Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пусть α1 (x), α2 (x) - |
б.м. в точке |
|
x0 . |
Тогда возьмём любое сколь угодно малое |
|||||||||||||||||||
ε |
1 |
= |
ε |
> 0 , для которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
||
|
|
|
|
Uδ1 (x0 ) : x Uδ(x0 ) ∩ X |
|
α1 (x) |
|
< |
и |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
||
|
|
|
|
U |
δ2 |
(x |
0 |
) : x U |
δ |
(x |
0 |
) ∩ X |
α |
2 |
(x) |
< |
. |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
• |
|
• |
• |
|
|
|
|
|
• |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Тогда ε > 0 U δ(x0 ) |
=U |
δ1 (x0 ) ∩U δ2 (x0 ) : x U δ(x0 ) |
|||||||||||||||||||
α1 (x) < 2ε , α2 (x) < 2ε
α1 (x) + α2 (x) ≤ α1 (x) + α2 (x) < 2ε + 2ε = ε
Таким образом, f (x) = α1 (x) + α2 (x) – б.м. в точке x0 . Сформулируем еще два свойства для бесконечно больших функций:
1)Сумма конечного числа функций, б. б. в одной точке, и имеющих одинаковый знак, является б.б. того же знака в той же точке.
2)Сумма функции, б.б. в точке x0 , и ограниченной функцию в окрестности точке x0
есть б.б. функция в той же точке.
2.1.8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б)
Определение 2.1.12
Пусть α(x) и β(x)
1) Если lim α( x→x0 β(
относительно б.м. β(
― б.м. в точке x0 , тогда
xx)) = 0 , то α(x) называется б.м. более высокого порядка x) .Обозначение: α(x) = о(β(x)) .
2) Если |
lim |
α(x) = C , где C ≠ 0,C ≠ ∞, то α(x) |
и β(x) |
называется |
б.м. |
|||||
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
||||
одинакового порядка. |
|
|
|
|
|
|||||
3) Если |
lim |
α(x) |
не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми. |
|
||||||
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
||||
Задача 2.1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнить α(x) = x2 −1 и β(x) = x −1 в точке x =1. |
|
|
|
|
||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как lim |
x2 |
−1 |
= lim(x +1) = 2 α(x) и β(x) одного порядка. |
|
|
|
||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|||||
x→1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
||||
Определение 2.1.13 |
|
|
|
|
|
|||||
Две б.м. |
функции называются эквивалентными при x → x0 , если lim |
α(x) |
=1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
β(x) |
|
Обозначается : α(x) |
~ β(x) . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
||
16