§ 6 . Уравнения Лагранжа

 Пример 6.1. В планетарном механизме, изображенном на рис. 48, колесо с осью O₁ неподвижно; к рукоятке O₁O₃ приложен вращающий момент M. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Колеса поворачиваются относительно рукоятки без трения и не проскальзывают друг относительно друга. Определить угловое ускорение  рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми радиусами r и массами m. Массой рукоятки можно пренебречь.

Решение.

Непосредственно применять законы Ньютона или принцип виртуальных перемещений не представляется возможным, поскольку механизм состоит из бесконечного множества частиц. Зато у него всего одна степень свободы, и поэтому достаточно решить единственное уравнение Лагранжа

–=Q' . (6.1)

В качестве обобщенной координаты q выберем угол  поворота рычага, то есть q   . Обобщенная сила Q', соответствующая углу поворота , представляет собой указанный в задаче вращающий момент M.

Выразим функцию Лагранжа L = T – U через обобщенную координату  и обобщенную скорость . Потенциальная функция не зависит от , так как рукоятка вращается в горизонтальной плоскости. Кинетическая энергия механизма находится с помощью теоремы Кенига:

T = J  ₂² / 2 + m v₂² / 2 + m v₃² / 2 + J  ₃² / 2 . (6.2)

Скорость v₂ точки O₂ можно выразить по формуле Эйлера через угловую скорость рычага, а также через угловую скорость второго колеса, для которого точки касания с первым являются мгновенной осью вращения:

v₂ = 2 r = ₂ r, следовательно,

v₂ = 2 r и ₂ = 2. (6.3)

Скорость v₃ точки O₃ можно по формуле Эйлера выразить через угловую скорость рычага:

v₃ = 4 r . (6.4)

Для нахождения ₃ выразим с помощью теоремы Шаля скорость v₃ через скорость v точек касания второго и третьего колес:

v₃ = v + ₃ r . (6.5)

Скорость v может быть выражена по формуле Эйлера через угловую скорость ₂ вращения второго колеса:

v = ₂ 2 r = 4 r .(6.6)

Равенства (6.4) – (6.6) приводят к уравнению

4 r = 4 r +₃ r . Отсюда следует, что ₃ = 0.

Подставляя в (6.2) найденные значения скоростей, а также выражение для момента инерции колес J = m r² / 2, получим

L = T = 11 m r^{2 2} . (6.7)

С функцией (6.7) уравнение Лагранжа (6.1) принимает вид

22 m r² = M.

Из этого уравнения находим ответ:  = = M / (22 m r²).

 Пример 6.2. На гладкой горизонтальной плоскости находится треугольная призма ABC (рис. 49) массой M. На грань призмы AB, наклоненную к горизонту под углом , поместили однородный круглый цилиндр массой m как показано на рисунке 49. С каким ускорением w станет двигаться призма?

Решение.

Рассматриваемая в задаче система имеет две степени свободы, поэтомунужно составлять два уравнения Лагранжа вида (6.1). В качестве обобщенных координат выберем расстояние x, на которое перемещается призма за время t, и угол , на который одновременно поворачивается цилиндр. Через эти переменные должна быть выражена функция Лагранжа L = T – U.

Кинетическая энергия системы T складывается из кинетической энергии призмы и кинетической энергии цилиндра. Последняя находится по теореме Кенига:

T = M ² / 2 + m v² / 2 + J ² / 2 . (6.8)

Здесь J = m r² / 2, где r – радиус цилиндра, v – скорость центра цилиндра относительно Земли. Эту скорость нужно находить по закону сложения скоростей: =_ЦЗ = _ЦП + _ПЗ, где _ЦП – скорость центра цилиндра относительно призмы, а _ЦЗ – скорость призмы относительно Земли. Соответствующий векторный треугольник изображен на рисунке 49. Скорость призмы v_ПЗ = , а скорость v_ЦП = r. Поэтому

v² = ² + ² r² – 2 r cos . (6.9)

Потенциальная функция U (потенциальная энергия системы «цилиндр – призма – Земля») равна работе силы тяжести при переходе цилиндра в исходное состояние, принятое за нулевое:

U = – m g h = – m g  r sin  . (6.10)

Подставляя (6.9) в (6.8) и учитывая (6.10), получим

L = (m + M) ² / 2 + m (3 ² r² / 4 – r cos) + m g  r sin  . (6.11)

Функция (6.11) приводит к следующим двум уравнениям Лагранжа:

(m + M) – mr cos = 0 , (6.12)

3 r² / 2 –r cos = g r sin  . (6.13)

Исключая из (6.12) и (6.13) , получим ответ:

w = = m g sin (2) / (3 (m + M) – 2 m cos²).



