1. Значение определителя равно:

а) 32; б) –24; в) 24; г) –8.

2. Какая из матриц является обратной для данной :

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Решением системы уравнений является:

а) (2,-1,3); б) (1,5,2); в) (5,3,1); г) (-1,5,2).

4. Работа силы F=(5,-3,9), приложенная к точке A(3,4,-6), переместила её в точку B(2,6,5), двигаясь прямолинейно. Найти работу.

а) 75; б) 80; в) 88; г) 108.

5. Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен:

а) 24; б) 144; в) 72; г) 104.

6. Уравнение высоты AD ∆ABC, A(2,-3), B(1,0), C(-2,-4) имеет вид:

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Центр симметрии кривой второго порядка находится в точке:

а) (6,-4); б) (-6,4); в) (6,6); г) (-6,-4).

8. Расстояние от точки M(2,0,-0.5) до плоскости равно:

а) 10; б) 6; в) 12; г) 4.

9. Проекцией вектора на ось называется число равное:

а) ; б) ; в) ; г) , где - угол, образованный вектором и положительным направлением оси.

10. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Положив , , выразить вектор через и .

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение типового варианта теста № 1

1. Найти значение определения

Определителем n-го порядка называется число, которое записано в виде , a_ij – элементт определение, i – номер строки, j – номер столбца

Методы вычисления определителей третьего порядка (n = 3)

а) правило Саррюса (метод треугольников)

.

б) понижение порядка

в) приведение к треугольному виду

(Пользуются основными свойствами определителей)

Решение

а)

б) 2·(3·2–1·1)–(1·2–1·(–2))–(1·1–3·(–2)=

=2·5– 4 –7=10– 4 –7= –1

в)

2. Найти алгебраическое дополнение элемента a₂₃ определителя

Опр.: Алгебраическим дополнением А_ij, соответствующего элементу а_iy называется минор с определенным знаком

A_ij= (–1)^i+j · M_ij

Опр.: Минором M_ij, соответствующему элементу a_ij называется определитель, полученный из данного путем вычерчивания i-той строки и j-того столбца

Решение:

A₂₃= (–1)²⁺³ · M₂₃= = – (1·1–2·2)=3

3. Проверить совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить ее:

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) матричным методом.

Решение: Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов, при неизвестных отличен от нуля.

а) Метод Крамера.

Определитель, соответствующий системе, отличен от нуля. Система имеет единственное решение

Ответ: (3,1,1).

б) Метод Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Последней матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:

Ответ: (3,1,1).

в) Матричный метод

Систему (1) можно записать в виде

AX=B, тогда X=A^-1B, detА= –60,

A₁₁= –6 A₂₁= –12 A₃₁= –6

A₁₂= –11 A₂₂= –18 A₃₂= –1

A₁₃= –1 A₂₃= –18 A₃₃= –11

Ответ: (3,1,1)

4. Сила = (–1,–3,1) приложенная к т. A(3,7,1), переместила ее в точку B(2,3,1), двигаясь прямолинейно. Найти работу.

Решение.

A=, т. к. = =(2–3; 3–7; 1–1)=(–1,–4,0), то

A= –1·(–1)+(–3)·(–4)+1·0=1+12+0=13

5. Является ли тройка векторов компланарной?

=(1,3,2), =(–2,1,1), =(0,1,–1)

Векторы , и называются компланарными, если они лежат в одной плосткости.

Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение векторного произведения х на вектор , обозначается и вычисляется

Решение.

Найдем смешанное произведение

= –1– 4 –6–1= –12, т. к. ≠0, то векторы не являются компланарными

6. Найти уравнение средней линии треугольника, заданного вершинами A(1,3), B(–2,5), C(2,–3), параллельной стороне AC.

Решение.

Пусть MN – средняя линия, тогда M– середина стороны AB, N – середина стороны BC. Координаты середины отрезка находятся из равенства:

; ; ; , поэтом у

, => M(–,4); x_n=0. y_n=1 => N(0,1).

Уравнение прямой, проходящей через две точки плоскости имеет вид

, следовательно (MN): или

; ; – уравнение средней линии.

7. Найти центр симметрии кривой второго порядка

Решение.

Т. к. коэффициенты при x² и y² положительны и различны, то задан эллипс. Приведем уравнение к виду

, тогда координаты (x₀; y₀) – центр симметрии

Выделим полные квадраты.

. Центр симметрии находится в точке (–3,–1).

8. При каком значении A плоскость Ax+3y–5z+1=0 и прямая параллельны?

Решение.

Если прямая l и плоскость α параллельны, то вектор нормали плоскости и направляющий вектор прямой взаимно перпендикулярны, следовательно их скалярное произведение равно нулю:

.

; 4А+4=0 => A= –1

9. Найти проекцию точки P(3,1; –1) на плоскость α: x+2y+3z–30=0

Решение.

Проведем прямую l перпендикулярную плоскости α через т. P. Т. к. l α, то и каноническое уравнение запишется в виде

Проекцией точки P на плоскость α является точка пересечения прямой l и плоскости α: . Для нахождения координат т. запишем уравнение прямой l в метрическом виде

или , подставим полученные значения в уравнение плоскости

t+3+2+4t+9t–3–30=0

14t–28=0

t=2

Окончательно получим =(5,5,5)

10. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Если AK=a, AL=b, то найти вектор BL.

Решение.

из .

из , т. к. и , то