Тема 1. Определители и системы линейных алгебраических уравнений.

Основные вопросы теории:

1. Определители второго и третьего порядка. Их свойства.

2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера.

Примеры решения задач.

Задача 1.

Вычислить определитель второго порядка

Решение:

Определитель второго порядка вида Δ=

Выполняется по формуле Δ=.-.,

поэтому = 2 •4 - (- 1) • 3 = 8 – (- 3) = 11

Ответ : 11.

Задача 2.

Вычислить определитель третьего порядка

Решение:

Определитель третьего порядка вычисляется следующим разом:

= .-.+.

Определители второго порядка являются минорами элементов первой строки. Они получается из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих соответствующий элемент.

Итак,= 1·- (-2) ·+(-3)·

Откуда, вычислив определители второго порядка, имеем

(- 1 – 2)+2·(- 2 – 3) - 3·(4 – 3) = - 16

Ответ: - 16.

Задача 3.

Решить систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера:

Решение.

Если главная системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера: x=,y=,z= ,

где ∆ главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных; ∆x, ∆y, ∆z–вспомогательные определители системы, которые получаются из главного определителя путем замены столбца коэффициентом при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

Составим и вычислим определители системы:

∆==2·– (- 1)·+3·= - 52

∆х== 4·-(-1)·+3·= - 52

∆y== 2·- 4+3 ·= 104

∆z== 2·- (-1) ·+ 4 ·=0

По формулам Крамера находим:

x = = -2,z = .

Выполним проверку, поставив найденные значения неизвестных в уравнениях системы:

2·1-(-2)+3·0=4,

5·1+2·(-2)-2·0=1,

1-3·(-2)+0=7.

Равенства выполняются, следовательно, система решена правильно.

Итак, для донной системы x=1, y=-2, z=0.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.

Основные вопросы теории.

1. Прямоугольная система координат на плоскости.

Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении. Текущие координаты.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в «отрезках». Пересечение двух прямых.

3. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Примеры решения задач.

Задача 4. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;6) и С(7;1).

Найти:

1. Уравнение стороны ВС;

2. Уравнение высоты, проведенной из вершины А;

3. Длину этой высоты;

4. Уравнение медианы, проведенной из вершины С;

5. Уравнение средней линии треугольника, параллельной АС;

6. Уравнение окружности, для которой сторона АВ служит диаметром.

Решение.

1. Для составления уравнения прямой ВС пользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки

=.

причем безразлично, координаты какой из двух данных точек принять за и, а какой заи, лишь бы не изменять порядок индексов приxиy в правой и левой чпстях уравнения. Возьмем, например, так: =.

Подставив в это уравнение координаты точек = 2,=6,=7,получим

Откуда, умножив обе части уравнения на -5, имеем у-6=-х+2, или у=-х+8.

Итак, уравнение стороны ВС имеет вид: у=-х+8.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀) в заданном направлении имеет вид:

у-у₀₌k∙(х-х₀).

Так как высота AD проходит через точкуА перпендикулярно стороне ВС, в качестве х₀ и у₀ возьмём координаты точки А(-2,0), а угловой коэффициент k найдём из условия перпендикулярности двух прямых:

Так как k_BC=-1, то k_АD=1, и уравнение высоты AD примет вид: у=х+2.

3. Чтобы найти длину высоты AD, найдём координаты точки Dпересечения прямых BC и AD, решив систему уравнений:

Сложив почленно обе части этих уравнений, имеем 2у=10, откуда y=5; вычитая их почленно, получаем 0=-2х+6, 2х=6, х=3.

Следовательно, D(3,5).

Теперь найдём длину AD как расстояние между точками A(-2,0) иD(3,5), подставив координаты точек A и D в формулу

Получим:или

4. Чтобы написать уравнение медианы СЕ, надо найти координаты точки Е – середины стороны АВ. Находим их, применив формулы:

,

т.е.

Уравнение медианы запишем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:

7y-21=-2xили 2x+7y-21=0 – уравнение медианы СЕ.

5. Уравнение средней линии EF будем искать в виде уравнения прямой через данную точку в заданном направлении (см. п.2).

Эта прямая проходит через точку Е параллельно прямой АС, поэтому в качестве х₀ и у₀ возьмём координаты точки Е, а угловой коэффициент найдём из условия параллельности прямых: k_EF= k_AC.

угловой коэффициент прямой _АС Так как А(-2,0) и С(7,1), то

Следовательно,

Итак, уравнение средней линии EF имеет вид:

Следовательно,

6. Уравнение окружности с диаметром АВ ищем в виде:

Где (x₀;y₀) –координаты центра окружности, т.е. точки E(0;3), а R = AE–радиус окружности.

Следовательно, уравнение окружности: x² + (y – 3)² = 13.

Построим треугольник АВС и все упомянутые линии в прямоугольной системе координатXOY: