43. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Инварианты

(*)

Выясним какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением:

1. иодного знака, то уравнение *- уравнение эллиптического типа. Его можно привести к виду

, который в свою очередь преобразуется в следующую форму:

а) если с^* имеет тот же знак что и и, при делении уравнений на с^* получим канонические уравнения эллипса

б) с^*=0 Тогда уравнение имеет единственное решение

x”=y” и оно определяет точку на плоскости

в) если знак точки с* противоположный, чем и, то уравнение имеет вид

Множество его решений пустое. Иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом

2. иимеют разные знаки. Тогда уравнение * называется уравнением гиперболического типа.

а)с*

Получим один из двух видов

или

Оба этих уравнений определяют гиперболу

в) с*=0 Получим уравнение

Получим уравнение, эквивалентное двум линейным уравнениям

или

3. Одно собственное число из иравно нулю. Уравнение получается параболического типа.

а)y''²=2b*x’’ это парабола

б) y''²=2b* или Получаем пару параллельных прямых

в)y’’²=0 Определяет одну прямую ( или пару совпадающих)

г)y’’²=-2b*² Уравнение не имеет решений следовательно не определяет никакого геометрического образа

44. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты.1.коммутативность х+у=у+х(переместительное свойство)

2.ассоциативность (х+у)+z=x+(y+z)(сочетательное свойство)

3.ассоциативность относительно абсолютного множества

4.дистрибутивность относительно суммы векторов

5.дистрибутивность относительно суммы числовых множителей

6.Существует нулевой вектор такой, что х+0=х

7.Для любого вектора х существует противоположный вектор –х такой что х+(-х)=0

8.Особая роль числового множителя 1 1*х=х (для любого вектора)

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и сложение вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствах, рассматриваемых как аксиомы, называется векторным пространством.

n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записываемых в виде

x=(x₁,x₂…x_n­­­­) где x­_I – итая компонента вектора икс.

Вектор a_m­ называется линейной комбинацией векторов a1,a2…a_m­ векторного пространства, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа.

a­_m=a₁+a₂+a_m , где лямбда- любые числа.

Векторы а₁,а₂ векторного пространства m называются линейно зависимыми, если существуют такие числа как ине равные одновременно нулю, что

В противном случае эти векторы называются линейно-независимыми ()

Если один из векторов обращен линейно, то все эти векторы линейно зависимы

Линейное пространство r называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из n+1 векторов уже являются зависимыми

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства r называется базисом

Теорема. Каждый вектор x линейного пространства r можно представить и притом только единственным образом в виде линейное комбинации векторов базиса. доказательство

x=x₁e₁+x₂e₂+..x_ne_n, где x_i=e_i\i

В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе

a=2i+3j

a=4i+3j-2k

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному по знаку координаты.

Пространство R n-мерно и e₁,e₂…e_n- его базис