Лачх и лфчх

Рассмотрим точные (не асимптотические) ЛАЧХ и ЛФЧХ при одних и тех же К и Т и разных коэффициентах демпфирования μ.

 

 

При μ<0.707 на ЛАЧХ появляется точка максимума (резонансный пик). С уменьшением μ высота резонансного пика возрастает и при μ=0 стремится к бесконечности (при μ=0 ЛАЧХ имеет разрыв). Частота, на которой находится точка максимума ЛАЧХ, называется резонансной частотой. Резонансная частота находится вблизи частоты 1/Т.

Колебательное звено будет усиливать гармоническое воздействие резонансной частоты с максимальным коэффициентом усиления.

Значение ЛФЧХ находится в пределах 0…–π рад (0…–180˚). Все ЛФЧХ имеют общую точку φ = –90˚, ω=1/Т.

Рассмотрим способ построения ЛАЧХ колебательного звена. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот с наклонами 0 и –40 дБ/дек и частотой сопряжения 1/Т. Однако, асимптотическая ЛАЧХ не учитывает наличие резонансного пика, и при малых значениях коэффициента демпфирования ее использовать нельзя. Чтобы построить точную ЛАЧХ в дополнение к двум асимптотам необходимо построить криволинейный участок ЛАЧХ в окрестности частоты (1/Т) это можно сделать по данным, приводимым в справочниках.

 

 

 

 

 

 

 

Примеры колебательных звеньев

 

Электрический четырехполюсник (RLC-фильтр)

 

 

 

 Передаточная функция четырехполюсника:

 

 

 

 

 

Можно найти, что

, .

Чтобы звено было колебательным (μ<1) необходимо соотношение параметров:

Чтобы свободные колебания выходного напряжения не возникали (μ1) необходимо соотношение параметров:

Если удалить из схемы резистор и пренебречь учетом активного сопротивления всех проводников, то звено становится консервативным: W(p)=. Колебания выходного напряжения, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить сопротивление проводников).

 

Механическая колебательная система (пружина, груз, демпфер).

 

 

 

 

 

 

 

 

Входная величина – перемещение конца пружины х, выходная величина – перемещение поршня y. В отличие от апериодического звена здесь появился груз массы m.

 

Передаточная функция такой системы:

 

 

 

 

 Отсюда следует, что , .

Звено будет колебательным (μ<1) при соотношении параметров: .

Чтобы свободные колебания поршня не возникали (μ1) необходимо соотношение параметров: .

Если пренебречь учетом массы (m=0), то звено становится апериодическим 1-го порядка: W(p)=.

Если пренебречь учетом трения в демпфере, то звено становится консервативным .

Колебания поршня, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить трение).

 

 

Апериодическое звено второго порядка

 

Передаточная функция

Если в передаточной функции принять μ≥1, то оба ее полюса будут действительными. Поэтому знаменатель передаточной функции можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в виде:

,

где Т₁ и Т₂ – постоянные времени. Это будет уже не колебательное звено, а апериодическое звено 2-го порядка. Его передаточная функция равна произведению двух передаточных функций апериодических звеньев 1-го порядка.

 

Звено чистого запаздывания

 

Передаточная функция

Звено чистого запаздывания – это особое линейное звено с трансцендентной передаточной функцией:

, где τ – время запаздывания.

 

Уравнение звена

По определению передаточной функции

Переходим к оригиналам, используя теорему запаздывания. Получим уравнение звена во временной области:

Статическая характеристика

y_ст = W(0)·x_ст = x_ст

Переходная функция: h(t)=1(t–τ).

Это единичная ступенчатая функция, запаздывающая на время τ.

 

 

ЛАЧХ и ЛФЧХ

L(ω) = 0. Звено не изменяет амплитуду гармонического воздействия при любой частоте.

φ(ω) = –ω·τ. Фазовый сдвиг, вносимый звеном, возрастает (в сторону отставания по фазе) пропорционально запаздыванию. ФЧХ в обычном масштабе частоты будет прямой линией. ЛФЧХ в логарифмическом масштабе частоты будет нелинейна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример звена чистого запаздывания

 

Конвейер, транспортирующий сыпучий материал.

 

 

 

 Входная величина – толщина слоя в начале ленты s₁, выходная величина – толщина слоя в конце ленты s₂. Та толщина, которая есть на входе в данный момент времени, будет на выходе через время запаздывания τ.

Передаточная функция звена имеет вид:

 

 

 

 

Время запаздывания равно отношению длины рабочего участка ленты конвейера L к скорости ленты V: .