Задача 10

Решение задачи 10

Задача 11

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Тема 4.3. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

635 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Теперь воспользуемся разложением функции (1+ x)α в

ряд Маклорена:
(1+ x)α =1+αx +					α (α −1)				x2 +... +			α (α −1)...(α −n +1)							xn +... ,
(1+ x)α =1+αx +									x2 +... +						n!				xn +... ,
						2!									n!
тогда
								5(1+0.04)13 =
				1		1						1	−	2	−	5
			1	3		3	−1			2		3	−		−	3		3
			1	3		3				2		3		3		3		3
= 5	1	+	3 0.04 +						0.04		+						0.04		+K	=
= 5	1	+	3 0.04 +			2!			0.04		+			3!			0.04		+K	=

= 5 + 13 0.2 − 19 0.008 + 815 0.00032 −K .

Начиная со 2–го члена этот ряд является знакочередующимся, поэтому модуль его остатка не превосходит первого отброшенного члена. Вычислим модули членов ряда:

u1 = 5 > 0.001;

u2 = 13 0.2 = 151 ≈ 0.067 > 0.001;

u3 = 19 0.008 = 11251 ≈ 0.00088 < 0.001.

Как видим, уже модуль третьего члена меньше 0.001 , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,

3 130 ≈ 5 +0.0667 ≈ 5.066 с точностью ε =10−3 . N = 2 .

Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд:

0,8∫ sin xdx , ε = 0, 0001.

0 x

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд Маклорена. Для этого воспользуемся разложением синуса:

sin x = x −

−... , тогда

sin x

=1−

−... .

Подставим полученное разложение:

0,8

sin xdx =

0,8

∫

1−

−... dx = x −

−...

3 3!

3! 4!

= 0,8 − 0,83

+ 0,85

−... = 0,8 − 0,512 +

0,32768 −K+ R ,

3 3! 5 5!

600

Ряд знакочередующийся, члены его по абсолютной величине убывают, общий член стремится к нулю, т.е. ряд удовлетворяет всем условиям признака Лейбница. Поэтому должно выполняться условие

un+1

0.82n−1

< 0.0001 =ε .

(2n −1) (2n −1)!

Рассмотрим абсолютные величины членов ряда:

= 0.8 >ε ,

= 0,83

= 0.512

≈ 0.028 >ε ,

3 3!

= 0,85

= 0.32768 ≈ 0.0005 >ε ,

5 5!

600

0.87

= 0.2097152 ≈ 0.0000059 <ε .

7 7!

35280

Теперь вычислим приближенно сумму ряда, взяв три

первых члена,

которые обеспечивают

заданную точность

ε = 0.0001:

0,8

sin xdx ≈ 0,8 −0, 0287 +0, 00055 ≈ 0, 7718 .

∫

2. Исследовать

сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

Вычислить сумму ряда:

∞

∑(−1)n

(2n −

1)!

n=1

Решение задачи 11

∞

∑(−1)n

= −

−

+K = −x

−

−K

(2n −1)!

n=1

Сравним этот ряд с разложениями основных элементарных функций в ряд Маклорена. Ряд записанный в скобках не что иное, как ряд

∞

2n+1

sin x = ∑(−1)n

−

+... +(−1)n

+... ,

(2n +1)!

n=0

1! 3!

с интервалом сходимости (−∞; +∞).

∞

Таким образом, сумма ряда ∑(−1)n

= −x sin x .

(2n −

1)!

n=1

Вариант 1

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	cos2 n
∑		.
∑	n4 + n arctg (1 n)	.
n=1	n4 + n arctg (1 n)

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	2n п2 +1
∑n=1	( )	.
	(n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

Коши: ∑

+4) ln (n −1)

n=3 (n

∞

(−1)

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∑

n=1

n −n

Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N -

наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

суммы ряда: ∑

, ε =10−3 .

n=1 n ! (2n +1)

∞

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

3n (n +1)

3 2

n=1

∞

(x +1)

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(n +1) ln

(n +1)

n=1

Разложить функцию f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке

x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = ln x ,

x0 =1, x1 =1, 2 ,

n = 4 .

Вычислить

приближенно

заданной

точностью

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать N -

наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

e , ε =10−3 .

Вычислить

приближенно

точностью

значение интеграла,

разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

0∫.2

sin x

dx ,

ε =10−3 .

∞

n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1

Вариант 2

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	sin	2	x
∑				.
	4 n5 +		n +1
n=1

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера имость:

∞	n !
∑				.
	(n +1)	2	n
n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	1
Коши: ∑	1			.
Коши: ∑	(2n +3) ln	2	(n +1)	.
n=2	(2n +3) ln		(n +1)
				∞	n
				∞	(−1)
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					(−1)	.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					ln (n +1)	.
				n=1	ln (n +1)

5. Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑	(−1)			, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	2		3)	, ε =10−3 .
n=1 n	(n +		3)
					∞	x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда:					∑	x			.
6. Найти область сходимости степенного ряда:					∑	n 2		n	.
					n=1	n 2
					∞					n
					∞	(x +n		3) .
7. Найти область сходимости степенного ряда:					∑	(x +n		3) .
					n=1	2		n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) =	1	, x	=1 , x =1, 3 , n = 5 .
	х
		0	1

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: cos1° , ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1	ex −1	dx , ε =10−4 .
подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1		dx , ε =10−4 .
				0	x
∞		2n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑		n !	.
n=1		n !

Вариант 3

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	arctg n
∑		.
	n3 +n n +1
n=1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞		n
∑n=1	n ! 2		.
	(2п)!	n

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞		n2 +1
Коши: ∑					.
Коши: ∑	2	+2) ln	2	(3n +1)	.
n=2 (n		+2) ln		(3n +1)
					∞	(−1)n sin π
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						n	.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑							.
					n=1	3n +1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑	(−1)		, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	(2n +1)!		, ε =10−3 .
n=1	(2n +1)!
				∞		xn
6. Найти область сходимости степенного ряда:				∑					.
6. Найти область сходимости степенного ряда:				∑	(n +	1)ln (n +1)			.
				n=1	(n +	1)ln (n +1)
				∞	(x +n	5)	2n−1
				∞
7. Найти область сходимости степенного ряда:				∑				.
				n=1	4	2n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) =1 3 x , x0 =1 , x1 =1, 5 , n = 3 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.	точность: sin10° , ε =10−4 .		точностью ε
10.	Вычислить приближенно с		точностью ε		значение интеграла, разлагая
					0.1	ln (1+ x)
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫	ln (1+ x)	dx , ε =10−3 .
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫		dx , ε =10−3 .
					0	x
	∞		n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑			.
	n=1 n !

Вариант 4

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	arcsin	1
∞	arcsin	n2 +4
∑		n2 +4	.
∑	n + n + n		.
n=1	n + n + n
			∞	n	+2
2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑				n	+2	.
				n		.
			n=1	2	n !

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞			1
	Коши: ∑			1			.
	Коши: ∑	(n +3) ln			2	(2n +1)	.
	n=2	(n +3) ln				(2n +1)
4.	Исследовать			ряд		на	абсолютную	и	условную	сходимость:
	∑(−1)n+1 2n +1 .
	∞
	n=1		n (n +1)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n+1 , ε =10−3 .

n=1 n !

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (3 nn++12) xn .n=1

∞

−1)

n−1

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n=2

3 n ln n

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = 1

=1, x

=1, 5 , n = 4 .

Вычислить

приближенно

заданной

точностью

значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

cos10° , ε =10−4 .

Вычислить приближенно

точностью

значение

интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

0.5 1−cos x

dx , ε = 0.001 .

∫

∞

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1

Вариант 5.

1.	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	сравнения:
	∞		1
	∑	3 n arctg	1		.
	∑	3 n arctg	3		.
	n=1			n
2.	Исследовать			сходимость		ряда	с	помощью	признака	Даламбера:
	∞	(n +2)!
	∑			.
	∑	n		.
	n=1	(n +5) 3

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞			n +3
Коши: ∑						.
Коши: ∑	(2n	2	+3) ln	2	(2n +1)	.
n=1	(2n		+3) ln		(2n +1)
						∞	(−1)	n
						∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑									.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑							n ln (n +1)		.
						n=1	n ln (n +1)

∞

суммы ряда: ∑(−1)n

ε =10−2 .

n=1

∞

n x

n−1

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n−1

n=1

∞

(x −2)

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n ln (n +1)

n=1

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке

x1 , оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

x = −1 ,

x = −1,5 ,

n = 3 .

Вычислить приближенно

заданной

точностью

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N -

наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

3 e ,

ε =10−3 .

Вычислить приближенно

точностью

значение

интеграла,

разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫1

sin x

dx ,

ε =10−4 .

