§3. Системы массового обслуживания с ожиданием

Рассмотрим систему массового обслуживания с каналами и неограниченной очередью, в которой заявки не покидают очереди, т.е. чистую систему с ожиданием. Поскольку в этом случае , в формулах (4) и (6) необходимо положить , в результате чего из (4) получим:

. (10)

Как уже отмечалось, условие существования стационарного режима системы обслуживания совпадает с условием сходимости ряда в (10):

. (11)

Смысл неравенства (11) ясен: среднее число заявок, приходящих в систему за среднее время обслуживания одной заявки, должно быть меньшим числа каналов обслуживания. Если это условие не выполняется, то очередь неограниченно возрастает и стационарный режим не наступает.

Будем считать, что условие (11) выполнено и с помощью формулы суммы геометрической прогрессии из (10) найдем:

. (12)

Кроме того, запишем (5) и (6) при :

, ; (13)

, . (14)

Определим теперь основные характеристики рассматриваемой системы обслуживания.

1. Среднее число занятых каналов проще всего найти по формуле (1): . В системе обслуживания с неограниченной очередью при условии (11) , поэтому

. (15)

В справедливости равенства (15) можно убедиться непосредственно, с использованием формул (12) - (14):

= .

2. Среднее число заявок в очереди найдем с помощью (14):

3. Среднее число заявок в системе равно сумме среднего числа занятых каналов и средней длины очереди: .

4. Среднее время пребывания заявки в системе находим по формуле Литтла (2): .

5. Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти по формуле Литтла (3): .

Пример 4.

В порту работают три причала для разгрузки судов. В сутки в порт прибывают в среднем 8 судов с грузом. Среднее время разгрузки одного судна составляет 8 часов. Найти показатели эффективности системы разгрузки судов.

В данном случае интенсивности потоков заявок и обслуживаний равны, соответственно: , , приведенная плотность потока заявок = , число каналов обслуживания . Согласно (12) . Поэтому:

1. среднее число занятых каналов ;

2. среднее число заявок в очереди ;

3. среднее число заявок в системе ;

4. среднее время пребывания заявки в системе ;

5. среднее время ожидания заявки в очереди .

Заметим, что рассмотренная система массового обслуживания работает с заметной перегрузкой: из трех причалов заняты в среднем 2,67, в очереди со средней длиной более 6 судов приходится ожидать в среднем около суток, а находиться в порту - более суток.

§4. Системы массового обслуживания с ограниченной очередью

Рассмотрим систему массового обслуживания с каналами и ограничением на длину очереди: она не может превышать заявок. В такой системе заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты и в очереди находятся требований, получает отказ. Как отмечалось в конце §1, уравнения (4) - (6) в этом случае принимают вид

; (16)

, ; (17)

, . (18)

Для чистой системы массового обслуживания (заявки не покидают очереди, т.е. , значит ) соотношения (16) - (18) упрощаются:

; (19)

, ; (20)

, . (21)

Найдем основные характеристики такой системы.

1. Вероятность отказа в обслуживании заявки ;

2. относительная пропускная способность ;

3. абсолютная пропускная способность ;

4. среднее число занятых каналов найдем по формуле (1): ;

5. среднее число заявок в очереди

= ;

6. среднее число заявок в системе ;

7. среднее время пребывания заявки в системе находим по формуле (2): ;

8. среднее время ожидания заявки в очереди , см. (3).

Пример 5.

На одноканальный телефонный коммутатор поступает в среднем 30 вызовов в час. Средняя длительность разговора составляет 2,5 минуты. Если в момент очередного вызова канал связи занят, этот вызов может быть поставлен в очередь. Число заявок в очереди не превышает трех. Если в очереди находятся три заявки, то поступающие вызовы не обслуживаются.

Найти характеристики эффективности данной системы массового обслуживания.

В этом случае интенсивности потоков заявок и обслуживаний равны и соответственно, приведенная плотность потока заявок , число каналов обслуживания , максимальная длина очереди . Из (19) - (21) получаем: , , , , . Отсюда находим:

1. вероятность отказа ;

2. относительная пропускная способность ;

3. абсолютная пропускная способность ;

4. среднее число занятых каналов ;

5. среднее число заявок в очереди ;

6. среднее число заявок в системе ;

7. среднее время пребывания заявки в системе ;

8. среднее время ожидания заявки в очереди .

10