§8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел

торая каждому значению z ставит в соответствие однозначно определенное значение w. Если на плоскости z имеется непрерывная кривая C с уравнением z(t), топосредством функции w = f(z) каждая точка этой кривой отображается в некоторую точку плоскости w. Если при этом функция f(z) непрерывна, то на плоскости w мы также получим непрерывную кривую с уравнением w0(t) = f(z(t)). Эту кривую мы будем обозначать f(C).

261. Что представляет собой кривая f(C), если w = = f(z) = z2, и кривая C:

а) четверть окружности:

z(t) = R cos p2t + i sin p2t ,

б) полуокружность: z(t) = R(cos pt + i sin pt), в) окружность: z(t) = R(cos 2pt + i sin 2pt)?

262. Пусть изменение аргумента вдоль кривой C равно f. Чему равно изменение аргумента вдоль кривой f(C), если: а) f(z) = z2, б) f(z) = z3, в) f(z) = zn, где n — произвольное натуральное число?

263. Пусть кривая C обходит k раз вокруг точки z = z0. Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f(C), если

f(z) = (z − z0)n?

264. Пусть кривая C обходит вокруг точек z = 0, z = 1, z = i, z = −i соответственно k1, k2, k3, k4 раз. Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f(C), если: а) f(z) = = z2 − z, б) f(z) = z2 + 1, в) f(z) = (z2 + iz)4, г) f(z) =

=z3 − z2 + z − 1? Рассмотрим уравнение

a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an = 0,

где все ai — произвольные комплексные числа, n > 1 и a0 6= 0. Наша ближайшая цель — показать, что это уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. Если an = 0, то уравнение имеет корень z = 0. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что an 6= 0.

Обозначим наибольшее из чисел |a0|, |a1|, . . . , |an| через A. Так как a0 6= 0, то A > 0. Выберем положительные действительные числа R1 и R2, причем R1 выберем настолько малым, чтобы выполнялись два неравенства:

R1 6 1 и R1 < |an| , а R2 настолько большим, чтобы

10An

78

выполнялись два неравенства: R1 > 1 и R2 > 10An .

|a0|

265. Пусть |z| = R1. Доказать, что

|a0zn + . . . + an−1z| < |a10n|.

266. Пусть |z| = R2. Доказать, что

окружность радиуса R, проходимую против часовой стрелки) обозначим CR. Так как кривая CR замкнута (z(1) =

= z(0)), то и кривая f(CR), где f(z) = a0zn + . . . + an, также замкнута (f(z(1)) = f(z(0))). Пусть n(R) — число обходов

кривой f(CR) вокруг точки w = 0 (если f(CR) не проходит через точку w = 0).

267. Чему равны значения n(R1) и n(R2)?

Будем теперь изменять радиус R непрерывно от R1 до R2. При этом кривая f(CR) будет непрерывно деформироваться от положения f(CR1 ) до положения f(CR2 ). Если при некотором значении R кривая f(CR) не проходит через точку w = 0, то при достаточно малых изменениях R кривая f(CR) будет деформироваться так мало, что число ее обходов вокруг точки w = 0 не изменится, т. е. при данном значении R функция n(R) непрерывна. Если бы кривые f(CR) при всех значениях R1 6 R 6 R2 не проходили через точку w = 0, то n(R) было бы непрерывной функцией при всех R1 6 R 6 R2. Так как функция n(R) принимает только целочисленные значения, то она может быть непрерывна, только если n(R) при всех R из отрезка R1 6 R 6 R2 принимает одно и то же значение; в частности, должно быть n(R1) = n(R2). Но из решения задачи 267 следует, что n(R1) = 0, a n(R2) = n. Следовательно, предположение о том, что кривые f(CR) при всех R1 6 R 6 R2 не проходят через точку w = 0, неверно. Значит, при некотором z должно быть f(z) = 0. Тем самым мы получаем теорему*).

*) Наше рассуждение содержит некоторые нестрогости и должно рассматриваться, вообще говоря, как идея доказательства. Однако это рассуждение можно (хотя и не просто) сделать абсолютно строгим

79

Те о р е м а 7 (основная теорема алгебры комплексных чисел**)). Всякое уравнение

a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an = 0,

где все ai — произвольные комплексные числа, n > 1 и a0 6= 0, имеет по крайней мере один комплексный корень.

268.Доказать теорему Безу***): если z0 — корень уравнения a0zn + . . . + an−1z + an = 0, то многочлен a0zn + . . .

. . . + an−1z + an делится на двучлен z − z0 без остатка.

269.Доказать, что многочлен a0zn + . . . + an−1z + an где a0 6= 0, представим в виде

a0zn + . . . + an−1z + an = a0(z − z1)(z − z2) · . . . · (z − zn).

З а м е ч а н и е. Пусть многочлен P (z) разложен на множители:

P (z) = a0(z − z1)(z − z2) · . . . · (z − zn).

Правая часть равна 0 тогда и только тогда, когда хотя бы одна из скобок равна 0 (см. 195, 197). Поэтому корнями уравнения P (z) = 0 являются числа z1, z2, . . . , zn и только они.

270. Пусть z0 — корень уравнения

a0zn + . . . + an−1z + an = 0,

где все ai — действительные числа. Доказать, что число z0, сопряженное z0, — также корень этого уравнения.

271. Пусть уравнение с действительными коэффициен-

тами

a0zn + . . . + an−1z + an = 0

имеет комплексный корень z0, не являющийся действительным числом. Доказать, что многочлен

a0zn + . . . + an−1z + an

делится на некоторый многочлен второй степени с действительными коэффициентами.

(см., например, С т и н р о д Н., Ч и н н У., Первые понятия топологии, «Мир», 1967). См. также Б о р и с о в и ч Ю. Г. и др., Введение в топологию, М., Физматлит, 1995.

**) Эта теорема доказана в 1799 году немецким математиком К. Гауссом (1777–1855).

***) Безу (1730–1783) — французский математик.

80

272. Доказать, что всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степени с действительными коэффициентами.

З а м е ч а н и е. Из результата задачи 272 вытекает, что неприводимыми многочленами (см. стр. 63) над полем действительных чисел являются только многочлены первой степени и многочлены второй степени без действительных корней. Мы воспользовались этим в § 3 этой главы. Над полем комплексных чисел неприводимыми многочленами, как следует из результата задачи 269, являются только многочлены первой степени.

Вернемся снова к многочленам с произвольными комплексными коэффициентами.

О п р е д е л е н и е. Пусть z0 — корень уравнения a0zn + . . . + an−1z + an = 0.

Говорят, что z0 — корень кратности k, если многочлен

a0zn + . . . + an−1z + an делится на (z − z0)k и не делится на

(z − z0)k+1.

273. Какова кратность корней z = 1 и z = −1 в уравне-

нии

z5 − z4 − 2z3 + 2z2 + z − 1 = 0?

О п р е д е л е н и е. Производной многочлена

P (z) = a0zn + a1zn−1 + . . . + akzn−k + . . . + an−1z + an

называется многочлен

P 0(z) = a0nzn−1 + a1(n − 1)zn−2 + . . .

. . . + ak(n − k)zn−k−1 + . . . + an−1.

Производная обычно обозначается штрихом.

274. Пусть P (z) и Q(z) — два многочлена. Доказать равенства: а) (P (z) + Q(z))0 = P 0(z) + Q0(z); б) (c · P (z))0 = = c · P 0(z), где c — произвольное постоянное комплексное число; в) (P (z) · Q(z))0 = P 0(z) · Q(z) + P (z) · Q0(z).

275.Пусть P (z) = (z − z0)n (n > 1 — целое). Доказать, что P 0(z) = n(z − z0)n−1.

276.Доказать, что если уравнение P (z) = 0 имеет ко-

рень z0 кратности k > 1, то уравнение P 0(z) = 0 имеет корень z0 кратности k − 1, если же уравнение P (z) = 0 имеет корень z0 кратности 1, то P 0(z0) 6= 0.

81

√

§ 9. Риманова поверхность функции w = z

Выше мы рассматривали однозначные функции, при которых каждому значению аргумента соответствуетединственное значение функции. Однако в дальнейшем нас будут особо интересовать многозначные функции, при которых некоторым значениям аргумента соответствует несколько значений функции*). Наш интерес к таким функциям легко объясним. Действительно, конечной целью нашего изложения является доказательство теоремы Абеля о том, что функция, выражающая корни общего уравнения 5-й степени через коэффициенты, не выражается в радикалах.

Но эта функция является многозначной, так как уравнение 5-й степени при фиксированных коэффициентах имеет, вообще говоря, 5 корней. Также многозначными являются и функции, выражающиеся в радикалах.

Общая идея доказательства теоремы Абеля состоит в следующем. Многозначной функции комплексного аргумента мы сопоставим некоторую группу — так называемую группу Галуа**). При этом окажется, что группа Галуа для функции, выражающей корни некоторого уравнения 5-й степени через параметр z, не может совпадать ни с какой группой Галуа для функций, выражающихся в радикалах, и, следовательно сама эта функция не может выражаться в радикалах.

Для того чтобы ввести понятие группы Галуа, мы введем сначала другое очень важное в теории функций комплексного переменного понятие — понятие римановой*) поверхности многозначной функции. При этом мы начнем с построения римановой поверхности для одного из

простейших примеров многозначной функции, а именно

√

функции w = z. √

Как мы знаем, функция w = z принимает одно значе-

*) В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, мы слово «многозначные» будем часто опускать.

**) Эварист Галуа (1811–1832) — французский математик, установивший общие условия разрешимости уравнений в радикалах, заложивший основы теории групп. Советуем прочесть: И н ф е л ь д Л., Эварист Галуа (Избранник богов), М., «Молодая гвардия», 1958. См. также Га л у а Э., Сочинения, М., ГИТТЛ, 1936.

*) Названы по имени Б. Римана (1826–1866) — немецкого математика.

82

тельное значение корня).

Проведем на плоскости z разрез по отрицательной части действительной оси от 0 до −∞ и для√всех z, не лежащих на разрезе, выберем то значение w = z, которое лежит в правой полуплоскости плоскости w. При этом мы получим

некоторую функцию, однозначную и непрерывную на всей

√

плоскости z, исключая разрез, которую мы обозначим 1 z. Эта функция задает однозначное и непрерывное отображение плоскости z, исключая разрез, на правую полуплоскость плоскости w (рис. 24).

Рис. 24

стягивается наподобие веера к положительной части действительной оси с уменьшением угла «веера» вдвое и некоторым изменением длин вдоль лучей «веера».

Если мы теперь для всех z, не лежащих на разрезе,

√

выберем то значение w = z, которое лежит в левой полуплоскости плоскости w, то получим другую функцию, также однозначную и непрерывную на всей плоскости z,

исключая разрез. Эта функция, которую мы обозначим

√

2 z, задает однозначное и непрерывное отображение плос-

83

Возьмем теперь два экземпляра плоскости z, которые мы будем называть листами, и на каждом проведем

листу (или по второму листу), не пересекая разреза, то построенная нами однозначная функция изменяется непрерывно. Если же точка z, двигаясь, например, по первому листу, переходит через разрез, то непрерывность

нарушается. Это видно, например, из того, что близкие точ-

√

ки A и B плоскости z переходят при отображении w = 1 z в далекие друг от друга точки A0 и B0 (см. рис. 24).

вается близко с образом точки D при отображении w = 2 z (точка D0).

Таким образом, если при пересечении разреза точка z

84

ключаются из рассмотрения. После этого полученные ветви надо склеить, восстанавливая разрезы, так чтобы получилась однозначная и непрерывная функция на построенной поверхности. Полученная поверхность и будет называться римановой поверхностью многозначной функции w(z)*).

Таким образом, остается выяснить, как же выделять непрерывные однозначные ветви произвольной многозначной функции w(z) и как затем их склеивать. Для выяс-

нения этих вопросов рассмотрим еще раз более подробно

√

функцию w = z.

Пусть w(z) — многозначная функция, и пусть зафиксировано одно из значений w0 функции w(z) в некоторой точке z0. Пусть w0(z) — непрерывная однозначная ветвь функции w(z), выделенная в некоторой области плоскости z (например, на всей плоскости, исключая какие-то разрезы), и такая, что w0(z0) = w0. Пусть, кроме того, C — непрерывная кривая, идущая из точки z0 в некоторую точку z1 и лежащая целиком в рассматриваемой нами области плоскости z. Тогда при движении точки z вдоль кривой C функция w0(z) будет изменяться непрерывно от w0(z0) до w0(z1).