∞

2n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1

Вариант 6.

1.	Исследовать			сходимость	ряда	с	помощью	признака	сравнения:
	∞	1	(e 1	n+1 −1).
	∑	1
	∑	n + 2
2.	n=1	n + 2
2.	Исследовать			сходимость	ряда	с	помощью	признака	Даламбера:
	∑(n + 2)sin 1n .
	∞
	n=1	(n +1)!		2

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	n + 4
Коши: ∑		.
Коши: ∑	9n3 +4 ln2 (5n + 2)	.
n=1	9n3 +4 ln2 (5n + 2)
		∞	sin n
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑			sin n	.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑				.
		n=1	n !

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑	(−1)		, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	(2n +1)!!		, ε =10−3 .
n=1	(2n +1)!!
				∞		x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда:				∑		x			.
6. Найти область сходимости степенного ряда:				∑	n ln	2			.
				n=1	n ln	(n +1)
				∞	(x +1)			n
				∞
7. Найти область сходимости степенного ряда:				∑						.
7. Найти область сходимости степенного ряда:				∑	n 3 n3 +3					.
				n=1	n 3 n3 +3

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = cos x , x0 = π2 , x1 = −π4 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

точность: ln(1, 003) , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 e−x2 dx , ε =10−3 .

∞	x	2n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
	(2n)!
n=1

n2 +1

Вариант 7.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞

∑ n +3 ln

n=1

2.Исследовать

n2 +n + 2 .

∞ arctg 2

сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑ n .

n=1 (n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞			n2 +2
Коши: ∑						.
Коши: ∑	(n	2	+5) ln	2	(n +1)	.
n=2	(n		+5) ln		(n +1)

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n tg 1n .n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	1			2	n		−3
суммы ряда: ∑			−			, ε =10		.
суммы ряда: ∑	n	2	−	5		, ε =10		.
n=1	n			5

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑2n (2xnn −1) .∞n=1

∞	n
	(x +3)
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑		.

n=1	n n2 +4

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = e−4 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 3 хcos x dx , ε =10−3 .

∞	x	2n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
	(2n)!
n=1

Вариант 8.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	1		1
∑		tg		.

n=1	n2 + n +1		n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	4	n
∑				.
	(n +1)!
n=1			n

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞					n +1
Коши: ∑							.
		(		3	) (	)
n=	2		n		+ 2 ln	3n −1
n=	2
							∞	(−1)	n−1
							∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑											.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑								(n +1) 2		2n	.
							n=1	(n +1) 2

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ 1 (−2 3 )n , ε =10−3 .

n=1 n

6.	∞		x	n
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑		x			.
	n=1	ctg 1			n
					n
	∞						n
	∞		n (x + 2)
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑		n (x + 2)					.
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
	n=1		n3 + n +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 3 27 − x3 , x0 = 0 , x1 =1, n =1 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

	точность:	1	e	, ε =10−4 .
			e		точностью ε
10.	Вычислить	приближенно с			точностью ε				значение интеграла, разлагая
	подынтегральную функцию в степенной ряд:								∫1	x sin xdx , ε =10−3 .
									0
				∞		x	2n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n					x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n					(2n)!		.
				n=1		(2n)!

Вариант 9.

Исследовать

сходимость ряда с помощью признака

сравнения:

∞

∑ n + n3 +1 ln

n=1

∞

Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑

(n +1)!

n=1

Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

n2 −1

Коши: ∑

n=5 (n2

−2) ln (n −3)

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n−1 22n .

n=1 (n +1) 32n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

суммы ряда: ∑

, ε =10−3 .

n=1

3n !

∞

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n=1 n

(

)

∞

(x −3)n

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(n +1)

n=1

Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

3 8 − x3 , x = 0 ,

x = 0,5 ,

n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 31e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 sin3 xx dx , ε =10−3 .0

∞	x	4n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
	(2n)!
n=1

Вариант 10.

1.	Исследовать		сходимость ряда с помощью признака			сравнения:
	∞	1		1
	∑	1	sin	1	.
	∑		sin		.
	n=1	n + n + 2		n +3
						∞
2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:					∑	n !	.
2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:					∑		.
						n=1 (3n)!

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞	arctg	1
	∞	arctg	n
	Коши: ∑		n	.
	Коши: ∑	ln (n −2)		.
	n=4	ln (n −2)
				∞	n
4.				∞	(−1) (n +3) .
4.	Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑				(−1) (n +3) .
				n=1	ln (n +4)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1) (2n +1) , ε =10−3 .

