|
Решение. Находим: |
′ |
= a(1 − cost), |
y |
′ |
= asin t |
и с помощью формулы |
|
x |
|
|
(3.51) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
t |
|
|
P = 2π ∫a(1 − cost) |
a2 (1 − cost)2 + a2 sin2 tdt = 2π a2 ∫2(1 − cost)sin |
dt = |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
2π |
t |
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
t |
|
2π |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π a2 . |
|
|
=8π a2 ∫sin3 |
|
dt = |
8π a2 − 2 cos |
|
+ |
|
|
cos3 |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
Пример 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = a(1 + cos θ) вокруг полярной оси (см. рис. 59).
Решение. Из уравнения кардиоиды находим
ρ′θ = −asin θ, так что ρ2 +ρ′θ2 = 4a2 cos2 θ2 .
Тогда по формуле (3.52) получим
π |
|
π |
(1 + cosθ) sin θcos |
θdθ= |
P = 2π∫ρsin θ |
ρ2 +ρ′θ |
2 dθ= 4π a2 ∫ |
0 |
|
0 |
|
2 |
π |
θsin |
θdθ= −32π a2 |
cos |
5 |
θ |
|
π |
32 |
π a2 . |
|
=16π a2 ∫cos4 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
5 |
|
|
0 |
5 |
|
В п. 3.3 мы рассмотрели только некоторые применения определенного интеграла в геометрии. Приложения определенных интегралов в механике, физике изложены, например, в [ 4 ].
ЛИТЕРАТУРА
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. –
М.: Наука, 1978. – Т.1. – 456 с.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – 432 с.
3.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического ана-
лиза. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
4.Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1974. – Т. 1. –
479 с.
5.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980. – Ч. 1. – 304 с.
6.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. – Харь-
ков: Изд. ХГУ, 1974. – Ч. 2. – 367 с.
7.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966. – 464 с.
8.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1970. – 400 с.
9.Гурский Е.И., Домашов В.П. Руководство к решению задач по высшей математике. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1. – 349 с.
10.Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. –
М.: Наука, 1971. – 416 с.
Учебное издание
САМОЧЕРНОВА Лидия Ивановна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть II
Учебное пособие
Научный редактор к.т.н. А.В. Козловских
Редактор О.М. Васильева
Верстка Л.А. Егорова
Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии С качеством предоставленного оригинал-макета
Подписано к печати |
Формат 60×84/16. |
Бумага «Снегурочка». Печать Xerox. |
Усл. печ. л. |
9,53. Уч.-изд. л. 8,63. |
Заказ |
. Тираж |
экз. |
Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества
ИздательстваТомскогополитехническогоуниверситетасертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту BS EN ISO 9001:2008
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30. Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru
164
