вышмат

S = ∫b

f2 (x)dx − ∫b

a

a

a

Итак,

S = b∫[f2 (x)− f1 (x)]dx .

(3.33)

a

когда f1(x) и f2 (x)

кривыми x = ϕ1(y),

x = ϕ2 (y) [ϕ1(y)≤ ϕ2 (y)] и прямыми y = c и y = d (см. рис. 48) находится по

формуле

(3.34)

c

Решение. Находим точки пересечения кривых:

x = x2 ;

x = x4 , откуда

x1 = 0 , x2 =1. Следовательно,

1

1

1

3

1

3

1

S = ∫

xdx − ∫x2 dx = ∫( x − x2 )dx =

2

x

2

−

x

=

2

−

1

=

1

(кв. ед).

0

0

0

3

0

3

0

3

3

3

a

d

b

где a ,

b , c и d – абсциссы соответственно точек

A , B , C и D .

ограниченной параболами

y = x

2

, y =

1

x

2

и прямой y = 3x (рис. 51).

2

′

В формуле (3.36) надо взять ψ(t)= y = a(1 − cost); ϕ (t) находят из

′

− cost).

уравнения ϕ(t)= x = a(t − sin t). Получим ϕ (t)= a(1

этому

2∫πa(1 − cos t)a(1 − cos t)dt = a 2

2∫π(1 − cos t)2 dt =

S =

0

0

2π

2π

1 + cos 2t

= a 2 ∫

(1 − 2 cos t + cos 2 t)dt = a 2 ∫ 1

− 2 cos t +

dt =

2

0

0

1

1

2π

(2π + π)= 3π a2

= a 2

t − 2 sin t +

t +

sin 2t

=a 2

(кв. ед.).

2

4

0

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравне-

нием ρ = f (θ), где f (θ) – непрерывная функция при α ≤ θ ≤ β.

Площадь криволинейного сектора OAB (см. рис. 54),

ограниченного

кривой ρ = f (θ) и двумя полярными радиусами θ = α и θ =β

(α < β), нахо-

1

β

дится по формуле S =

∫ρ2dθ или

2

α

S =

1

β

2

(3.37)

2

∫

[f (θ)] dθ.

α

нению θ от 0 до π

(эта часть заштрихована на рис. 55), а затем результат

4

умножить на 4. Следовательно, искомая площадь равна

1

π

π

4

4

S =

4

∫

= 2 (кв. ед.).

2

0

0

3.3.2. Вычисление длины дуги плоской кривой

y = f (x),

Пусть плоская кривая AB (см. рис. 56)

задана уравнением

a ≤ x ≤ b , где f (x)

– непрерывная функция на промежутке [a,b].

Найдём

Рис. 56

Дадим определение длины

дуги

AB .

Возьмём на

дуге AB точки

A = M 0 , M1, M 2 ,..., Mi ,..., M n−1, M n

= B

с

абсциссами

a = x0 , x1, x2 ,...,

I. Длина дуги в прямоугольных координатах

Теорема. Если функция f (x) непрерывна вместе со своей производной

′

AB спрямляема и длина её выражается

f (x) на промежутке [a,b], то кривая

формулой

b

1 + f ′2 (x)dx .

L = ∫

(3.38)

a

a

x

−

x

Пример 1. Вычислить длину дуги цепной линии y =

e a

+ e

a

2

(a > 0) (см. рис. 57) на сегменте [−a, a].

Рис. 57

1

x

−

x

′

a

a

Решение. Находим

e

− e

,

f (x)= 2

2

2 x

2 x

2

1

x

x

4 +e

−2 +e−

1

x

−

x

(x)=1

−

a

a

′2

a

a

a

a

1+ f

+

4

e

−e

=

4

=

4

e

+e

.

′2

(x)=

1

x

−

x

a

Следовательно,

1 +

f

2

+ e

a

и мы по формуле (3.38) по-

e

лучаем

1

a

x

−

x

a

x

−

x

a

1

L =

∫

e a + e

a

dx =

e a

− e

a

= a e −

.

2

2

e

−a

−a

Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кри-

вой задано в параметрической форме:

y = ψ(t)

где ϕ(t) и ψ(t) –

x = ϕ(t)

,

α ≤ t ≤ β,

(3.39)

′

на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае урав-

причём ϕ (t)

нения (3.39)

определяют

некоторую

функцию

y = f (x),

непрерывную и

имеющую непрерывную производную

dy

=

ψ′′(t).

dx

ϕ

(t)

Пусть a = ϕ(α),

b = ϕ(β). Тогда, сделав в интеграле (3.38) подстановку

β

′

2

x = ϕ(t), dx = ϕ′(t)dt , получим L = ∫

1 +

ψ

(t)

ϕ′(t)dt

или

ϕ′(t)

α

L = β∫

[ϕ′(t )]2 +[ψ′(t)]2 dt .

(3.40)

α