суммы ряда: ∑

n=1

(2n)! n !

∞

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(

)

(

)

n=1

n +1

∞

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(x +2)n .

(n +1)

n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 1 4 e , ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0.∫25	1+ x3 dx , ε =10−3 .
				0
∞	x	n+1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	x		.
n=1		n

Вариант 11.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	(n2 +3)2 sin2 (3n)
∑	n	6	+1	.
n=1
2. Исследовать			сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∞	n ! n +1
∑n=1			.
	(2n)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞ arcsin 1

Коши: ∑ n . n=1 ln2 (n +1)

	∞	(−1)	n		π
4.	Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑	(−1)		tg	π	.
	n=1	5n −1		4	n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		1
суммы ряда: ∑(−1)n		1	, ε =10−4 .
суммы ряда: ∑(−1)n	3	n	, ε =10−4 .
n=1	3	n !
			∞	x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				x		.
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				n 3 n3 +3		.
			n=1	n 3 n3 +3

7.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ lnn(n++11) (x +1)n .n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = sin2 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.	точность: 4 17 , ε =10−3 .	точностью ε
10.	Вычислить приближенно с	точностью ε				значение			интеграла, разлагая
						0.5	x2
						∫e−		dx ,	ε =10−4 .
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫e−	2	dx ,	ε =10−4 .
						0
	∞		x	n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			n	.
	n=1			n

Вариант 12.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	2	+1 cos	2	n
∑	n	+1 cos		n	.
∑	3	+ n +2			.
n=1	n	+ n +2

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ (n +1)2 6n .

n=1 n !

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

−1

Коши: ∑

n=2

(n +7)

4. Исследовать

ряд

на

абсолютную

условную

сходимость:

∞

n sin

(n n )

∑(−1)

n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		π n
суммы ряда: ∑	cos	π n	, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	n		, ε =10−3 .
n=0 3 (n +1)
			∞	x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				x			.
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				n		n	.
			n=1	n		3
			∞				n
			∞	(x −1)
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				(x −1)				.
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				n				.
			n=1	4		n +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = cos2 x , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 15 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.5		dx		, ε =10−3 .
подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.5	4	1+ x	4	, ε =10−3 .
				0		1+ x
∞	x	2n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
n=1	n

Вариант 13.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	1
∑4 n4 +n3 +1 sin		.

n=1	3 n4

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑∞ (n4+n1)! .n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	sin		1
			n2
Коши: ∑				.
		2
n=2	ln		n

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

	(−1)
∞	n
∑n=3		.
	n ln n (ln ln n)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑	(−1)			, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	(n +1)		n	, ε =10−3 .
n=0	(n +1)
				∞	n x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑					n x		.
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑							.
				n=1	n4 +1

∑(x −1)n

7.Найти область сходимости степенного ряда: n=2 2n n ln n .

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = 3 8 + x , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .∞

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: ln 5 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1	1−e−2 x	dx , ε =10−4 .
подынтегральную функцию в степенной ряд:				0∫.1	x	dx , ε =10−4 .
				0	x
∞	x	4n−1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		n	.
n=1		n

Вариант 14.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	1			n
∑		arctg			.
	4 n +1		n	2
n=1				+1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	π
∑n! sin	π	.
∑n! sin	n	.
n=1	2

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

+ 1

−1

Коши: ∑

n=2

ln n

4. Исследовать

ряд

на абсолютную и условную сходимость:

∞

∑(−1)

2n +1

n=1

Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N -

наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

sin (π 2 +πn)

−3

суммы ряда: ∑

, ε =10

n=1

∞

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

(n +1)ln (n +1)

n=1

∞

(x −2)

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

n=1

n +

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 4 28 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 cos (x2 )dx , ε =10−3 .

∞	x	3n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	n		.
n=1	n

Вариант 15.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	arcsin	1
∞	arcsin	n2	+ 4
∑		n2	+ 4	.
∑				.
n=1	n + n +		n
				∞	n!
2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑					n!	.
					n	.
				n=1	2

3.	Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-
	∞			1
	Коши: ∑			1			.
	Коши: ∑	(n +3)ln			2	(2n −1)	.
	n=2	(n +3)ln				(2n −1)
4.	Исследовать			ряд		на	абсолютную	и	условную	сходимость:
	∑(−1)n+1 2n +1 .
	∞
	n=1		n (n +1)

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n+1 , ε =10−3 .

n=1 n!

	∞	n−1
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	x		.
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	n	ln n	.
	n=2	n3	ln n
	∞		n
	∞	(x −1)n .
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(x −1)n .
	n=1	n 5

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) =1 x , x0 =1, x1 =1, 5 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.	точность: 4 19 , ε =10−3 .			точностью ε
10.	Вычислить приближенно	с		точностью ε		значение			интеграла, разлагая
						0,5	1−cos x			−4
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫			dx , ε =10		.
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫	x	2	dx , ε =10		.
						0	x
	∞		x	2n
11.	Вычислить сумму ряда: ∑		x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑		n!		.
	n=1		n!

Вариант 16.

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

сравнения:

∞

n +1

∑n=1

n2 +ln2 n

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

Даламбера:

∞

arcsin

n +1

∑n=1

(n +1)!

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞ (e1 n −1)2

Коши: ∑n=2 ln2 (3n +1) .

4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∑∞ (−1)n+1 3nn+1 n .

n=1

	∞	1
	суммы ряда: ∑(−1)n+1	1		, ε =10−3 .
	суммы ряда: ∑(−1)n+1	3n	2	, ε =10−3 .
	n=1	3n
				∞			x	n
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑						x				.
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑				4	n	n ln		2	n	.
				n=2	4		n ln			n
				∞			n
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑						n			(x +2)n .
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑					n4 +			1	(x +2)n .
				n=1		n4 +			1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 3 125 + x , x0 = 0 , x1 = −2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

точность: ln 6 , ε =10−3 .

10. Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

0,2

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫ e−3x2 dx , ε =10−3 .

∞xn+2

11.Вычислить сумму ряда: ∑(n +1)! .n=0

Вариант 17.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	n	2	+n	+1		n +1
∑					sin		.

n=1	4 n4 + n3 +2					n 4 n +5

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ n3 arctgn2

n=1 (n +1)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	sin		1
∞	sin		n2 +1
Коши: ∑			n2 +1	.
Коши: ∑	ln	2		.
n=1	ln		(n +2)
				∞	1
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑(−1)n n sin					1	.
					2	.
				n=1	n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		1
суммы ряда: ∑(−1)n		1	, ε =10−4 .
суммы ряда: ∑(−1)n	2	n	, ε =10−4 .
n=1	2	n!
			∞			1
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑xntg						1	.
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑xntg						2	.
			n=1			n
			∞				n
			∞	n (x	+2)
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				n (x	+2)			.
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑								.
			n=1	n4 +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 9 − x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.

точность: sin 36° , ε =10−3 .

точностью ε

Вычислить приближенно с

значение

интеграла,

0,2

ln 1− x2

)

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

(

dx , ε =

∞

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1 n (n +1)

разлагая

10−3 .

Вариант 18.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞		3	n	1
∑
	en		−1 −1 tg		.
	en		−1 −1 tg	n	.
n=1				n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∑∞ 2n (n3 +1).
n=1	n!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞

n +1

Коши: ∑

ln(n + 2)

n=1

4. Исследовать

ряд

на

абсолютную

условную

сходимость:

∞

∑(−1)

ln 1

n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑			, ε =10−3 .
	n!(2n)!
n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xntg 2 1n .n=1

∞	(2n −1)(x −3)n				.
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	n	2	2	n+1
n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 16 + x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

точность: ln (1, 002), ε =10−4 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 x2e−2 x2 dx , ε =10−3 .

∞	x	n−1
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
		n
n=1

(−1)n

Вариант 19.

1.	Исследовать	сходимость ряда с помощью признака		сравнения:
	∞	n +2
	∑ 1+n2 sin	n +2	.
	∑ 1+n2 sin	3	.
	n=1	n +1			(2n)!
				∞
2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:			∑		.
2.	Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:			∑		.
				n=1	2n +5

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

				1
		n ln 1	+
∞		n ln 1	+	n	2
Коши: ∑				n		.
Коши: ∑		ln (n −1)				.
n=	3	ln (n −1)

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∞

∑n=1 n2 +sin2 n .

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑	(−1)		, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	(2n)!2n		, ε =10−3 .
n=1	(2n)!2n

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xn sin 1n .n=1

∑∞ (x +1)n

7. Найти область сходимости степенного ряда: n=2 2n n ln n .

8. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f (x) в точке x1 , оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f (x) = 1−xe2−x2 , x0 = 0 , x1 =1, n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 3 25 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: 0∫.2 ln (1+x x 2 )dx , ε =10−3 .

∞	x	n+2
11. Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑	n!		.
n=1	n!

Вариант 20.

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

сравнения:

∑

(

)

∞

−cos 1

n=1

n + n +1

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

Даламбера:

∞

∑n=1

5n (n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	arctg 1
Коши: ∑	n	.
Коши: ∑	n +2 ln (n +1)	.
n=1	n +2 ln (n +1)		(−1)	n
		∞		n
		∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑			(2n +1)	2	2n+1	.
		n=0	(2n +1)	2

суммы ряда: ∑∞ (−1)n , ε =10−3 .

n=1 (2n)!

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xn sin2 1n .n=1

∞

(x +1)

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

(n +1)

n=1

3 (n +1)ln

Разложить функцию

f (x)

в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

(x) в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

, x

=1, x

n = 4 .

x +2

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 5 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 sin				x2	dx , ε =10−3 .
подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫1 sin				4	dx , ε =10−3 .
			0	4
∞	x	4n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n+1	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n+1	(2n)!		.
n=0	(2n)!

Вариант 21.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	n +1		n	+1
∑		arctg			.
			2	+ 2
n=1	n2 +2		n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ 4n (n +1)!

n=1 (2n)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

	1−cos			1
∞				n +2
Коши: ∑					.
	ln	2
n=1			(n + 2)

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n n +1 .

n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

суммы ряда: ∑(−1)n

, ε =10−3 .

n=1

∞

Найти область сходимости степенного ряда: ∑

n=1 (n

+1)

∞

(x +2)

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(n +1)ln n

n=2 2

Разложить функцию

f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки

x0 . Найти

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке

x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = ln x , x0 =1, x1 =1 2 ,

n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 1 8 e , ε =10−3 .

10.	Вычислить приближенно с	точностью ε				значение			интеграла, разлагая
						1,5		dx
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫		dx		, ε =10−3 .
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫	4	81+ x	4	, ε =10−3 .
						0		81+ x
	∞		x	2n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		(2n)!		.
	n=1		(2n)!

Вариант 22.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	sin	2	n
∑				.
	3 n4 +n n +1
n=1

∑∞ n!

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: n=1 4n .

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-


	sin		1
∞	sin	n +1
Коши: ∑		n +1			.
Коши: ∑	n +3 ln		2	(n +3)	.
n=1	n +3 ln			(n +3)

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ cosn2 n .n=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	(−1)	n
суммы ряда: ∑			, ε =10−3 .
	(2n)	!!
n=1

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (

n=1

2n −1)xn		.
n2	2n+1

			∞	(x −4)	n
			∞
7.	Найти область сходимости степенного ряда:		∑			.
7.	Найти область сходимости степенного ряда:		∑	(n +3)ln (n +3)		.
			n=1	(n +3)ln (n +3)
8.	Разложить функцию	f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки				x0 . Найти
	интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения
	вычислить приближенно значение функции		f (x) в точке x1 ,			оставляя в
	разложении только	n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом

вычислении: f (x) = 3 271− x , x0 = 0 , x1 =12 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: 6 e , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: 0∫.5 sin (x2 )dx , ε =10−4 .

∞	x	2n+3
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n			.
	(2n)!
n=1

Вариант 23.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

	sin		1
∞			n2 +1
∑				.
	n	2
n=1			+ln n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	n4 +n2 +1
∑n=1		.
∑n=1	(n +1)!	.

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	e	1 n −1
Коши: ∑					.
	n +2 ln		2	(n +2)
n=1

∑(−1)n

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: n=3 n ln (n +1) .

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность∞

∞	(−1)			n	n
				n

суммы ряда: ∑							, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑	(2n −1)	2	(2n +1)			2	, ε =10−3 .
n=1	(2n −1)		(2n +1)

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ xntg 1n .n=1

∞

(x −3)n

7. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n ln

f (x)

n=1

x0 . Найти

8. Разложить функцию

в ряд Тейлора в окрестности точки

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x) в точке x1 ,

оставляя в

разложении только n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении: f (x) =

, x

= 2 , x =1,

n = 4 .

3x +4

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.	точность: cos18° , ε =10−4 .	точностью ε
10.	Вычислить приближенно с	точностью ε				значение	интеграла, разлагая
						0,3
	подынтегральную функцию в степенной ряд:					∫ e−2 x2 dx ,	ε =10−4 .
						0
	∞		x	2n+3
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n		(2n)!		.
	n=1		(2n)!

