3.2. Линейное напряжённое состояние

Линейное напряжённое состояние имеет место в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие, а также в некоторых точках стержня, работающего на изгиб. Рассмотрим растяжение стержня. Как указывалось в главе 2, в поперечных сечениях, удалённых от точек приложения внешних сил, нормальные напряжения распределены равномерно и равны (рис.3.5,а)

. (3.3)

Эти напряжения являются главными, т.к. касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Напряжённое состояние при растяжении является однородным, поэтому размеры выделяемых элементов не играют никакой роли. Определим напряжения, действующие по наклонной площадке. Наклон площадки определяется острым углом α между направлением оси стержня и нормалью n_α к площадке. Условимся считать угол α положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки (рис.3.5,а). Элемент, находящийся в линейном напряжённом состоянии, изображаем в виде плоской фигуры, помня, однако, что в действительности он имеет вид, показанный на рис.3.4,а.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, отсечённой наклонной площадкой (рис.3.5,б). По наклонной площадке, площадь которой равна F_α, равномерно распределены напряжения p_α, параллельные осевой силе N = P, следовательно, результирующая этих напряжений

p_αF_α = N.

Отсюда найдём p_α, подсчитав предварительно

.

Проектируя p_α на нормаль n_α и на плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений по наклонной площадке:

σ_α = p_αcos α, τ_α = p_αsin α

или

σ_α = σ₁cos²α. (3.4)

. (3.5)

а б в

Рис.3.5

Как видно из формул (3.4) и (3.5), при α = 0  τ_α = 0 и σ_α = σ₁, при α = π/2  σ_α = 0 и τ_α = 0. Таким образом, при растяжении действительно имеет место линейное напряжённое состояние: σ₁ = N/F, σ₂ = σ₃ = 0. При сжатии σ₃ = – N/F, σ₁ = σ₂ = 0.

Из выражения (3.5) видно, что касательные напряжения достигают своей наибольшей величины при α = ± 45⁰, причём

. (3.6)

Определим теперь напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной заданной наклонной, α₁ = α + 90⁰ (рис.3.5,в):

σ_α1 = σ₁ ∙ cos² (α + 90) = σ₁sin² α,

.

Итак

σ_α+90 = σ₁sin² α. (3.7)

. (3.8)

3.3. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние встречается в деталях машин и в строительных конструкциях очень часто. Например, это стержень при кручении (рис.3.6,а) и изгибе (рис.3.6,б), тонкостенный сосуд под действием внутреннего давления (рис.3.6,в).

а б в

Рис.3.6

Плоское напряжённое состояние также имеет место в тонкой пластине, нагруженной силами, параллельными её плоскости и равномерно распределёнными по толщине (рис.3.7): σ_х ≠ 0, σ_у ≠ 0, τ_ху ≠ 0, σ_z = τ_zx = τ_zy = 0.

Рассмотрим два аспекта задачи о плоском напряжённом состоянии: найдём напряжения, действующие по наклонной площадке (прямая задача), и найдём величины и направления главных напряжений (обратная задача).

Рис.3.7