Вариация рядов распределения.

1. Понятие вариации. Показатели центра распределения. Структурные характеристики ряда.

2. Показатели размера и интенсивности вариации.

3. Оценка вариационного ряда на ассимметрию и эксцесс.

1. Вариация – различие значений признака у отдельных единиц совокупности в один и тот же период ли момент времени. Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих этапов:

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение ряда.

3. Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик ряда.

4. Расчет показателей размера и интенсивности вариаций.

5. Оценка ряда на ассимметрию и эксцесс.

Структурная характеристика ряда дается путем расчета моды и медианы.

Мода- значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

оценка	кол-во чел.
2	5
3	10
4	12
5	13

Мо = 4

Мо в интервальном ряду определяется по следующей формуле:

о=

где Х_mo – нижняя граница модального интервала,

I_mo – величина модального интервала,

ƒ_mo-1, ƒ_mo, ƒ_mo+1 – частоты домодального, модального и послемодального интервалов.

Медиана – это вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, то есть выше и ниже которого имеется одинаковое количество частот.

В дискретном ряду, в случае, если ряд содержит нечетное число членов, то медиана равна средней арифметической из вариант, расположенных посередине.

Если дискретный ряд характеризуется неодинаковым количеством частот, то медиана определяется по сумме накопленных частот.

Зар. плата рабочих	Число рабочих	Сумма накопленных частот
100	2	2
1200	6	2+6=8
1500	16	24
1700	12	36
2000	4	40
итого	40

В интервальном ряду медиана определяется по следующей формуле:

где Х_me – нижняя граница медианного интервала,

i – величина медианного интервала,

Σƒ – сумма частот вариационного ряда,

S_me-1– сумма накопленных частот в домедианном интервале.

Расчет моды и медианы для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по аналогичным формулам, но вместо показателя частот берется показатель плотности:

ƒ– частота,

i – величина интервала.

Например: дается распределение предприятий по среднесписочной численности рабочих.

Среднесписочное число человек	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100-200	1	1
200-300	3	4
300-400	7	11
400-500	30	41
500-600	19	60
600-700	15	75
700-800	5	80
Итого	80

Мо = 400-500

Наибольшая частота = 30

2. К показателям, характеризующим размер вариации относят:

1. Размах вариации

R=Xmax-Xmin – разница между максимальным и минимальным значением совокупности.

2. Среднее линейное отклонение

X_i– i-тое значение признака в совокупности,

n – число единиц в совокупности

3. Дисперсия

--среднее

4. Среднее квадратическое отклонение

σ=

При расчете дисперсии возможно применять способ моментов.

По способу моментов дисперсия рассчитывается по след. формуле:

X_i²-средний квадрат значения признака в совокупности.

Показатели размера вариации дают ответ об уровне засоренности в совокупности.

З должна быть≤1,25. Если З>1, 25, то совокупность считается засоренной.

К показателям интенсивности вариации относят коэффициент вариации:

V=

По размаху вариации судят об однородности совокупности.

Если V<30%, то совокупность однородная, если 30% ≤ V ≥ 60%, совокупность средняя, если V > 60%, то совокупность неоднородная.

В том случае, если данные ряда распределения представлены в виде аналитической группировки, рассчитывается общая межгрупповая и внутригрупповые дисперсии.

Общая дисперсия определяет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, то есть различия в величине изучаемого признака, возникающего под влиянием признака фактора, положенного в основании группировки.

, где

X_i и n_i – средние величины численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, то есть вариацию, происходящую под влиянием неучтенных факторов.

На основании внутригрупповой дисперсии рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий:

Правило сложения дисперсий:

Например, имеются данные о дневной выработке рабочих второго и третьего разряда. Рассчитать внутригрупповую, межгрупповую и общую дисперсии и проверить расчеты по правилу сложения дисперсий.

Второй разряд		Третий разряд
W(X)	X²i	W(X2)	X²2
3,2	10,24	3,9	15,21
		4,2	17,64
3,5	12,25	4,8	23,04
		5,1	26,01
4,5	20,25	5,4	29,16
		6,6	43,56
4,8	23,04
16	65,78	30	154,62

3. Оценка характера распределения предполагает не только оценку однородности, но и оценку симметричности. Симметричным называют распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра, равны между собой.

Степень ассиметричности характеризует коэффициент ассиметрии:

При нормальном распределении коэффициент ассиметрии равен 0, если коэффициент ассиметрии больше 0, то в наличии правосторонняя ассиметрия, если меньше 0, то левосторонняя ассиметрия.

В целом коэффициент ассиметрии может изменяться от –3 до +3.

-3≤≥3

Если коэффициент ассиметрии показывает нормальное распределение

Момент четвертого порядка:

Если Es>0, то распределение островершиное, если Es<0, то плосковершинное.