4.15. Тактическое планирование машинных экспериментов с моделями систем

Стратегическое планирование применяется при любом виде экспериментов как при натурном, так и машинном экспериментах. При машинных экспериментах дополнительно возникает необходимость обеспечения точности и достоверности результатов, а также количества прогонов.

В связи с этим при тактическом планировании решаются следующие вопросы:

1. определяются начальные условия и их влияние на достижение результатов процессов моделирования;

2. обеспечения точности и достоверности результатов;

3. уменьшение дисперсии оценок характеристики процесса функционирования систем;

4. выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента.

Рассмотрим каждый вопрос подробнее.

4.15.1. Определение начальных условий

Определение начальных условийусложняется тем, что имитационная модель работает эпизодически, т.е. только когда экспериментатор проводит эксперименты. Поэтому, начальный период работы искажается из-за влияния начальных условий запуска машины. Для решения этой проблемы исключают из-за рассмотрения информацию о модели, полученной в предыдущей части моделирования, либо начальные условия выбирают так, чтобы сократить время достижения установившегося режима. Эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулю время переходного процесса при проведении машинного эксперимента.

4.15.2. Проблема обеспечения точности и достоверности результатов

Проблема обеспечения точности и достоверности результатовможно решить следующим образом. Обозначают точность оценки величинойЕ. Из-за наличия стохастичности ограниченности числа опытовN получают оценку. Задаются неравенством

(4.72)

и вероятностью P, что неравенство (4.72) выполняется

(4.73)

где Q– называют достоверностью оценки. Вводят относительную точность оценки

(4.74)

с учетом которой достоверная оценка будет равна

(4.75)

Если известен закон распределения , то с помощью анализа формулы (4.73) или (4.75) можно определить количество реализацийN .

В тех случаях, когда закон распределения найти не удается, то выдвигают предположение о характере закона распределения случайной величиныЕ.

Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности, когда в качестве показателей эффективности Е, выступают вероятность Р, математическое ожиданиеа и дисперсия².

Пусть вероятность появления некоторого события А, которое определяется состояниями процесса функционирования исследуемой системы, равна

Р=Р(А)

В качестве оценки вероятности Рв данном случае выступает

где m- число положительных исходов. Тогда соотношение (4.73), связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализаций, будет иметь вид

(4.76)

Для ответа на вопрос о законе распределения величины представим эту частность в виде

так как количество наступлений события Ав данной реализации изN реализаций является случайной величиной, принимающей значениях₁=1с вероятностьюРих₂=0с вероятностью(1-P).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины будут равны

Тогда

Это соотношение говорит о несмещенности оценки для вероятностиР.

С учетом независимости значений величины получаем

В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей при достаточно больших N можно рассматривать частностькак случайную величину, с нормальным законом распределения вероятностей с математическим ожиданиемРи дисперсией

С учетом квантиля нормального распределения вероятностей точность оценки

(4.77)

Количество реализаций для получения оценки с точностьюи достоверностьюбудет равно

(4.78)

Квантиль порядканаходится из специальных таблиц.

Пример.Необходимо рассчитать количество реализацийNпри статистическом моделировании системыS, когда в качестве показателя эффективности используется вероятностьPпри достоверностии точности

Ввиду того, что значения Pдо проведения эксперимента неизвестны, то вычисляют множество оценокNдля диапазона возможных значенийP, т.е. от 0 до 1 с дискретностью 0.1. Результаты расчетов с использованием выражения (4.78) представлены в таблице 4.17.

Из таблицы 4.17 видно, что при переходе от (0.9) иколичество реализацийNвозрастает примерно в 2,5 раза, а при переходе отиколичество реализаций возрастает примерно в 25 раз.

Таблица 4.17

Вероятность Р	Точность
	0.05	0.02	0.01
0.1 (0.9)	140	900	3600
0.2 (0.8)	250	1500	6200
0.3 (0.7)	330	2100	8400
0.4 (0.6)	380	2300	9400
0.5 (0.5)	390	2400	9800

При тактическом планировании машинных экспериментов, когда значение Pнеизвестно, поступают следующим образом. Берут произвольно значение N₀, определяют по формулеа затем по формуле (4.78) проводят вычисления, в которой вместоPподставляютP₀. Такая процедура оценкиNможет выполняться многократно.

Если отсутствует возможность получения каких-либо априорных сведений о вероятности P, то в таких случаях целесообразно задавать относительную точность результатов моделирования.

Для этих случаев формула (4.78) принимает вид

(4.79)

Оценку показателя эффективности Емодулируемой системы можно дать по результатам определения среднего значения некоторой случайной величины. Если случайная величинаимеет математическое ожиданиеаи дисперсию²и принимает вi-той реализации значение, то в качестве оценки математического ожиданияапринимают

При больших значениях Nв силу предельной центральной теоремы теории вероятностей среднее арифметическоебудет иметь распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданиема и дисперсией.

Точность оценки для математического ожидания равна а количество реализаций

(4.80)

Если же в качестве показателя эффективности Евыступает дисперсия², а в качестве ее оценки используется выборочная дисперсияS²,то математическое ожидание и дисперсия будут

где – центральный момент четвертого порядка случайной величины.

Для частного случая, когда случайная величина имеет нормальное распределение, когда получаем

(4.81)

Для дисперсии ² точность оценки

отсюда количество реализаций

или .

Из выражений (4.794.81) видно, что количество реализаций существенно зависит от дисперсии оцениваемой случайной величины. Поэтому выгодно выбирать те оцениваемые показатели эффективностиЕ, которые имеют малые дисперсии.