Этим свойством можно воспользоваться и в обратную сторону, а именно для определения функции w0(z).

Действительно, пусть в некоторой точке z0 зафиксировано одно из значений w0 функции w(z), и пусть C — непрерывная кривая, идущая из точки z0 в некоторую точку z1. Будем двигаться по кривой C, выбирая для каждой точки z, лежащей на C, одно из значений функции w(z) так, чтобы выбираемые значения изменялись непрерывно при движении z по кривой C, начиная со значения w0. При этом, когда мы достигнем точки z1, мы будем иметь вполне определенное значение w1 = w(z1). Мы будем говорить, что w1 — значение w(z1), определенное по непрерывности вдоль кривой C при условии w(z0) = = w0. Если значения функции w(z), выбираемые для всех точек кривой C, изобразить на плоскости w, то должна получиться непрерывная кривая, которая начинается в

*) Такие построения можно провести не для каждой многозначной функции, однако для тех функций, которые будут рассматриваться в дальнейшем, такие построения провести действительно можно. См. М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, М., Наука, 1978.

86

точке w0 и оканчивается в точке w1. Эта кривая является одним из непрерывных образов кривой C при отображении

вдоль: а) верхней полуокружности радиуса 1 с центром в начале координат, б) нижней полуокружности (рис. 28).

В действительности при определении функции по непрерывности вдоль некоторой кривой мы можем столкнуться с некоторыми неприятностями. Рассмотрим соответствующий пример.

279. Найти все непрерывные образы w0(t) кривой C с

Из решения задачи 279 мы получаем, что даже при фик-

сировании образа начальной точки кривой C непрерывный

√

образ кривой C при отображении w = z может определяться неоднозначно. Причем однозначность нарушается там, где кривая C проходит через точку z = 0. Оказывается,

что только в этом случае и может нарушаться однознач-

√

ность образа для функции w = z, так как только в этом случае оба образа точки z(t) подходят близко друг к другу, сливаясь в одну точку.

Для того чтобы избежать неоднозначности непрерывных

√

образов кривых при отображении w = z, можно выколоть точку z = 0 и запретить кривым проходить через эту точку.

Но и это ограничение не дает нам пока возможности выде-

√

лять однозначные непрерывные ветви функции w = z. Действительно, если мы зафиксируем в некоторой точ-

ке z0 одно из значений w0 = w(z0) и будем определять w(z1)

87

только тогда, когда кривая C1−1C2 (рис. 30) обходит вокруг точки z = 0 четное число раз.

Из утверждения последней задачи следует, в частности, что если кривая C1−1C√2 обходит 0 раз вокруг точки z = 0, то значения функции z в конечных

C1−1C2 не могла обойти ни разу во-

круг точки z = 0. Для этого достаточно провести какойнибудь разрез из точки z = 0 в бесконечность и запретить кривым пересекать этот разрез. Именно так мы и поступили выше, проведя разрез из точки z = 0 в −∞ по отрицательной части действительной оси.

Если после проведения разреза зафиксировать в некоторой точке z0 одно из значений w00 = √z0, а значение в любой другой точке z1 определить по непрерывности вдоль какойнибудь кривой C, идущей из z0 в z1 и не проходящей через

разрез, то на всей плоскости, исключая разрез, определится

√

285.Доказать, что для любой точки z, не лежащей на

√6= 2√z.разрезе,

ных точках плоскости z (исключая разрез) по непрерывности вдоль кривых, идущих из точки z0 и не проходящих

через разрез. Доказать, что получающаяся однозначная

√

непрерывная ветвь, совпадает с функцией 1 z (определенной из точки z0).

Из результата задачи 286 вытекает, что, выбирая в качестве начальной точки при выделении однозначных непрерывных ветвей различные точки плоскости z, мы будем получать один и тот же набор однозначных непрерывных

89

ветвей, который зависит, таким образом, только от того, как проведены разрезы.

287. Пусть точки z0 и z1 не лежат на разрезе и пусть кривая C, соединяющая точку z0 с z1,

переходим на другую ветвь, т. е. ветви соединяются между собой именно так, как мы соединили их раньше (см. рис. 9).

