XXVIII вариант

1. Найдите каноническое представление числа:

а) 24566003; б) 36!.

2. Найдите наибольший общий делитель систем чисел:

а) 82063 и 38223 (по алгоритму Евклида);

б) 1444373, 3087000 и 343343 (через каноническое представление).

3. Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:

а) 415 и 620 (по формуле);

б) 34, 26 и 18 (через каноническое представление чисел).

4. Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 55125.

5. Решите уравнение по модулю 12.

6. Докажите, что для любого натурального nчислоне делится на 9.

7. Решите сравнение:

а) , б).

8. Решите систему сравнений:

9. Найдите остаток от деления числа 3⁴⁰²на 101.

10. Докажите, что 1¹¹+2¹¹+4¹¹+5¹¹+7¹¹+8¹¹0 (mod9).

XXIX вариант

1. Найдите каноническое представление числа:

а) 64978641; б) 17!.

2. Найдите наибольший общий делитель систем чисел:

а) 29279 и 2747 (по алгоритму Евклида);

б) 52013269, 1101100 и 557700 (через каноническое представление).

3. Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:

а) 290 и 436 (по формуле);

б) 44, 56, 82 и 16 (через каноническое представление чисел).

4. Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 58653.

5. Выпишите приведенную систему наименьших неотрицательных вычетов по модулю 20.

6. Докажите, что для любых натуральных aиbимеет место равенство.

7. Решите сравнение:

а) , б).

8. Решите систему сравнений:

9. Некоторое натуральное четное число при делении на 3 дает в остатке 1. Чему равен остаток от деления этого числа на 6?

10. Найдите остаток от деления 227⁸⁶¹³на 32.

XXX вариант

1. Найдите каноническое представление числа:

а) 57009953; б) 45!.

2. Найдите наибольший общий делитель систем чисел:

а) 86110 и 66817 (по алгоритму Евклида);

б) 37439215, 82500 и 55055 (через каноническое представление).

3. Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:

а) 406 и 912 (по формуле);

б) 90, 60, 15 и 36 (через каноническое представление чисел).

4. Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n= 30030.

5. Выпишите приведенную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 20.

6. Докажите, что для любых натуральных aиbимеет место равенство:.

7. Решите сравнение:

а) , б).

8. Решите систему сравнений:

9. Из десятичного разложения дроби (– простое число) вычеркнули 2000-ную цифру. В результате получилось десятичное разложение несократимой дроби. Докажите, чтоbделится наp.

10. Найдите три последние цифры числа 654³²¹.

Глава 1.2. Комплексные числа и комплексные функции

Среди действительных чисел нет числа, квадрат которого равен -1, т.е. уравнение не имеет решений во множестве действительных чисел. С помощью комплексных чисел понятие числа расширяется так, что подобные уравнения оказываются разрешимыми. Понятие комплексного числа вошло в математику еще вXVIIIвеке. Функции комплексного переменного широко используются в аэро- и гидродинамике, электротехнике, теории упругости и т.д.

§1.2.1 Алгебраическая форма комплексного числа

Рассмотрим множество Cвсех пар действительных чиселДля них введем отношение равенства и действия сложения и умножения:

(1)

(2)

(3)

Например,

Отождествим пару (а,0) с числома. Это отождествление оправдано в силу согласования введенных действий с действиями над вещественными числами:

Можно заметить, что

и что пара (0,1) обладает удивительным свойством:

Для этой пары принято обозначение: (от французского словаimaginare) и называется онамнимой, т.е. воображаемой единицей. В новых обозначениях данное свойство можно переписать так:

(4)

Для пары имеемт.е.

(5)

Множество Сназываетсямножеством комплексных чисел, а выражениеназываетсяалгебраической формой записикомплексного числа. Приb= 0 комплексное числоявляется действительным числома, т.е.Это означает, что мы получили расширение множества действительных чисел, в котором уравнениеразрешимо, имеет кореньi. Легко увидеть, что отношение равенства, сложение и умножение, а также вычитание и деление запишутся в следующем виде:

(6)

(7)

(8)

(9)

где(10)

Заметим, что понятия "больше" и "меньше" для комплексных чисел не определяются, т.е. говорить о том, что одно комплексное число больше или меньше другого, нельзя, это лишено смысла.

Вычитаниевводится как действие обратное сложению.Разностьючиселназывается такое число, для которогоЛегко доказать, что разность двух комплексных чисел всегда существует и единственная.

Делениевводится как действие, обратное умножению.Частнымчиселиназывается такое числодля которогоЧастное существует и единственно всегда, когда делительВ практических вычислениях обычно не пользуются формулой (10), а поступают так:

Свойства арифметических операций:

1. – коммутативность сложения;

2. – ассоциативность сложения;

3. – коммутативность умножения;

4. – ассоциативность умножения;

5. – дистрибутивность умножения относительно сложения слева.

Все эти свойства легко доказать, используя аналогичные свойства действительных чисел. Следовательно, арифметические действия над комплексными числами можно проводить по правилам действительных чисел, лишь заменяя i²на -1 и объединяя отдельно члены, содержащиеiи не содержащиеi. Числааиbназывают соответственнодействительной имнимойчастью комплексного числа

Пример.Даны комплексные числаНайти: а) суммуб) разностьв) произведениег) частное

Решение:

а)

б)

в)

г)

Пример.Записать в алгебраической форме число

Решение: