	0,12593	0,02	0,07	1,45	0,09

Определяем коэффициенты регрессии (n-число параллельных опытов N-число опытов):

Окончательно уравнение регрессии принимает вид:

y=17,74+3,307x₁-0,805x₂+0,126x₃+0,02x₁x₂+0,07x₂x₃+1,45x₁x₃ +0,09x₁x₂x₃

СКО для каждого коэффициента регрессии составляет:

Для оценки значимости коэффициентов регрессии найдём значения коэффициентов Стьюдента при уровне значимости q=0,05 и числе степеней свободы f_y связанным с дисперсией воспроизводимости. Поскольку имеет место равномерное дублирование опытов число степеней свободы определяем:

f_y=N(n-1)=8(4-1)=24

Из таблиц получено f_табл=2,06. Следовательно

Коэффициенты

b_12: <1,285

b_3: <1,285

b₂₃: 0,07<1,285

b₁₂₃: 0,09<1,285

были признаны незначимыми.

Регрессионная модель после отбрасывания незначимых членов получена в виде

y=17,74+3,307x₁-0.805x₂+1,45x₁x₃

Определяем доверительные интервалы для каждого коэффициентов регрессии, в общем виде уравнения имеет вид:

Теперь проверяем адекватность математической модели. Дисперсию адекватности определяем по формуле:

Здесь p-число коэффициентов E-регрессии анализируемой модели равное 7;

-значение отклика в j-ом опыте.

Затем находим значение критерия Фишера:

Табличный критерий Фишера при q=0,05 и числе степеней свободы f_ад=24 было найдено значение F_табл=2,51. Поскольку F_расч>F_табл гипотеза об адекватности модели не принимается. Это связанно либо с экспериментальными ошибками, либо с неправильно выбранной моделью.