Связь между деформациями и внутренними усилиями в диске

 

Три  независимых уравнения (1.1) - (1.3) содержат пять неизвест­ных величин: , , , , . Недостающие два уравнения  полу­чаем,  рассматривая обобщенный  закон Гука для материала диска. Поскольку напряженное  состояние является двухосным,  деформации и напряжения связаны следующими зависимостями:

 

(1.4)

 

(1.5)

 

где   - температурная деформация, обусловленная нагревом диска на ; - начальная температура равномерно нагретого диска (обычно принимают ).  Температурная дефор­мация определяется  по формуле:

 

(1.6)

 

Переходя в уравнениях (1.4) и (1.5) от напряжений  и  к усилиям  и ,  получаем

 

(1.7)

 

(1.8)

Разрешающая система уравнений для диска с центральным отверстием

 

Уравнения (1.1) - (1.3), (1.7), (1.8) позволяют получить пол­ное решение задачи о расчете напряженно-деформированного состоя­ния диска. Примем в качестве  основных неизвестных радиальное пе­ремещение  и радиальное усилие  и преобразуем эти уравнения, исключив из них величины , , .

Из уравнений (1.7) и (1.8) следует, что

 

(1.9)

 

 

(1.10)

 

Подставляя соотношение (1.10) в уравнение (1.1), получаем

 

(1.11)

 

Заменяя в уравнениях (1.9) и (1.11)  и  их выражениями (1.2) и (1.3), получаем систему линейных дифференциальных уравне­ний первого  порядка относительно  и :

 

(1.12)

 

В общем случае систему (1.12) интегрируем численным методом с применением ЭВМ. Постоянные интегрирования определяем из гранич­ных условий на внутреннем и наружном контурах диска.

Через величины  и , определяемые из системы (1.12), можно выразить остальные параметры, характеризующие напряженно-деформи­рованное состояние диска:

 

(1.13)

Граничные условия

 

В случае, когда величина контактного усилия  на внутреннем контуре диска задана, граничное условие можно записать в следую­щей форме:

 

(1.14)

 

где ,  - радиальное усилие и толщина диска на внутреннем контуре.

При установке диска на вал с натягом величина контактного давления зависит от величины натяга , угловой скорости вращения , неравномерного нагрева диска и заранее неизвестна. Запи­шем уравнение совместности перемещений контактных поверхностей диска и вала:

 

(1.15)

 

где  и  радиальные  перемещения точек поверхностей контакта диска и вала соответственно. Эти перемещения считаются положитель­ными, если они направлены от центра.

Радиальные перемещения точек поверхности вала определяются выражением

 

(1.16)

 

где  - перемещения точек поверхности вала за счет контактного давления;  - температурная деформация вала;  - коэффициент линейного расширения материала вала;  - температура нагрева вала;  - начальная температура вала (обычно ).

Перемещения точек посадочной поверхности вала за счет контактного давления  можно найти по формуле

 

(1.17)

где ,  - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала вала; - коэффициент, зависящий от отношения длины посадочной поверхности к диаметру вала; численное значение  можно опреде­лить по формулам

 

(1.18)

 

Подставляя выражения (1.16) и (1.17) в уравнение (1.15) и принимая во внимание, что контактное давление  связано с ради­альным усилием  на внутреннем контуре диска соотношением (1.14), получаем

 

(1.19)

 

где

 

(1.20)

 

Соотношение (1.19) служит граничным условием в случае посад­ки диска на вал с натягом.

Если контактное давление между валом и внутренней поверхно­стью диска отсутствует (например, образуется зазор), граничное условие на внутреннем контуре диска принимает вид:

 

(1.21)

 

В общем случае граничное условие на внутреннем контуре диска можно записать в форме

 

(1.22)

 

где , ,  заданные коэффициенты.

Граничное условие (1.14) можно получать из общего выражения (1.22) при , , . В случае посадки диска на вал с натягом , , . Граничное условие (1.21) получим из выражения (1.22) при , . Граничное условие на наружном контуре диска :

 

(1.23)

 

где  и  - радиальное усилие и толщина диска при ,  - интенсивность инерционной радиальной нагрузки, распределенной по наружной поверхности диска.

Совокупность уравнений (1.12), (1.13) и граничных условий (1.22), (1.23) является математической моделью напряженно-дефор­мированного состояния вращающегося неравномерно нагретого диска с центральным отверстием.