Вариант 24.

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

сравнения:

1−cos

∞

∑

n=1

n +ln n

Исследовать

сходимость

ряда

помощью

признака

Даламбера:

∞

∑

(2n)!

n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	sin	2	n
Коши: ∑	sin		n	.
Коши: ∑	n2 +1 ln2 (n +4)			.
n=1	n2 +1 ln2 (n +4)
				∞	π
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑(−1)n cos					π	.
						.
				n=1	6n

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

суммы ряда: ∑∞ (−1)n n , ε =10−3 .

n=1 2n

	∞	x	n
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	x				.
6.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	n ln (n +1)				.
	n=1	n ln (n +1)
7.	∞	(3n + 2)(x −3)n
7.	Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(n +1)		2		.
	n=1	(n +1)			2n+1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 3 27 + x2 , x0 = 0 , x1 = 2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.	точность: sin18° , ε =10−4 .		точностью ε
10.	Вычислить приближенно с		точностью ε		значение	интеграла, разлагая
					0,2
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫ e−3x2 dx ,	ε =10−4 .
					0
	∞		n+1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑		n	.
	n=1		n

Вариант 25.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	4	n +1
∑			cos2 n .

n=1	3 n5 −n +1

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∑∞ 2n n2 +1

n=1 (n +1)! .

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	1
Коши: ∑	1			.
Коши: ∑	(n + 4)ln	2	(2n +1)	.
n=1	(n + 4)ln		(2n +1)
				∞	n
				∞	(−1)
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					(−1)	.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑						.
				n=3	n 4 2n +3

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞	1
суммы ряда: ∑(−1)n+1	1		, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑(−1)n+1	(2n)	3	, ε =10−3 .
n=1	(2n)
			∞	x	n
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				x		.
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				(n +1)3		.
			n=1 3n	(n +1)3

7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (x +3)n .

n=1 n ln n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

	точность: 3 29 , ε =10−3 .
10.	Вычислить приближенно с точностью ε	значение			интеграла, разлагая
		0,2	1−cos x			−3
	подынтегральную функцию в степенной ряд:	∫			dx , ε =10		.
	подынтегральную функцию в степенной ряд:	∫	2x	2	dx , ε =10		.
		0	2x
	∞
11.	Вычислить сумму ряда: ∑n (n +1)xn+2 .

n=0

Вариант 26.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	n + n +1		1
∑		sin		.

n=1	4 n5 +3		n2 +1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	2
Коши: ∑	cos n	.
Коши: ∑	2	.
n=1	(n + 2)ln (n +3)
		∞	(−1)	n
		∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑			(n +1)ln n		.
		n=2	(n +1)ln n

∞		2n +1
суммы ряда: ∑(−1)n		2n +1	, ε =10−3 .
суммы ряда: ∑(−1)n	n	3	, ε =10−3 .
n=1	n	(n +1)
			∞	ln (n +1)
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑				ln (n +1)	xn .
6. Найти область сходимости степенного ряда: ∑					xn .
			n=2	n +1

7.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ (xn+22n )n .n=1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 16 + x2 , x0 = 0 , x1 = −1 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд. Указать N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность: ln 7 , ε =10−3 .

10.Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫2					dx		, ε =10−3 .
подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫2				4	256 + x	4	, ε =10−3 .
			0		256 + x
∞	x	4n
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	x		.
11. Вычислить сумму ряда: ∑(−1)n	n		.
n=1	n

Вариант 27.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	1		n +4
∑	1	ln	n +4	.
∑	n2 +n −2	ln		.
n=2	n2 +n −2		n +3
				∞	n 3	n	2
2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑					3	n		.
					(n +1)!			.
				n=1	(n +1)!

3. Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

		4
	tg
∞			2
Коши: ∑	n			.
	ln n
n=2

4.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑∞ (−1)n sin32n 3n .п=1

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞		(−1)	n
суммы ряда: ∑					, ε =10−3 .
	n	2		3)
n=1		(n +

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑∞ lnnnxn .n=1

∞	(x +1)	n
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(x +1)		.
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	2n n2 +n +2		.
n=1	2n n2 +n +2

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 25 + x , x0 = 0 , x1 = −2 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.	точность: ln 3 , ε =10−3 .		точностью ε
10.	Вычислить приближенно с		точностью ε		значение			интеграла, разлагая
					1,5		dx
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫		dx		, ε =10−3 .
	подынтегральную функцию в степенной ряд:				∫	3	27 + x	3	, ε =10−3 .
					0		27 + x
	∞		n−1
11.	Вычислить сумму ряда: ∑	x		.
11.	Вычислить сумму ряда: ∑		n	.
	n=1		n

Вариант 28.