Будем говорить, что некоторое свойство выполняется при обходе вокруг точки z0, если оно выполняется при однократном обходе против часовой стрелки по всем окружностям с центром в точке z0, имеющим достаточно малый радиус*).

288. Доказать, что при обходе вокруг точки z0 мы оста-

емся на том же листе римановой поверхности функции w =

√

= z, если z0 6= 0, и переходим на другой лист, если z0 = 0. Следующее понятие очень важно для дальнейшего.

О п р е д е л е н и е. Точки, при обходе которых может происходить переход с одних листов на другие (т. е. изменяться значение функции), называются точками разветв-

*) Более строго это означает следующее: найдется такое действительное число d > 0, что указанное свойство выполняется при обходе по всем окружностям с центром z0, радиус которых меньше d.

*) В математической литературе встречаются два названия этого понятия — точка разветвления и точка ветвления.

90

ходе вокруг точки z = 0 мы с любого листа переходим на противоположный лист. При

этом стрелки в точке z = 0 показывают переходы с листа на лист не только при обходе точки z = 0, но и при пересечении в любом месте разреза, идущего из точки z = 0 в бесконечность. Ниже мы увидим, что такая связь между точками разветвления и разрезами, проведенными из них, не случайна.

В дальнейшем мы в основном будем изображать не саму риманову поверхность некоторой многозначной функции, а ее схему.

§ 10. Римановы поверхности более сложных

функций

√

Рассмотрим многозначную функцию w = 3 z.

289. Пусть изменение аргумента вдоль кривой z(t) равно f, и пусть w0(t) — непрерывный образ кривой z(t) при

290.Найти точки разветвления функции w = 3 z.

291.Пусть разрез проведен из точки z = 0 в −∞ по отри-

цательной части действительной оси, и пусть непрерывные

√

однозначные ветви функции w = 3 z заданы условиями: f1(1) = 1,

Найти: а) f1(i), б) f2(i), в) f1(8), г) f3(8), д) f3(−i).

292. Построить риманову поверхность и ее схему для

√

функции w = 3 z.

293. Пусть C — непрерывная кривая с параметрическим

√

уравнением z(t), и пусть w0 — одно из значений n z(0). Доказать, что имеется хотя бы один√непрерывный образ кривой C при отображении w(z) = n z, начинающийся в точ-

ке w0.

294. Пусть изменение аргумента вдоль кривой z(t) равно f, и пусть w0(t) —√непрерывный образ кривой z(t) при отображении w(z) = n z. Найти изменение аргумента вдоль кривой w0(t).

91

√

295. Найти точки разветвления функции n z. Ранее (см. стр. 68) мы ввели обозначение:

en = cos(2p/n) + i sin(2p/n).

Там же рассмотрены некоторые свойства этого комплексного числа.

296. Пусть кривая z(t) не проходит через точку z = 0,

и пусть w (t) — один из непрерывных образов кривой z(t)

0 √

при отображении w = n z. Найти все непрерывные образы

√

кривой z(t) при отображении w = n z.

Пусть две непрерывные кривые C1 и C2 идут из неко-

торой точки z в некоторую точку z . Так же, как для

√0 1

функции w = z (см. 284), доказывается, что если кривая C1−1C2 ни разу не обходит вокруг точки z = 0, то функция

если мы проведем какой-нибудь√разрез из точки z = 0 в бесконечность, то функция w = n z распадается на непрерывные однозначные ветви.

297. Проведем какой-либо разрез из точки z = 0 в ∞, не проходящий через точку z = 1√, и определим непрерывные однозначные ветви функции n z условиями: fi(1) = ein, где i пробегает значения от 0 до n − 1. Как выражаются

ветви fi(z) через f0(z)?

298. Построить схему римановой поверхности функ-

299. Для функции z − 1 найти точки разветвления и построить схему римановой поверхности.

300. Найти точки разветвления и построить схему рима-

√

новой поверхности для функции n z + i.

В тех случаях, когда многозначная функция будет иметь несколько точек разветвления, мы будем для выделения непрерывных однозначных ветвей проводить разрезы из каждой точки разветвления в бесконечность по каким-либо непересекающимся линиям.

При этом схема римановой поверхности данной функции может существенно зависеть от того, по каким именно линиям проведены разрезы из точек разветвления в бесконечность (соответствующий пример будет рассмотрен ниже в задачах 327 и 328). В тех случаях, когда такая ситуация имеет место, мы будем указывать, как проводятся разрезы.

