4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных

∂2w

точке M 0 , то в этой точке существует и частная производная ∂x j ∂xi , совпадающая с

∂2w

частной производной ∂xi ∂x j .

Обобщая теорему на производные более высокого порядка, можно сделать вывод, что при соблюдении указанных условий результат частного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример 1

Вычислить все частные производные второго порядка для функции w = x z2 + cos xy .

Решение

Учитывая результат теоремы, можно установить, что существует шесть различных частных производных второго порядка для данной функции.

Частные производные первого порядка:

первого порядка или первым дифференциалом. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции w в точке M 0 называется дифференциал от ее

первого дифференциала d(dw), который обозначается d 2 w .

Теорема 2

Если задана дифференцируемая функция w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) и x1, x2 ,..., xn - независимые переменные, то имеет место формула

Так как x1, x2 ,..., xn - независимые переменные, то dx1, dx2 ,..., dxn - тоже независимые переменные. Поэтому

26

В частности, для функции двух переменных z = f (x, y), учитывая независимость частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:

Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал третьего порядка или третий дифференциал – это дифференциал от второго дифференциала.

Формулы для второго дифференциала функции двух переменных z = f (x, y) удобно записывать в символическом виде:

d 2 z = ∂∂x dx + ∂∂y dy 2 z ,

∂

где под записью ∂x понимается операция взятия частной производной по переменной

∂

x , а под записью ∂y понимается операция взятия частной производной по переменной

y .

В общем случае для дифференциала n - го порядка функции двух переменных z = f (x, y) справедлива формула:

27

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Сравнивая формулы для дифференциала второго порядка в случае, когда что x и y -

независимые переменные, и когда они в свою очередь являются функциями двух переменных, можно сделать вывод, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное

дифференцирование, учитывая, что d n w = d (d n−1w)и d n xi = 0 при условии n ≥ 2 ,

если xi - независимая переменная.

Пример 2

Вычислите d 3 z , если z = cos(x −5y).

Решение

По формуле для дифференциала суперпозиции двух функций первый дифференциал можно записать в виде

dz = −sin(x −5 y) (dx −5 dy).

Поскольку выражение dx −5dy не зависит от переменных x и y , то второй дифференциал имеет вид

d 2 z = −cos(x −5 y) (dx −5dy)2 .

Аналогично вычисляется третий дифференциал

d 3 z = sin(x −5 y) (dx −5dy)3 .

Пример 3

Вычислите d 2 w , если w = 3xyz .

Решение

В разделе 2.4 был вычислен dw = 3xyz ln 3 (yz dx + xz dy + xy dz). Тогда

d 2 w = ln 3 (d (3xyz ) (yz dx + xz dy + xy dz)+3xyz d(yz dx + xz dy + xy dz))

d 2 w = 3xyz ln 2 3 (yz dx + xz dy + xy dz)2 +3xyz ln 3 ((dy z + y dz) dx + (dx z + x dz) dy +

+ (dx y + x dy) dz).

Упрощая полученное выражение, запишем

d 2 w = 3xyz ln 2 3 (y2 z 2 (dx)2 + x2 z 2 (dy)2 + x2 y 2(dz)2 )+

+3xyz 2 ln 3 (1 + xyz ln 3) (z dx dy + x dy dz + y dx dz).

28