∞			n +1
1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения: ∑				.
	n	2
n=1			+ln n

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

∞	arcsin	n +1
		n2 +1
∑n=1			.
	(n +1)!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

		1		2
∞	e			n −1
Коши: ∑					.
Коши: ∑	ln	2	(3n +1)		.
n=2	ln		(3n +1)
4. Исследовать				ряд	на	абсолютную	и	условную	сходимость:

∑∞ (−1)n+1 3nn+1 n .

n=1

∞

суммы ряда: ∑(−1)n+1

, ε =10−3 .

n=1

∞

6. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n=2

n ln

∞

(x +2)

7. Найти область сходимости степенного ряда:

∑

n=1

n4 +1

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

вычислении: f (x) = 3 125 + x , x0 = 0 , x1 = 5 , n = 4 .

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

точность: ln 6 , ε =10−3 .

10. Вычислить приближенно с точностью ε значение интеграла, разлагая

0,2

подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫ e−3x2 dx , ε =10−3 .

∞xn−2

11.Вычислить сумму ряда: ∑(n −1)! .n=1

Вариант 29.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	tg 1	n
∑		n	.
∑	n2 +arctgn		.
n=1	n2 +arctgn

2. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
∑∞ 3n (n3 +1) .
n=1	n!

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞				n	3	+1
Коши: ∑				n		+1	.
Коши: ∑	(	n	4	)			.
n=1	(			)
n=1				+1 ln (n +2)
							∞		n
							∞	(−1)
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑								(−1)		.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑								3		.
							n=1	n +	2

5.Вычислить приближенно сумму ряда с заданной точностью ε . Указать N - наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность

∞

(−1)

суммы ряда:

∑

ε =10−3 .

n!(n +2)

n=1

∞

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

2n (n +

n=1

∞

(x +2)

Найти область сходимости степенного ряда:

∑

(n +3)ln (n +3)

f (x)

n=1

x0 . Найти

Разложить функцию

в ряд Тейлора в окрестности точки

интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения

вычислить приближенно значение функции

f (x)

в точке x1 ,

оставляя в

разложении только

n членов. Оценить погрешность,

допускаемую при этом

вычислении:

f (x) = ln (x + 2),

x0 = −1 , x1

= −1,5 ,

n = 4 .

Вычислить

приближенно

заданной

точностью

значение

функции,

используя соответствующее разложение этой функции в степенной ряд.

Указать

N - наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную

10.

точность:

cos 20° , ε =10−3 .

Вычислить приближенно

точностью

значение

интеграла,

разлагая

0,1 ex2 −1

−3

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

dx ,

ε =10

∞

3n−1

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1

Вариант 30.

1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:

∞	arctg	2	n
∑				.

n=1	4 n5 + n +1

2.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера: ∑∞ (nn+41n )! .n=1

3.Исследовать сходимость ряда, используя интегральный признак Маклорена-

∞	1
Коши: ∑	1			.
Коши: ∑	(n +4)ln	2	(n +2)	.
n=1	(n +4)ln		(n +2)
				∞	(−1)			n
				∞
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑									.
4. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: ∑					2			)	.
				n=1 ln	(	n		)
				n=1 ln		n	+1

∞		(−1)	n
суммы ряда: ∑					, ε =10−3 .
	n	3		3)
n=1		(n +

6.Найти область сходимости степенного ряда: ∑(n +x1n)3n−1 .∞n=1

∞	(n −1)(x +3)n
7. Найти область сходимости степенного ряда: ∑	(n −2)	2	.
n=1	(n −2)		3n

8.Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Найти

9.Вычислить приближенно с заданной точностью ε значение функции,

10.

точность: cos19° , ε =10−4 .

точностью ε

Вычислить приближенно с

значение

интеграла,

0,1 e4 x3

−1

−3

подынтегральную функцию в степенной ряд:

∫

dx , ε =10

∞

n−3

11.

Вычислить сумму ряда: ∑

n=1 (n +1)!

разлагая

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете Высшая математика