92

Если же это не существенно, то указывать их не будем. Схемы римановых поверхностей, построенные читателем

при решении предлагаемых ниже задач, могут отличаться от схем, приведенных в решениях, за счет различной нумерации листов. При соответствующей перенумерации листов эти схемы должны совпадать.

301. Пусть f(z) — однозначная непрерывная функция

и C — непрерывная кривая на плоскости z, начинающаяся

√

в точке z0. Пусть w0 — одно из значений n f(z0). Доказать,

что существует хотя бы√один непрерывный образ кривой C при отображении w = n f(z) начинающийся в точке w0.

Из результата задачи 301 вытекает возможность опреде-

√

ления функции w = n f(z) по непрерывности вдоль любой кривой, не проходящей через точки, в которых нарушается однозначность непрерывных образов.

302. Пусть f(z) — однозначная непрерывная функция и

w (z) — одна из непрерывных однозначных ветвей (при со-

0 √

ответствующих разрезах) функции w(z) = n f(z). Найти все однозначные непрерывные ветви (при тех же разрезах) функции w(z).

303. Найти все точки разветвления и построить схе-

304. Построить схемы римановых поверхностей следующих функций:

√

строить схему римановой поверхности для функции z2. З а м е ч а н и е. Из решения задачи 305 мы получаем,√что точка z = 0 не является точкой разветвления функции z2. В то же время образы кривых, проходящих через точку z = 0, определяются не однозначно. Например, непрерыв-

ными образами ломаной (рис. 33) при отображении w =

√

z2 являются ломаные COD, COF , EOD и EOF (рис. 33). Проходя через точку z = 0, мы можем остаться на том же листе (ломаные COD и EOF ) или перейти на другой лист

(ломаные COF и EOD). Риманова поверхность функции

√

w(z) = z2 имеет вид, показанный на рис. 34.

О п р е д е л е н и е. Точки, в которых нарушается однозначность непрерывных образов кривых, но которые не

93

в) 4 (z − 1)2(z + 1)3, г) 4 (z2 − 1)3(z + 1)3, д) 4 z(z3 − 1). Ниже мы будем рассматривать и такие функции, кото-

рые не определены в некоторых точках. При этом такие

При решении задач этого параграфа мы везде получали, что после проведения непересекающихся разрезов из всех точек разветвления в бесконечность рассматриваемая функция распадается на однозначные непрерывные ветви, которые затем определенным образом соединяются по разрезам. Оказывается, что этим свойством обладает довольно широкий класс многозначных функций. В частности, таким свойством обладают все рассматриваемые ниже функции, а именно функции, выражающиеся в радикалах (§ 11), и алгебраические функции (§ 14) (и те, и другие функции являются частными случаями более широкого класса так называемых аналитических функций, также обладающих

94

указанным свойством).

Доказательство этого утверждения выходит за рамки данной книги. Поэтому мы могли бы просто сослаться на существующую по этому вопросу литературу*) и принять сформулированное выше утверждение без доказательства. (Читатель может так и поступить, перейдя сразу к чтению § 11).

Однако при этом у читателя может остаться некоторое чувство неудовлетворенности. И хотя мы не сможем полностью избавить читателя от этого чувства, мы все же покажем, что сформулированное выше свойство вытекает из другого свойства — так называемого свойства монодромии, которое выглядит более очевидным.

Мы знаем, что для выделения однозначных непрерывных ветвей многозначной функции w(z) (в некоторой области плоскости z) необходимо, чтобы функция w(z) определялась по непрерывности одинаково, вдоль любых двух кривых C1 и C2, лежащих в этой области и идущих из произвольной точки z0 в некоторую другую точку z1. Свойство монодромии и связано с этим условием.

Пусть многозначная функция w(z) такова, что при фиксировании любого ее значения w0 в произвольной точке z0 функция w(z) может быть определена по непрерывности (возможно, неоднозначно) вдоль любой непрерывной кривой, выходящей из точки z0 (и не проходящей через точки, в которых функция w(z) не определена). Скажем, что многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, если для нее справедливо следующее утверждение.