Задачи для самостоятельного решения

Рис. 50

Задача 6.1. Груз массой m₁, спускаясь по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом, приводит в движение посредством невесомой и нерастяжимой нити идеальный блок A, имеющий массу m₃ и радиус r (рисунок 50). Определить угловое ускорение  блока, считая его сплошным диском. Масса второго груза равна m₂.

Ответ :  = .

Рис. 51

Задача 6.2. Частица A массой m₁ движется по гладкой горизонтальной плоскости. Посредством нерастяжимой нити, пропущенной через отверстие O в плоскости, частица A связана с грузом B массой m₂, движущимся вертикально. Составить уравнения движения системы, приняв за обобщенные координаты  и  (рис. 51).

Ответ :

(m₁ + m₂) – m₁  ² = – m₂ g ; (m₁ ²) = 0 .

 Задача 6.3. Изображенный на рисунке 18 суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса и двух реек. Колесо имеет радиус r и массу m, которую можно считать распределенной по ободу. Масса каждой рейки равна m₁. К одной рейке приложена сила , к другой –; силы направлены в противоположные стороны вдоль реек. Найти угловое ускорение, ускорение w₀ оси колеса, а также ускорения w₁ и w₂ реек.

Ответы : w₀ = ; = ;

w₁ = ; w₂ = .

 Задача 6.4. Решить задачу 6.3 в предположении, что силы направлены в одну сторону.

Ответы : w₀ = , = ,

w₁ = , w₂ = .

Рис. 53

Рис. 52

Задача 6.5. На рисунке 52 изображена фрикционная передача. К ведущему колесу O₁ приложен вращающий момент M₁, а на колеса O₂ и O₃ действуют моменты сопротивления M₂ и M₃ . Найти угловое ускорение  ведущего колеса, считая колеса сплошными однородными дисками, массы которых равны m₁, m₂, и m₃, а радиусы – r₁, r₂ и r₃.

Ответ :  = .

 Задача 6.6. Два груза массами m₁ и m₂ связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок массой m (рис.53). Считая блок сплошным однородным цилиндром и пренебрегая трением, найти ускорения ₁ и ₂ грузов.

Ответ : ₁ = – ₂ = 2 (m₁ – m₂) / (m + 2 (m₁ + m₂)) .

 Задача 6.7. Каток A массой m₁, скатываясь без скольжения по наклонной плоскости, поднимает посредством нерастяжимой нити, перекинутой через блок B, груз C массой m₂ (рис. 54). При этом блок B вращается вокруг неподвижной оси O. Каток А и блок B – однородные диски одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол  с горизонтом. Определить ускорение w оси катка.

Рис. 54

Ответ : w = g (m₁ sin  – m₂) / (2 m₁ + m₂) .

Рис. 55

Задача 6.8. Тележка скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом (рис. 55). Масса тележки без колес равна M. Масса всех колес – m. Считая колеса однородными сплошными дисками и пренебрегая сопротивлением, определить ускорение w тележки.

Ответ : w = 2 g ( M + m) sin  / (2 M + 3 m) .

 Задача 6.9. К ведущему шкиву 1 ременной передачи, изображенной на рис. 56, приложен вращающий момент M, а на ведомый шкив 2 действует момент сопротивления M_С. Натяжение ремня обеспечивается роликом 3. Момент инерции ролика равен J, а его радиус – r. Моменты инерции и радиусы шкивов равны, соответственно,

Рис. 56

J₁ = 10 J, J₂ = 5 J, R₁ = 6 r, R₂ = 3 r.

Массой ремня можно пренебречь. Определить ускорение ведущего шкива.

Ответ :  = (M – 2 M_c) / (66 J) .

 Задача 6.10. Передача между валами осуществляется двумя насаженными на них колесами, имеющими z₁ и z₂ зубцов. Моменты инерции валов с колесами соответственно равны J₁ и J₂. К первому валу приложен вращающий момент M, а на второй действует момент сопротивления M_C. Определить угловое ускорение  первого вала.

Ответ :  = (M – M_C z₁ / z₂) / (J₂ (z₁ / z₂)² + J₁) .

Рис. 57

Задача 6.11. На гладкой горизонтальной плоскости находится доска массой m₁, а на доске – тонкостенный цилиндр массой m₂ (рис. 57). Предполагая, что скольжение между цилиндром и доской отсутствует, определить ускорения w₁ и w₂ доски цилиндра соответственно, если к доске приложена сила F.

Ответы : w₁ = 2 F / (2 m₁ + m₂) ,

w₂ = F / (2 m₁ + m₂) .