III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1185.

Решение

а) Число вершин призмы определяется количеством вершин многоугольника, лежащего в основаниях призмы. Так как призма имеет два основания, то n-угольная призма имеет 2n вершин (четное число). Например: треугольная призма имеет 2 ∙ 3 = 6 вершин; четырехугольная призма имеет 2 ∙ 4 = 8 вершин; пятиугольная призма имеет 2 ∙ 5 = 10 вершин.

б) Число ребер призмы равно сумме ребер двух оснований призмы и боковых ребер призмы, количество которых определяется числом вершин многоугольника, расположенного в основании призмы, то есть n-угольная призма имеет число ребер, равное 2n + n = 3n кратно 3.

2. Решить задачу № 1186.

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей ее боковых граней. Пусть a, b, c, d… m – стороны основания призмы; h – ее боковое ребро.

У прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть боковые грани – прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Тогда

S_{бок. пов.} = ah + bh + ch + dh + ... + mh = h ∙ (a + b + c + d + ... +m) =Ph,

где P – периметр основания, h – боковое ребро.

3. Устно решить задачу № 1187, используя модель параллелепипеда.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые ребра и высота призмы.

2. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?

3. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 120 и 121; выполнить рисунки (рис. 346, а, б, в) и записать в тетрадях доказательство свойства диагоналей параллелепипеда.

Урок 3 Объем тела. Свойства прямоугольного параллелепипеда

Цели: повторить понятие площади плоских фигур, ввести понятие объема тела, единиц измерения объемов тел; изучить основные свойства объемов и прямоугольного параллелепипеда; познакомить учащихся с принципом Кавальери; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить по тетрадям решение учащимися задач № 1190 (б) и № 1234 (б).

2. По готовому на доске чертежу параллелепипеда построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через:

а) точки D, С и В₁;

б) точки В, K и L, где K – середина ребра АА₁, а L – середина СС₁.

(Это задача № 1235 на с. 337 учебника.)

Решение

а) проводим отрезок СВ₁, затем строим прямую DА₁, параллельную В₁С. Параллелограмм СDА₁В₁ – искомое сечение.

б) По условию АK = KА₁ и СL = C₁L. Проводим отрезки KВ и BL. Проводим отрезок D₁L, параллельный отрезку KВ.

Соединяем отрезком точки K и D₁, принадлежащие одной плоскости АDD₁А₁. параллелограмм KВLD₁ – искомое сечение.

II. Изучение нового материала.

1. Повторить понятие площади плоской фигуры.

2. Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

3. Прочитать по учебнику текст (с. 314 и 315) и записать в тетрадях основные свойства объемов:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 347):

V = V₁ + V₂.

4. Разобрать по рисунку учебника (рис. 348) принцип Кавальери.

5. Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда (рис. 349, с. 317 учебника).

6. У прямоугольника два измерения – длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора для прямоугольника). Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. (Используя рисунок 349, провести доказательство этого свойства. рисунок 349 заранее начертить на доске.)

Доказательство записывать на доске и в тетрадях:

АС₁² = АС² + СС₁²;

АС² = АВ² + АD²;

СС₁ = ВВ₁ = АА₁,

следовательно, АС₁² = АВ² + АD² + АА₁².

7. Еще одно свойство прямоугольного параллелепипеда. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери (прочитать доказательство по учебнику на с. 317–319, используя рисунок 350).

8. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c, изображенном на рисунке учебника (рис. 350, б), площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b.

Поэтому формулу V = a ∙b∙c можно записать в виде

,

то есть объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.