10 Мысал

1

t

0 τ

2.3 сурет

Суретте берілгендей бірлік баспалдақты функцияның бейнесін табу керек. Ол үшін жоғарыда алынғансәйкестігін пайдаланып

нәтижесін аламыз.

Осы нәтижені пайдаланып мына

болса,

функциясының бейнесін табайық.

Есептің шешуін функциясын тұтас аналитикалық өрнек арқылы жазып аламыз:

11 Мысал

τ уақыт аралығында әсер ететін бірлік әсер күшінің бейнесін табу керек.

болса.

1

t

0 (τ,0)

2.4 сурет.

Шешуі

бірлік әсер күшін Хевисайдтың екі бірлік функцияларының айырмасы ретінде қарастыруға болады, яғни

Сызықтылық қасиеті мен кешеуілдеу теоремасын пайдаланып берілген функцияның бейнесін табамыз.

12 Мысал

Периодты функцияның бейнесі айталық, түпнұсқаның периоды Т болсын.

Осы функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

Анықтама бойынша

Егер формуласы бойынша t айнымалысын ауыстыратын болсақ, онда мынадай теңдік аламыз:

Ал функциясының периоды Т болғандықтанСондықтан, немесе

13 Мысал

0 t

π 2 π

2.5 сурет

Графигі 2.5 суретте берілген функцияның бейнесін табу керек. (суреттегі функцияның графигі түзетілген айнымалы токты бейнелейді)

Шешуі

(32) формула бойынша былай жазуға болады:

Теорема 2.6 Ығысу теоремасы

Егер

Мұндағы λ-кез-келген комплекс сан. Шынында да, негізгі формула бойынша:

14 Мысал

Ығысу теоремасын 18-23 формулаларға қолданып мына формулаларды алуға болады:

(37)

(38)

(39)

15 Мысал

Берілген функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі

Функциялардың көбейтіндісін қосынды түрінде жазайық:

Жоғарыдағы (19) формуланы ескере отырып, сызықтылық қасиеті және ығысу теоремасы бойынша шарты орындалуымен қатар мынадай нәтиже аламыз:

Теорема 2.7 Бейнені дифференциалдау

Егер -түпнұсқа, алоның бейнесі болса, онда

Дәлелдеу

Лаплас интегралын р параметрі бойынша дифференциалдайық:

Теореманы біртіндеп дифференциалдау амалына қолданып, жалпы түрдегі формуланы аламыз:

16 Мысал

Бейнені дифференциалдау теоремасын пайдаланып, бірнеше функциялардың бейнесін анықтайық.

формуласын пайдаланып мына сәйкестікті аламыз:

Теореманы n рет пайдаланып, мына формуланы аламыз:

Осыны және ығысу теоремасын пайдаланып мына сәйкестікті аламыз:

Алғашқы 18-21 формулаларды пайдаланып мынадай бейнелер аламыз:

Теорема 2.8 Бейнені интегралдау

Егер -түпнұсқа болса, онда

сәйкестігі орындалады.

Дәлелдеу

белгілеуін еңгізіп формуласына бейнені дифференциалдау туралы теореманы қолданамыз. Сонда

Бірақ болғандықтан,теңдігі алынады.

Осы арақатынасын р-дан В-ға дейін интегралдап мынаны аламыз:

Ал Ф(р) түпнұсқаның бейнесі болғандықтан орындалады.

Сондықтан

бейнесі алынады.