С в о й с т в о м о н о д р о м и и. Пусть C1 и C2 — непрерывные кривые на плоскости z, начинающиеся в некоторой

точке z0, кончающиеся в некоторой точке z1 и не проходящие через точки разветвления и неоднозначности многозначной функции w(z). Пусть, кроме того, кривую C1 можно непрерывно деформировать в кривую C2 так, чтобы кривые, получающиеся при деформации, не проходили через точки разветвления функции w(z) и чтобы концы их оставались неподвижными (рис. 35, a, b — точки разветв-

*) См., например, С п р и н г е р Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, 1960, а также Г у р в и ц А., К у р а н т Р., Теория функций, М., Наука, 1968.

95

ления). Тогда значение w(z1) одинаково определяется по непрерывности вдоль кривых C1 и C2 (если зафиксировано

некоторое значение w0 = w(z0)).

Выясним, какие следствия вытекают из свойства монодромии.

309. Пусть функция w(z) обладает свойством монодромии. Проведем на плоскости z непересекающиеся разрезы

у w(z) конечное число точек разветвления. Доказать, что при пересечении некоторого разреза (в определенную сторону) мы с любой фиксированной ветви функции w(z) будем переходить на одну и ту же ветвь независимо от того, в каком именно месте мы пересекаем разрез.

За м е ч а н и е 1. При обходе вокруг точки разветвления мы один раз пересекаем разрез, идущий из этой точки в бесконечность. Поэтому в силу результата задачи 310 переходы с одних ветвей на другие при пересечении некоторого разреза в произвольном месте совпадают с переходами, получающимися при обходе (в соответствующую сторону) точки разветвления, из которой проведен разрез, и, следовательно, совпадают с переходами, указанными в этой точке в схеме римановой поверхности.

За м е ч а н и е 2. Из результатов задач 309 и 310 вытекает, что если многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, то для w(z) можно построить риманову поверхность. Причем для выяснения структуры этой поверхности достаточно найти точки разветвления функции w(z) и установить переходы между ветвями функции w(z) при обходе этих точек.

Все функции, которые будут рассматриваться ниже, обладают свойством монодромии. Строго доказать это утвер-

96

ждение мы здесь не сможем, так как для этого требуется привлечение понятия аналитической функции. Однако мы дадим идею доказательства того, что некоторая многозначная функция w(z) обладает свойством монодромии, предполагая, что эта функция является «достаточно хорошей». Что это означает — будет видно из идеи доказательства.

Итак, пусть выполняются условия из свойства монодромии. Пусть C10 и C20 — непрерывные образы кривых C1 и C2 при отображении w(z), начинающиеся в точке w0 = w(z0). Надо доказать, что кривые C10 и C20 оканчиваются в одной и той же точке.

Предположим сначала, что кривые, получающиеся при деформации C1 в C2, не проходят не только через точки разветвления, но и через точки неоднозначности функции w(z) (см. стр. 93). Пусть C — любая из таких кривых. Тогда существует единственный непрерывный образ C0 кривой C при отображении w(z), начинающийся в точке w0 = w(z0). Если функция w(z) «достаточно хорошая»*), то при непрерывной деформации кривой C от положения C1 до положения C2 кривые C0 непрерывно деформируются от положения C10 до положения C20 . При этом конечная точка кривой C0 также должна деформироваться непрерывно. Но кривая C оканчивается в точке z1, поэтому конечная точка кривой C0 должна совпадать с одним из образов w(z1) точки z1. Если функция w(z) принимает при каждом z (в частности, при z1) лишь конечное число значений (а мы рассматриваем только такие функции), то конечная точка кривой C0 не может перескочить из одного образа точки z1 в другой образ, так как при этом нарушится непрерывность деформации. Следовательно, конечные точки всех кривых C0 и, в частности, кривых C10 и C20 , совпадают.

Посмотрим теперь, что происходит, когда кривая C переходит через точку неоднозначности функции w(z), которая не является точкой разветвления. Рассмотрим только частный случай, когда кривая изменяется лишь вблизи точки неоднозначности a (рис. 36). Если в точке z0 зафиксировано значение w0 = w(z0), то по непрерывно-

*) Обычно теорема монодромии доказывается для произвольных аналитических функций. См., например, С п р и н г е р Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, ИЛ, 1960, стр. 97.

97